《第四章力学量随时间的演化与对称性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章力学量随时间的演化与对称性（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章第四章力学量随时间的演化与对称性力学量随时间的演化与对称性4.1力学量随时间的演化力学量随时间的演化在波函数在波函数 (x,t)所描写的态中，力学量所描写的态中，力学量A的平均值为的平均值为 (1)(2)一、力学量平均值随时间的变化一、力学量平均值随时间的变化逞滚蒸而腺壶哀廖浩貉澎氛质柴盐鄂兑疟吕偷喜兆疹蓖甚装忆幕竭中屑臣第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性由薛定谔方程，由薛定谔方程，因为因为是厄密算符是厄密算符堆逆耙腻泣乱液入渭痒拱狈琶泌谍咕瘴洽艘霸阮瞎欢拨态厕阔帧潞杠滨戎第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性(3)这就是力学量这就
2、是力学量平均值随时间平均值随时间变化的公式。变化的公式。若若不显含不显含t，即，即:(4)则有则有:彤扰速炊唤簧娟纸忌浴灾禹胖湃济匿付漠舍惊帮楷幸舍减劫渍时闺椰册增第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性二、守恒量二、守恒量如果如果既不显含时间，既不显含时间， 又与又与对易对易则有则有即这种力学量在任何态即这种力学量在任何态 之下的之下的平均值都不随时间改变平均值都不随时间改变。 (5) 在任意态在任意态 下，此时下，此时A的概率分布也不随时间改变的概率分布也不随时间改变。 我们称这样的力学量我们称这样的力学量A为为运动恒量或守恒量运动恒量或守恒量。, =0同时可以证明
3、：同时可以证明：献腑喉售察专烽住振慈宾哇橇语逊崩胀椒夹列逛懦戎姿橡反俏域邑器燥巷第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性式中式中即为守恒量即为守恒量在在态中的概率，态中的概率，证明守恒量证明守恒量F其概率分布不随时间而变化其概率分布不随时间而变化因为因为，故，故具有共同本征函数系具有共同本征函数系，任意状态可表为任意状态可表为且概率分布函数且概率分布函数谅瓮暮兵圣堂邑拳雷根凝彼肮殃糠肯齿底苍帜谣念隘梨差撤钞纤骄鹿粮派第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性其中其中为为时力学量的概率分布函数，所以时力学量的概率分布函数，所以故有故有所以所以即守恒量
4、即守恒量A的测量概率与时间无关，即概率分布不随的测量概率与时间无关，即概率分布不随时间而变化。时间而变化。傻旱沥柴娠蔡鲁琉雪驼蛋历意圭翅折末逢映虎畏确簿赚役懒凝晃芯剧暇嚣第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性概括起来讲，对于概括起来讲，对于Hamilton量量不含时的量子体系，如果不含时的量子体系，如果力学量力学量既不显含时间，又与既不显含时间，又与对易（对易（, =0），则无），则无论体系处于什么状态（定态或非定态），论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其的平均值及其测量的概率分布均不随时间改变。所以把测量的概率分布均不随时间改变。所以把A称为量子体系称
5、为量子体系的一个守恒量。的一个守恒量。守恒量有两个特点：守恒量有两个特点：(1) (1) 在任何态在任何态 ( (t)t)之下的平均值都不随时间改变；之下的平均值都不随时间改变； (2) (2) 在任意态在任意态 ( (t)t)下下A A的概率分布不随时间改变。的概率分布不随时间改变。无朵凌巳临肪坑阿厩饼别嗡峭垮中桥这六拦堡店淆徽镁朴菩响霄糟碟钧瞒第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性(a)与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。值，即体系的状态并不一定就是
6、某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条件决定。若在初始时刻件决定。若在初始时刻(t=0)，守恒量，守恒量A具有确定值，则以后任具有确定值，则以后任何时刻它都具有确定值，即体系将保持在何时刻它都具有确定值，即体系将保持在的同一个本征态。的同一个本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数好量子数。但是，。但是，若初始时刻若初始时刻A并不具有确定值（这与经典力学不同），即并不具有确定值（这与经典力学不同），即 (0)并非并非的本征态，则以后的状态也不是的本征态，则
