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1、第一章 向量与坐标 1.1 向量的概念 1.2 向量的加法 1.3 数量乘向量 1.4 向量的线性 关系与分解 1.5 标架与坐标1.6 向量在轴上的射影1.7 两向量的数量积1.8 两向量的向量积1.9 三向量的混合积1.10 三向量的双重向量积1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解 定义1.4.1 由 与实数 所组成的向量 叫做 的线性组合.(也称向量 可以用向量 线性表示,或 可以分解成 的线性组合.) 定理1.4.1 如果向量 , 则 与 共线的充分必要条件是 可以用向量 线性表示,或者说 是 的线性组合,即 并且系数 被 惟一确定. 这时 称为用线性组合
2、来表示共线向量的基底. 必要性 若 与 共线,当 同向时,取 ;当 反向时,取 ,则有 下证 惟一.如果 ,则 ,即 ,但 ,则 .即 证明: 充分性 若 ,则由数乘的定义可知 与 共线. 定理1.4.2 如果向量 不共线, 则向量 与 共面的充分必要条件是 可以用向量 线性表示,即并且系数 被 唯一确定. 这时 叫做平面上向量的基底. 证明: 因为 不共线,所以 .共线,则有 (或 ).只要取 (或 ),则有 .若 与 都不共线,把 归结到共同始点 ,并设过点 作 , 分别交所在直线于 两点. 必要性 若 与 共面,若 与 (或 ) 充分性 若 ,当 时,例如 ,则有 与 共线,所以 共面.
3、当 时,则 ,即 平行 确定之平面.而 ,所以 共面.由于 与 共线, 与 共线,则由定理1.4.1有 下证 惟一.如果 ,则 .若 ,则有由定理1.4.1可知 共线,矛盾.同理有 . 定理1.4.3 如果向量 不共面, 那么空间任意向量 可以由向量 线性表示,或说空间任意向量 可以分解成向量 的线性组合，即并且其中系数 被 唯一确定. 这时 叫做空间向量的基底. 证明: 因为 不共面,则由定义1.1.5知 ,且它们彼此不共线. 如果 和 之中的两个向量共面, 例如 ,则由定理1.4.2有 ,则结论成立. 如果 和 中任意两个都不共面. 将 归结为到共同始点 ,并设 , 相交于 三点,如图.
4、,过 的终点作三平面分别与 平面 平行,且分别和直线 所以有再由定理1.4.1,有则有 下证 被 唯一确定.若则 .如果 ,则则由定理1.4.2可知 共面,故 .同理可得 例1 已知 , , 分别是两边 上的点,且有 , .设 与 交于,如图.试把向量 分解成 的线性组合. 解: 因为而因为 不共线,由定理1.4.2,有即 例2 证明四面体对边中点的连线交于一点,且互相平分. 解: 设四面体 一组对边 的中点 的连线为 , 它的中点为 ,其余两组对边中点分别为 ,下只需证三点重合就可以了. 取不共面的三向量 , 下证 重合.又 为 中点,则有连接 ,由于 为 的中点,则有而 ,所以同理可得所以
5、, 重合. 定义1.4.2 对于 个向量 , 如果存在不全为零的 个数 使得那么 个向量 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫做线性无关.即线性无关就指:只有当 时,上式成立. 推论 一个向量 线性相关 定理1.4.4 在 时,向量 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 证明: 必要性 设 线性相关, 则存在不全为0的 ,使得因为 不全为0,不妨设 , 则 充分性 设 中有一个向量是其设这个向量为 ,即因为 ,所以 线性相关.则余向量的线性组合. 定理 如果一组向量中的一部分向量线性相关那么这一组向量就线性相关. 证明: 设有一组向量 ,其中一部分,如 线性相关,即存在不全为
6、0的 ,使得则其中 不全为0,所以 线性相关. 定理1.4.6 两向量共线 它们线性相关. 证明: 充分性 设 线性相关, 则存在不全为0的 ,使得 .不妨设 , 推论 一组向量如果含有零向量,那么这组向量必线性相关.则 .如果 ,由定理1.4.1知, 共线.若 ,则 共线. 必要性 设 共线,若 ,则任取 ,有 ,即 线性相关.若 , 由定理1.4.1,存在 ,使 ,即 , 所以 线性相关. 定理1.4.7 三个向量共面 它们线性相关. 证明: 必要性 设 共面,由定理1.4.2,存在 ,使得 ,即 .以 线性相关. 充分性 设 线性相关,则存在不全为0不全为0,不妨设 ,则有 .由定理1.
7、4.2知 共面.所的 ,使得 .由于 定理 空间任何四个向量总线性相关. 证明: 设空间任意四向量 ,若共面,由定理1.4.7知 线性相关,理1.4.5知 线性相关.若 不共面,由定理1.4.3可设 ,1.4.4知 线性相关. 推论 空间四个以上向量总是线性相关.再由定再由定理 例3 设 ,试证三点 共线的充要条件是存在不全为0的实数 使得 且 证明: 必要性 设 共线,则 共线,由定理1.4.6知 线性相关,即存在不全为0的 ,使得即 .可得令 , 即有 不全为0,使 且 .不妨设 ,代入整理得 充分性 设有不全为0的 ,使即 .可知 不全为0,共线,即 共线.所以由且 例4 设 为两不共线向量,证明 共线的充要条件是 证明: 由定理1.4.6, 共线 存在不全为0的数 ,使得即又 不共线,即 线性无关而 不全为0
