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1、四、向量组的秩四、向量组的秩1.极大线性无关组极大线性无关组2.向量组的秩向量组的秩3.向量组的秩的研究和应用向量组的秩的研究和应用4.极大线性无关组的求解极大线性无关组的求解1.极大线性无关组极大线性无关组定义：设定义：设 A1 是向量组是向量组 A 的一个部分向量组，的一个部分向量组，如果如果 A1 线性无关，但将线性无关，但将 A 中其他向量中其他向量(若若有有)添加进添加进 A1 后所得的部分向量组线性相关，后所得的部分向量组线性相关，则称则称 A1 是是 A 的的极大线性无关组极大线性无关组几个等价定义：几个等价定义：1.A1 线性无关，且线性无关，且 A1 与与 A等价等价2.A1
2、 线性无关，且线性无关，且 A中向量均可由中向量均可由A1线性表示线性表示 2.向量组的秩向量组的秩定义：设定义：设 A 是一个向量组，是一个向量组， A1 是是 A 的极的极大线性无关组，大线性无关组， A1中向量的个数称为是中向量的个数称为是A的的秩秩。 问题：问题：1.极大线性无关组是否唯一？极大线性无关组是否唯一？2.该定义是否合理？该定义是否合理？3.若要使该定义合理，需要说明什么？若要使该定义合理，需要说明什么？所以，向量组的秩的定义合理所以，向量组的秩的定义合理定义：设定义：设 A 是一个向量组，是一个向量组， A1 是是 A 的极的极大线性无关组，大线性无关组， A1中向量的个
3、数称为是中向量的个数称为是A的的秩秩。 3.向量组的秩的研究和应用向量组的秩的研究和应用矩阵的行秩和列秩矩阵的行秩和列秩A A的每一行都是的每一行都是n n维的行向量，一共有维的行向量，一共有m m个行向量，个行向量，这这m m个行向量组成的向量组的秩称为个行向量组成的向量组的秩称为矩阵矩阵A A的行秩的行秩；A A的每一列都是的每一列都是m m维的列向量，一共有维的列向量，一共有n n个列向量，个列向量，这这n n个列向量组成的向量组的秩称为个列向量组成的向量组的秩称为矩阵矩阵A A的列秩的列秩；回回顾矩矩阵的秩的定的秩的定义：非零子式的最高：非零子式的最高阶数，数，主要主要计算方法：等价算
4、方法：等价阶梯矩梯矩阵的非零行数。的非零行数。利用：利用：这给出了求解向量组的秩和极大线性无关组的一个方法：这给出了求解向量组的秩和极大线性无关组的一个方法：给定一个向量组，要求它的秩，只要求它对应的矩阵的秩，给定一个向量组，要求它的秩，只要求它对应的矩阵的秩，要求它的极大线性无关组，只要找一个包含要求它的极大线性无关组，只要找一个包含r个向量的线性无个向量的线性无关组。关组。下面我们给出计算秩和求解极大线性无关组的步骤：下面我们给出计算秩和求解极大线性无关组的步骤：1.1.若为行向量组，先通过转置将它们变为列向量组；若为行向量组，先通过转置将它们变为列向量组；2.2.将列向量组排列成一个矩阵
5、将列向量组排列成一个矩阵 A=(1, 2 , , t);3.3.对矩阵对矩阵 A A 进行初等行变换，将其变为阶梯矩阵；进行初等行变换，将其变为阶梯矩阵；4.4.在阶梯矩阵中的列向量里找出极大线性无关组；在阶梯矩阵中的列向量里找出极大线性无关组；5.5.在在 A A 中选取相应的列组成的列向量组就是中选取相应的列组成的列向量组就是 A A 的极大线性无的极大线性无关组，其中向量的个数就是原先向量组的秩；关组，其中向量的个数就是原先向量组的秩；6.6.如果原先向量组为行向量组，再将如果原先向量组为行向量组，再将5 5中求得的列向量极大线中求得的列向量极大线性无关组转置成行向量即可。性无关组转置成行向量即可。计算向量组秩和求解极大线性无关组的步骤：计算向量组秩和求解极大线性无关组的步骤：向量向量组的秩的的秩的应用用举例：例：