7、以后的状态也不是的本征态，即的本征态，即A也不也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不会具有确定值，但几率分布仍不随时间改变，其平均值也不随时间改变。随时间改变。量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量子力学中的守恒量的概念，与经典力学中守恒量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。量概念不同。这实质上是不确定度关系的反映。窗赏嫡狰队消具玖纷燃蓉爷榜欧锑嫌攫廖油灌乐伺蝗琳狼榨仟队枷潞便肝第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性(b)量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 例如，中心力场中的粒子，角
8、动量的三个分量都守例如，中心力场中的粒子，角动量的三个分量都守恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们恒，但由于三个分量互相不对易，所以一般说来它们并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。并不能同时取确定值（角动量等于零的态除外）。喂且跪落晋鹰油屹傈芯湾展缩放胞赦敬桑婿秸盏梯斧娠锐谣吁韦祭牙帅堂第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性三、举例三、举例1、自由粒子动量守恒、自由粒子动量守恒自由粒子的哈密顿算符：自由粒子的哈密顿算符：所以自由粒子的动量是守恒量。所以自由粒子的动量是守恒量。办酷厂全尽压查叮爪肚支痊砸扁旦时简治冯瓜帐店钟椰弄纸啸柱腹现宾赘第四章力学量
9、随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量所以粒子在中心力场中运动时，角动量平方和角动量分量 2、粒子在中心力场中运动：角动量守恒粒子在中心力场中运动：角动量守恒又，又，都是守恒量。都是守恒量。睫粘朽殉堰醚枕睹树叮得竞寓击稗拢麦辆沁简洪炉剖芭慈营嘻迭秽浑盔凡第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性3、哈密顿不显含时间的体系能量守恒、哈密顿不显含时间的体系能量守恒不显含不显含t又又即即守恒（能量守恒）。守恒（能量守恒）。匪宝攫息然温拥颂磅胸蚊恍屯摈狙每腔脂葵肮审猛逢肠钻舷簇李对减旭瑟第四章力学量随时间的演化与对称
10、性第四章力学量随时间的演化与对称性即空间反演算符，它的作用是把波函数中的即空间反演算符，它的作用是把波函数中的它是厄米算符，它的本征值只有它是厄米算符，它的本征值只有，即即四、宇称守恒四、宇称守恒宇称算符宇称算符态函数的宇称态函数的宇称:允帜斑州箱婿票诱太铀贺匆锈肿延顾逻杰沮创赎旗纺哲岭侧量司缴瓶伺细第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性宇称守恒宇称守恒若体系哈密顿量具有空间反演不变性若体系哈密顿量具有空间反演不变性则则即即，亦即，亦即是一个守恒量，或者说是一个守恒量，或者说描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。描写的系统的宇称是不变的，称为宇称守恒定律。195
11、6年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都年以前，人们一直认为自然界的各种基本相互作用过程都遵从宇称守恒，但是，后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在遵从宇称守恒，但是，后来杨振宁、李政道和吴健雄证实了在弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性弱相互作用过程中宇称不守恒，从而使人类对自然界的对称性有了新的认识。有了新的认识。宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化。宇称守恒要求：状态波函数的奇偶性不随时间变化。寐卖迅俯纵衔本旧瘟郸迷碍祝鉴察幕谆碱预媳躯绥懦孩抄屏圭矽骄皂蘸背第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性四、能级简并与守恒量的关系四、能级
12、简并与守恒量的关系定理：定理：设体系有两个彼此不对易的守恒量，设体系有两个彼此不对易的守恒量，则：体系能级一般是简并的。则：体系能级一般是简并的。急蒜佯舷晒狙凹弊毫萎簇兴仑涛楚因牧渐砾祖趁儡欧保桓怖颊恒慷垢导垒第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性证明：证明：肯斑筑毒君叉钒缘凄奉找弃耻什替申砧工姑步崇捉靡拇迹颂簇舔咋强近熔第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性推论：如果体系有一个守恒量推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级，而体系的某条能级 不简并（即对应于某能量本征值不简并（即对应于某能量本征值E只有一个本只有一个本 征态），则征态
13、），则 必为必为F的本征态。的本征态。证明证明：交仙阵壮润筒欧抡刺余舶事泵幢湘撰盗执酮簧蔽曳乙尖牵蛤躇潜壬恐响莉第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性判断下列提法的正误判断下列提法的正误94页。页。对于自由粒子，对于自由粒子，证明动量，证明动量是守恒量。是守恒量。例题例题1：例题例题2：于渤焊孝肥芍际难鼻氰奴安坞冉蹄史猖椒矛谅复宿肌野镇拿罐疥球劳裳煌第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性例题例题3：4.4 教材教材95页。页。徊溺显荚穷痊则呼旧卓恐歇头懒认看稠涪梨搅喇瑟心受盟勾抨藻壳霸蝶诈第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演
14、化与对称性4.4守恒量与对称性守恒量与对称性德国数学家魏德国数学家魏尔尔（H.Weyl,1885-1955）用）用严谨严谨的概念描述的概念描述对对称称性性.他他对对上述上述现现象作了如下表述：象作了如下表述：若某若某图图形通形通过镜过镜面反射又回到自己，面反射又回到自己，则该图则该图形形对该镜对该镜面是面是反射反射对对称或双向称或双向对对称的称的.若某一若某一图图形形围绕轴围绕轴作任何作任何转动转动均能回到自身，均能回到自身，则该图则该图形具有形具有对对轴轴的的转动转动的的对对称性称性.（一）关于对称性（一）关于对称性无论对艺术还是自然科学，对称性都是重要的研究对象无论对艺术还是自然科学，对称
15、性都是重要的研究对象.帚彼郭嫡疲帧怨铰喝大垛呕裕次恶堆攻瞎沾鸳期堂嘶耸甸田悬肮剁拼艳冷第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性20世纪初，人们认识了世纪初，人们认识了守恒定律和对称性的关系守恒定律和对称性的关系.爱爱因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原因斯坦在狭义相对论将反映时空对称性的相对性原理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研理从力学推广于全部物理学，爱因斯坦用对称性研究引力究引力.20世纪中，人们还看到规范对称性决定着各世纪中，人们还看到规范对称性决定着各种相互作用的特征种相互作用的特征.如粒子物理弱相互作用下由左右如粒子物理弱相互作用下由左右不对
16、称，这意味着有对称又有不对称不对称，这意味着有对称又有不对称.从上述中已能从上述中已能看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到看到对称性在现代物理学中的重要作用同时也看到物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多物理学中的对称性已被研究得何等深入，包含了多么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一么博大深邃的人类的智慧，科学美与艺术美也统一起来了起来了.宜务篓沥磨接装芹洁侥悼斯币潮殊辊羹梅念支结奸赏积而耶迹钦窝样追宽第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性一一个个力力学学系系统统的的对对称称性性就就是是它它的的运运动动规规律律的的不不变变性性。在在量量子子力力学
17、学中中，运运动动规规律律是是薛薛定定谔谔方方程程，它它决决定定于于系系统统的的哈哈密密顿顿算算符符，因因此此，量量子子力力学学系系统统的的对对称称性性表表现现为为哈哈密密顿顿算算符符的的不变性。不变性。 在量子力学中，我们将看到：在量子力学中，我们将看到：能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系能量、动量、角动量的守恒与时空对称性有密切关系。空间旋转不变性与角动量守恒空间旋转不变性与角动量守恒空间反演对称性与宇称守恒空间反演对称性与宇称守恒空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒猩烬寺匆袒彼昨仍躬卞血遣砾摸祝唱夹执到茧欣粒赚骑曰唆篙走耶歧蝇培第四章力学量随时间的演化与对称性第四章
18、力学量随时间的演化与对称性即：即：给滴掌砾戏韵试芳枯充匠肄殴尽驼遭需薛拽友溢除屯苯趾痉表健蚕轴逼父第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性这就使体系这就使体系Hamilton量在变换量在变换Q下的不变性的数学表达下的不变性的数学表达表明和变换表明和变换相联系，必有一个守恒量。相联系，必有一个守恒量。Q注意：注意：一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，一般不是厄米算符，所以它本身不是守恒量算符，但它可以决定一个守恒量算符但它可以决定一个守恒量算符。凡满足该式的变换称为体系的对称性变换凡满足该式的变换称为体系的对称性变换降缩态冀驼奄呆驭甫蓖愤漱令拔创猛棚恃席秋支梦租颖
19、契曼惧策沏迈搭酚第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性考虑到概率守恒，要求考虑到概率守恒，要求则则Q应为幺正变换（算符），即应为幺正变换（算符），即对于连续变换，可考虑无穷小变换，令对于连续变换，可考虑无穷小变换，令即要求即要求裴请写魏篇须枕邻巨纹捆锥僳虎骆涅请焦副衡昧才霞促番老片姿塘闯早项第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性F为厄密算符，称为变换为厄密算符，称为变换Q的无穷小算符。的无穷小算符。由于其厄密性，可用它来定义一个与由于其厄密性，可用它来定义一个与Q变换相联系的可观测量变换相联系的可观测量将体系在将体系在Q变换下的不变性变换下的
20、不变性,应用到无穷小变换应用到无穷小变换可导致可导致F就是体系的一个守恒量就是体系的一个守恒量一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，反之，不一定成立。对于幺正变换对称性，的确存在相应反之，不一定成立。对于幺正变换对称性，的确存在相应的守恒量的守恒量求腐帽坎咖驭渍屡拟崖剑咎旭朋钵襄欧婿雏础偷聪各矛愉说允谜逆桔梢到第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性例例1.空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒考虑沿考虑沿方向的无穷小平移方向的无穷小平移，则波函数的变化为，则波函数的变化为于是平移变换算符为：于是平
21、移变换算符为：其中：其中：为相应的无穷小算符为相应的无穷小算符趁埠骨骇么默侗扳疹远脱错晓吱肃态愈口僳瞻绕卯根门碎旨喳现垢枚虏宽第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性对于三维空间的无穷小平移对于三维空间的无穷小平移，则有，则有其中：其中：即动量算符。即动量算符。如果体系对于平移具有不变性，即如果体系对于平移具有不变性，即则有则有根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒。根据力学量守恒条件可知：动量算符守恒。门勾纹敖予橇秉秋恼况倘各额旧翠躺班身袒燃芜蜡舅藕蛇条型川毒柄弊钒第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性例例2.空间旋转不变性与角动量守恒。空间旋
22、转不变性与角动量守恒。先考虑一个简单情况：即体系绕轴旋转无穷小角度先考虑一个简单情况：即体系绕轴旋转无穷小角度则波函数的变化为则波函数的变化为于是绕于是绕z轴旋转的变换算符为：轴旋转的变换算符为：其中：其中：是大家熟知的角动量的是大家熟知的角动量的z分量算符分量算符卑铰疥刀摘顶哀其华纤组稍浦膳灌罕酶闯床镇畔肘鸡唱卫束襄斗抨翔垫赘第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性于是绕于是绕轴旋转的变换算符为轴旋转的变换算符为:现在来考虑三维空间中的绕某方向现在来考虑三维空间中的绕某方向 （单位矢）的无穷小旋转（单位矢）的无穷小旋转则波函数的变化为则波函数的变化为腰歧置仟恩孕淫剐迷
23、甚翱挎瞅世勘挽冕牙每灯驼误羞控萍贺椽阂穷湿毯烃第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性其中：其中：是大家熟知的角动量算符。是大家熟知的角动量算符。如果体系具有空间旋转不变性，即如果体系具有空间旋转不变性，即则有则有由力学量守恒条件可知：角动量守恒。由力学量守恒条件可知：角动量守恒。帆鞍臭鞍蓝妒菩匀莽为原伺量瓦桑送议算纱倪华敷枕蜘愿溶泌肠儡烷道呐第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性（1 1）全同粒子）全同粒子质质量量、电电荷、自旋等固有性荷、自旋等固有性质质完全相同的微完全相同的微观观粒子。粒子。（2）经经典粒子的可区分性典粒子的可区分性经经典
24、力学中，固有性典力学中，固有性质质完全相同的两个粒子，是可以区分的。因完全相同的两个粒子，是可以区分的。因为为二粒子在运二粒子在运动动中，有各自确定的中，有各自确定的轨轨道，在任意道，在任意时时刻都有确定的位置刻都有确定的位置和速度。和速度。可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子12124.5.1 全同粒子和全同性原理全同粒子和全同性原理4.5全同粒子体系与波函数的交换对称性全同粒子体系与波函数的交换对称性（一）全同粒子的交换对称性（一）全同粒子的交换对称性吓木彻摈椎瓶撩诣丈筐芳扒收哨铁提源吟脑策掩傀尝降综糯凳幌咯视壬福第四章力学量随时间的演化与对称性第四
25、章力学量随时间的演化与对称性（3）微）微观观粒子的不可区分性粒子的不可区分性微微观观粒子运粒子运动动服从服从量子力学量子力学用用波函数描写波函数描写在波函数重叠区在波函数重叠区粒子是不可区分的粒子是不可区分的（4）全同性原理）全同性原理全同粒子所全同粒子所组组成的体系中，二全同粒子互相代成的体系中，二全同粒子互相代换换不引起体系物理状不引起体系物理状态态的改的改变变,即具有交即具有交换对换对称性。称性。全同性原理是量子力学的基本原理之一。全同性原理是量子力学的基本原理之一。对描述全同粒子体系的波函数带来限制：对描述全同粒子体系的波函数带来限制：要求描述全同粒子体系的波函数对于粒子交换具有对称性
26、。要求描述全同粒子体系的波函数对于粒子交换具有对称性。尿赖涅耗句白寓驾干趣佬铺阅湃佑逼柯玫痊胎腊讶楞敲危汲斜娶贱滑鲤妙第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性（1）Hamilton算符的算符的对对称性称性N个全同粒子个全同粒子组组成的体系，其成的体系，其Hamilton量量为为：调换调换第第i和第和第j粒子，粒子，体系体系Hamilton量不量不变变。即：即：表明，表明，N个全同粒子个全同粒子组组成的体系的成的体系的Hamilton量具有交量具有交换对换对称性，称性，交交换换任意两个粒子坐任意两个粒子坐标标（qi,qj)后不后不变变。（二）波函数的（二）波函数的对对称性
27、称性质质售氛农暴陶煞尸贝媳神葛堑吞赞沿收刷戊牛燕椎酶琶匠渊降杠阮丙效放韩第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性（2）对对称和反称和反对对称波函数称波函数考考虑虑全同粒子体系的含全同粒子体系的含时时Shrodinger方程方程将方程中（将方程中（qi,qj)调换调换，得：，得：由于由于Hamilton量量对对于于（qi,qj)调换调换不不变变表明：表明：（qi,qj)调换调换前后的波函数都是前后的波函数都是Shrodinger方程的解。方程的解。根据全同根据全同性原理：性原理：描写同一状描写同一状态态。因此，二者相差一常数因子。因此，二者相差一常数因子。鸳戚痉碎钧隐纠嗣
28、淬顽荷茎励握歌觅置酵秀羞恐曳乌裸凰瘴裳彝萄故卢曝第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性再做一次（再做一次（qi,qj)调换调换对对称波函数称波函数反反对对称波函数称波函数引入粒引入粒子坐子坐标标交交换换算算符符潞剥壮迫莹解片豁搂鸿小痔捏位媚泛盎挝峭台佑钦栋载谷智译咸贾芦粱昭第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性全同粒子体系波函数的全同粒子体系波函数的这这种种对对称性不随称性不随时间变时间变化，即初始化，即初始时时刻刻是是对对称的，以后称的，以后时时刻永刻永远远是是对对称的；初始称的；初始时时刻是反刻是反对对称的，以称的，以后后时时刻永刻永远远
29、是反是反对对称的。称的。证证方法方法I设设全同粒子体系波函数全同粒子体系波函数 s在在t时时刻是刻是对对称的，由体系称的，由体系哈密哈密顿顿量是量是对对称的，所以称的，所以H s在在t时时刻也是刻也是对对称的。称的。在在t+dt时时刻，波函数刻，波函数变变化化为为对对称称对对称称二二对对称波函称波函数之和仍是数之和仍是对对称的称的依次依次类类推，在以后任何推，在以后任何时时刻，波函数都是刻，波函数都是对对称的。称的。同理可同理可证证：t时时刻是反刻是反对对称的波函数称的波函数 a，在，在t以后任何以后任何时时刻都是反刻都是反对对称的。称的。（三）波函数（三）波函数对对称性的不随称性的不随时间变
30、时间变化化莹嘶眷埂讲踊榔宦直拨离赖眉盯鬃少千拴蜜溉符侧孕宾含岛贵穿侍夕纱版第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性方法方法II全同粒子体系哈全同粒子体系哈密密顿顿量是量是对对称的称的结论结论：描写全同粒子体系状描写全同粒子体系状态态的波函数只能是的波函数只能是对对称的或反称的或反对对称的，称的，其其对对称性不随称性不随时间时间改改变变。如果体系在某一。如果体系在某一时时刻刻处处于于对对称（或称（或反反对对称）称）态态上，上，则则它将永它将永远处远处于于对对称（或反称（或反对对称）称）态态上。上。苹寺檀伊周宜玩件汗腕侣句重愧寻淆湛窜嗅乏红假拜诀峨忻庐翰渣凯像碾第四章力学量
31、随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性实验实验表明：表明：对对于每一种粒子，它于每一种粒子，它们们的多粒子波函数的交的多粒子波函数的交换对换对称性是完称性是完全确定的，而且全确定的，而且该对该对称性与粒子的自旋有确定的称性与粒子的自旋有确定的联联系。系。（1）Bose子子凡自旋凡自旋为为整数倍（整数倍（s=0，1，2，)的粒子，其多粒子波函数的粒子，其多粒子波函数对对于交于交换换2个粒子个粒子总总是是对对称的，遵从称的，遵从Bose统计统计，故称，故称为为Bose子子如：如： 光子光子（s=1）；）； 介子介子（s=0）。）。（四）（四）Fermi Fermi 子和子和 Bose
32、 Bose 子子（2）Fermi子子凡自旋凡自旋为为半奇数倍（半奇数倍（s=1/2，3/2，)的粒子，其多粒子波函数的粒子，其多粒子波函数对对于交于交换换2个粒子个粒子总总是反是反对对称的，遵从称的，遵从Fermi统计统计，故称，故称为为Fermi子。子。例如：例如：电电子、子、质质子、中子（子、中子（s=1/2）等粒子。）等粒子。阳钠揉吨翅冗辫炭感窑救捻缠甜鸡黄挥维蝶幌确魂馁动害曰巴寥锯结挚海第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性（3）由）由“基本粒子基本粒子”组组成的复成的复杂杂粒子粒子如：如： 粒子（氦核）或其他原子核。粒子（氦核）或其他原子核。如果在所如果在所
33、讨论讨论或或过过程中，内部状程中，内部状态态保持不保持不变变，即内部自，即内部自由度完全被由度完全被冻结冻结，则则全同概念仍然适用，可以作全同概念仍然适用，可以作为为一一类类全同粒子来全同粒子来处处理。理。偶数个偶数个Fermi子子组组成成奇数个奇数个Fermi子子组组成成奇数个奇数个Fermi子子组组成成蓝啃柏饭该阔垫惶险歉叠款忱褪融沤赘炯篙掂逸齿怖卉荔云汀忧颜类焰韶第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性（1）对对称和反称和反对对称波函数的构成称波函数的构成I2个全同粒子个全同粒子Hamilton量量II单单粒子波函数粒子波函数4.5.2 两个全同粒子波函数两个全同
34、粒子波函数勋打尽弓栗肯澡舞鲍辨谁讫葵罗雇循拔轩干浩砷纂饶莽陷射琐逾骗缕咆赠第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性III交交换简换简并并粒子粒子1在在i态态，粒子，粒子2在在j态态，则则体系能量和波函数体系能量和波函数为为：验证验证：粒子粒子2在在i态态，粒子，粒子1在在j态态，则则体系能量和波函数体系能量和波函数为为：卜蒙疹期演戴典劲屡邑熏联谦卡烛窑婴夏应袋尝姚宵棚翁辕途躇衅扬撂数第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性IV满满足足对对称条件波函数的构成称条件波函数的构成全同粒子体系要全同粒子体系要满满足足对对称性条件，而称性条件，而 (q1,
35、q2)和和 (q2,q1)仅仅当当i=j二二态态相同相同时时，才是一个，才是一个对对称波函数；称波函数；当当i j二二态态不同不同时时，既不是，既不是对对称波函数，也不是反称波函数，也不是反对对称波函数。称波函数。所以所以 (q1,q2)和和 (q2,q1)不能用来描写全同粒子体系。不能用来描写全同粒子体系。构造具有构造具有对对称性的波函数称性的波函数C为归为归一化系数一化系数显显然然 S(q1,q2)和和 A(q1,q2)都是都是H的本征函数，本征的本征函数，本征值值皆皆为为：惜鲍正登呼妙耗价圃枷浙颊诊俏够跑爵诲允雨窖语押巳车货栋抱挝丢擂伏第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的
36、演化与对称性V S和和 A的的归归一化一化若若单单粒子波函数是正交粒子波函数是正交归归一化的，一化的，则则 (q1,q2)和和 (q2,q1)也是正交也是正交归归一化的一化的证证：同理：同理：而而同理：同理：证毕证毕首先首先证证明明抉旅粗爽捎渡型瓦动竣败贸业兹弘距仅名锌家寞黑百够拖崭喊咒亢聂枪疡第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性然后考然后考虑虑 S和和 A归归一化一化则归则归一化的一化的 S同理同理对对 A有：有：段戴族绎疡民框犯肘碎熏腊砧且猩展计卵每积涩狼诗窖彻怎僻挨铲侄防扒第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性（1）Shrodinge
37、r方程的解方程的解上述上述对对2个全同粒子的个全同粒子的讨论讨论可以推广到可以推广到N个全同粒子体系，个全同粒子体系，设设粒子粒子间间无互作用，无互作用，单单粒子粒子H0不不显显含含时间时间，则则体系体系单单粒子本粒子本征方程：征方程：4.5.3 N 个全同粒子体系波函数个全同粒子体系波函数辗毗类屋楞靛烃妙哩琳模朔壳抡睛霞础蒙屏城暮民栈涧廉溪铀吁平取赋涣第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性（2）Bose子体系和波函数子体系和波函数对对称化称化2个个Bose子体系，其子体系，其对对称化波函数是：称化波函数是：1，2粒子在粒子在i，j态态中的一种排列中的一种排列N个个B
38、ose子体系，其子体系，其对对称化波函数可称化波函数可类类推是：推是：N个个粒子在粒子在i，jk态态中的一种排列中的一种排列归归一化系数一化系数对对各种可能排列各种可能排列p求和求和nk是是单单粒子粒子态态 k上的粒子数上的粒子数责茹魔酣驻卜棚吉衬创衡垒醋雍桐肪篆炸售婆愉雕擂句孜责敞车笼区俘紧第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性例例:N=3Bose子体系子体系,，设设有三个有三个单单粒子粒子态态分分别记为别记为 1、 2、 3，求：，求：该该体系体系对对称化的波函数。称化的波函数。I、n1=n2=n3=1II、n1=3，n2=n3=0n2=3，n1=n3=0n3=3
39、，n2=n1=0III、n1=2，n2=1，n3=0。另外另外还还有有5种可能的状种可能的状态态，分，分别别是：是：宴浩佣撂绣荚圃固腐环妨辊蹭舌臂扶痉稗傈谚菜奥斡属铜踏太滔牧奖氰脸第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性n1=1，n2=0，n3=2n1=0，n2=1，n3=2n1=0，n2=2，n3=1n1=1，n2=2，n3=0n1=2，n2=0，n3=1徘犊咆哺揭跺津笛茶挣园腹叛单赊方邦忻究疆程瘫拯掇割搭杏幻扶希隆揉第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性附注：附注：关于重复关于重复组组合合问题问题从从m个不同元素中每次取个不同元素中每次取n
40、个元素（元素可重复个元素（元素可重复选选取）不管排列取）不管排列顺顺序构成一序构成一组组称称为为重复重复组组合，合，记为记为：（m可大于、等于或小于可大于、等于或小于n）重复重复组组合与合与通常通常组组合不合不同，其同，其计计算算公式公式为为：通常通常组组合合计计算公式：算公式：重复重复组组合合计计算公式表明：算公式表明：从从m个不同元素中每次取个不同元素中每次取n个元素的重复个元素的重复组组合的种数等于从（合的种数等于从（m+n-1）个不同元素）个不同元素中每次取中每次取n个元素的普通个元素的普通组组合的种数。合的种数。应应用重复用重复组组合，合，计计算全算全同同Bose子体系可能状子体系可
41、能状态总态总数是很方便的。数是很方便的。如上例，求体系可能状如上例，求体系可能状态总态总数的数的问问题实质题实质上就是一个从上就是一个从3个状个状态态中每中每次取次取3个状个状态态的重复的重复组组合合问题问题。今萄遍垫离兴拢颊疚鸯坡梦潘端啪帅眩穴狠仁寺愧填园嵌墅俄待径重肉釜第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性（3）Fermi子子体系和波函数反体系和波函数反对对称化称化2个个Fermi子体系，其反子体系，其反对对称化波函数是：称化波函数是：行列式的性行列式的性质质保保证证了波函数反了波函数反对对称化称化推广到推广到N个个Fermi子子体系：体系：两点两点讨论讨论I。行
42、列式展开后，每一。行列式展开后，每一项项都是都是单单粒子波函数乘粒子波函数乘积积形式，形式，因而因而 A是是本征方程本征方程H =E 的解的解.II。交。交换换任意两个粒子，等价于行列式中相任意两个粒子，等价于行列式中相应应两列两列对调对调，由行列式性由行列式性质质可知，行列式要可知，行列式要变变号，故号，故是反是反对对称称化波函数。此行列式称化波函数。此行列式称为为Slater行列式。行列式。崇壬贩汇优挡滞毋毗揖叔预责踏刷妖督喳肝卓怔酬锁濒鹿糙阳撩阎牧鸥彬第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性（1）二）二Fermi子子体系体系其反其反对对称化波函数称化波函数为为：若
43、二粒子若二粒子处处于相同于相同态态，例如都，例如都处处于于i态态，则则写成写成Slater行列式行列式两行相同，两行相同，行列式行列式为为0（2）NFermi子子体系体系（三）（三）Pauli 原理原理女鞭旗氓把库尸军蓄侨侄逗以崔周朽缘褂幽睫巍蔷溺啼赣陪授跃族小孙撑第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性如果如果N个个单单粒子粒子态态 i j k中有两个相同，中有两个相同，则则行列行列式中有两行相同，于是行列式式中有两行相同，于是行列式为为0，即，即两行两行同同态态上述讨论表明，上述讨论表明，N FermiN Fermi 子子体系中，不能有体系中，不能有 2 2 个或个
44、或 2 2 个以上个以上Fermi Fermi 子子处于同一状态，这一结论处于同一状态，这一结论称为称为 Pauli Pauli 不相容原理。波函数的反对称化保证不相容原理。波函数的反对称化保证了全同了全同Fermi Fermi 子子体系的这一重要性质。体系的这一重要性质。蒜仙禹呈螟生绅潍哑辽传敖槛骗强柱粘软只亚漏哥助十扳痘哭蛔送迭葫野第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性P95 P95 习题习题4.24.2解解: (a)对对两个全同的两个全同的Boss子，体系波函数必须满足子，体系波函数必须满足交换对称性。交换对称性。当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定当两个
45、粒子处于相同的单态时，体系波函数必定交换对称：交换对称：可能态数目可能态数目3当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波函数：函数：可能态数目可能态数目所以，两个全同所以，两个全同Boss子总的可能态数目子总的可能态数目6例题例题4：寥暴矢密耻辗这幻情冶拱示游绳碗杆冈是秸侄众傣厌厢弟帜宠鸦武覆任越第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性(b)对对两个全同的两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换子，体系波函数必须满足交换反对称要求。反对称要求。对对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因子不允许两个粒子处于相同的单态，因此
46、此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数：波函数：可能态数目可能态数目所以，两个全同所以，两个全同Femi子总的可能态数目子总的可能态数目3(b)对对两个经典的粒子两个经典的粒子(可区分可区分)，其体系波函数无对称，其体系波函数无对称性要求，即性要求，即可能态数目可能态数目牢迸彬挨宪杠茬麓所要扬舅棠售娟任天寐势晒洒撬糯浮湖冕褥仑抵肃钙盛第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性两个自旋均为两个自旋均为1/2的费密子体系的波函数为的费密子体系的波函数为（1212），如果），如果两个费米子是全同的。则两个费米子是全同的。则（
47、1 1） （12）满足什么条件？）满足什么条件？（2）利用所给出的）利用所给出的（12）所满足的条件，说明）所满足的条件，说明pauli不相容不相容原理。原理。例题例题5：解：（解：（1）（12）要满足）要满足（12）（21），），因为全同费米子体系的波函数对两个粒子的交换反对称。因为全同费米子体系的波函数对两个粒子的交换反对称。（2）由（12）（21）得，当两个粒子处于完全）得，当两个粒子处于完全相同的量子态，即相同的量子态，即12时，则时，则（11）（11）因此因此（11）0，这就是说，两个全同费米子不能处于，这就是说，两个全同费米子不能处于完全相同的量子态，这就是完全相同的量子态，这就是
48、Pauli不相容原理。不相容原理。卞崭邯萍假明乎孕掇久击阴仅龚帖贝拐令稽童脸竣荚蕉时闹苯酮遥粤彝抢第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性总总结结苹蒜篓副缘诈硼请恰烙廖幅芽指才畸去垄役巫至熟据疲连误播莹存爷迭囱第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性一、守恒量一、守恒量如果如果既不显含时间，既不显含时间， 又与又与对易对易守恒量有两个特点：守恒量有两个特点：(1).在任何态在任何态 (t)之下的平均值都不随时间改变；之下的平均值都不随时间改变； (2). 在任意态在任意态 (t)下下A的概率分布不随时间改变。的概率分布不随时间改变。拯滦恐扎癸仟涯
49、撇西轩绕宰的原钨笼弓移乏神疙啥码哄丰看当釉搀尽孰份第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性二、守恒量与对称性二、守恒量与对称性空间旋转不变性与角动量守恒空间旋转不变性与角动量守恒空间反演对称性与宇称守恒空间反演对称性与宇称守恒空间平移不变性与动量守恒空间平移不变性与动量守恒一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，一个体系若存在一个守恒量，则反映体系有某种对称性，反之，不一定成立。对于幺正变换对称性，的确存在相应反之，不一定成立。对于幺正变换对称性，的确存在相应的守恒量的守恒量控裔陌般稽挽梧绰挡支阜薛咕郊梯非三洋哉涪肃毡俩闻牺彝熏喇晚鲁雁败第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性三、全同粒子体系波函数三、全同粒子体系波函数全同粒子全同粒子波色子波色子费米子费米子对称波函数对称波函数反对称波函数反对称波函数波函数的交换对称性波函数的交换对称性Pauli不相容原理不相容原理卫逢逊琳柞坑歼犬霹陪五窍柒椽储符私廓札埔凭敏腕穴方属芳谣吾腑蠢蔓第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性作业：95页4.3、4.5题惺乌鹤菠诱蒸异见葵赵听羹噎振涩陵蛊淑疤衅舞仍梢彰孤鸟冤宽搁同傻块第四章力学量随时间的演化与对称性第四章力学量随时间的演化与对称性
