高等数学向量及其运算课件

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1、数量关系数量关系 第七章第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中在三维空间中: : 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 17.1 向量及其运算向量及其运算一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向解、投影 2 既既有有大大小小 又又有有方方向向的的量量叫叫做做向向量量 v 向量向量 向量可用粗体字母、向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示或加箭头的书写

2、体字母表示 以以A为起点、为起点、B为终点的有向线段所表示的向量为终点的有向线段所表示的向量, 记作记作AB 向量用一条有方向的线段向量用一条有方向的线段(称为有向线段称为有向线段)表示表示 v 向量的表示法向量的表示法 一、向量概念3 如如果果向向量量a和和b的的大大小小相相等等 且且方方向向相相同同 则则说说向向量量a和和b是相等的是相等的 记为记为a b 相等的向量经过平移后可以完全重合相等的向量经过平移后可以完全重合 向量的相等向量的相等 与与起起点点无无关关的的向向量量 称称为为自自由由向向量量 简简称称向向量量 自由向量自由向量 4向量的模向量的模 向量的大小叫做向量的模向量的大小

3、叫做向量的模 单位向量单位向量 模等于模等于1的向量叫做单位向量的向量叫做单位向量 零向量零向量 零向量的起点与终点重合零向量的起点与终点重合 它的方向可它的方向可以看作是任意的以看作是任意的 5向量的平行向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行就称这两个向量平行 向量向量a与与b平行平行 记作记作a/b 零向量认为是与任何向量都平行零向量认为是与任何向量都平行 6共线向量与共面向量共线向量与共面向量 当两个平行向量的起点放在同一点时当两个平行向量的起点放在同一点时 它它们的终点和公共的起点在一条直线上们的终点和公共的起点在一条直

4、线上 因此因此 两向量平行又称两向量共线两向量平行又称两向量共线 设有设有k(k 3)个向量个向量 当把它们的起点放在同当把它们的起点放在同一点时一点时 如果如果k个终点和公共起点在一个平面上个终点和公共起点在一个平面上 就称这就称这k个向量共面个向量共面 7二、向量的线性运算 设有两个向量设有两个向量a与与b 平移向量平移向量 使使b的起点与的起点与a的终点重合的终点重合 则从则从a的起点到的起点到b的终点的向量的终点的向量c称为称为向量向量a与与b的和的和 记作记作a b 即即c a b 1.1.向量的加法向量的加法 c a b三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则 8向量的加法

5、的运算规律向量的加法的运算规律 (1)交换律交换律a b b a (2)结合律结合律(a b) c a (b c) 9向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a). 负向量三角不等式 |a+b|a|+|b| |a-b|a|+|b| 等号在b与a同向或反向时成立. 与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量 记为-a. 10 当当 0时时 | a| 0 即即 a为零向量为零向量 向量向量a与实数与实数 的乘积记作的乘积记作 a 规定规定 a是一是一个向量个向量 它的模它的模| a| | |a| 它的方向当它的方向当 0时与时与a相同相同 当当 0时与时与a相反相反 2. .向量与数

6、的乘法向量与数的乘法 当当 1时时 有有( 1)a a 当当 1时时 有有1a a 11 (1)结合律结合律 ( a) ( a) ()a (2)分配律分配律 ( )a a a (a b) a b 向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律 向量的单位化向量的单位化 于是于是a |a|ea 设设a 0 则向量则向量 是与是与a同方向的单位向量同方向的单位向量 记为记为ea 12 例例1 1 形对角线的交点形对角线的交点 于是于是 解解 由于平行四边形的对角线互相平分由于平行四边形的对角线互相平分 所以所以 13例例设设的三边的三边三边中点分别为三边中点分别为 D、E、F 试用试用表示表示并

7、证明并证明证证ABCDEF14定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则ab设 ab取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,15“ ”则例例1. 设 M 为解解:ABCD 对角线的交点,已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab 16 给定一个点给定一个点O及一个单位向量及一个单位向量 i 就确定了就确定了一条数轴一条数轴Ox 并且轴上的点并且轴上的点P与实数与实数x有一一对应的关系有一一对应的关系 点点P实数实数x 实数实数x称为轴上点称为轴上点P的坐标的坐标 v 数轴与点的坐

8、标数轴与点的坐标 17说明：说明：三、空间直角坐标系 v 空间直角坐标系空间直角坐标系 y轴轴 z轴轴原点原点 x轴轴 在在空空间间取取定定一一点点O和和三三个个两两两两垂垂直直的的单单位位向向量量i、j、k 就就确确定定了了三三条条都都以以O为为原原点点的的两两两两垂垂直直的的数数轴轴 依依次次记记为为x轴轴(横横轴轴)、y轴轴(纵纵轴轴)、z轴轴(竖竖轴轴) 统统称称为为坐坐标标轴轴 它它们们构构成成一个空间直角坐标系一个空间直角坐标系 称为称为Oxyz坐标系坐标系 (2)数数轴轴的的的的正正向向通通常常符符合合右手规则右手规则 (1)通通常常把把x轴轴和和y轴轴配配置置在在水平面上水平面

9、上 而而z轴则是铅垂线轴则是铅垂线 18 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定任意两个坐标轴可以确定一个平面一个平面 这种这种平面称为坐标面平面称为坐标面 坐标面坐标面 三个坐标面分别称为三个坐标面分别称为xOy 面面 yOz面和面和zOx面面 卦限卦限 坐标面把空间分成八个部分坐标面把空间分成八个部分 每一部分叫做卦限每一部分叫做卦限 分别用字母分别用字母I、II、III、IV等等表示表示 19v 向量的坐标分解式 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有20 上式称为上式称为向量向量r的坐标分解式的坐标分解式 xi、yj、zk称为向量称为向量r沿三个坐标轴方向的分

10、向量沿三个坐标轴方向的分向量 点点M、向向量量r与与三三个个有有序序x、y、z之间有一一对应的关系之间有一一对应的关系 任给向量任给向量r 存在点存在点M及及xi、yj、zk 使使 有序数有序数x、y、z称为向量称为向量r的坐标的坐标 记作记作r (x y z) 有序数有序数x、y、z也称为点也称为点M的坐标的坐标 记为记为M(x y z) 向量向量 称为点称为点M关于原点关于原点O的向径的向径 21 坐坐标标面面上上和和坐坐标标轴轴上上的的点点 其其坐坐标标各各有有一一定定的的 特征特征 例如例如 点点M在在yOz面上面上 则则x 0 点点M在在zOx面上的点面上的点 y 0 点点M在在xO

11、y面上的点面上的点 z 0 点点M在在x轴上轴上 则则y z 0 点点M在在y轴上轴上,有有z x 0 点点M在在z轴上的点轴上的点 有有x y 0 点点M为原点为原点 则则x y z 0 v坐标轴上及坐标面上点的特征坐标轴上及坐标面上点的特征22四、利用坐标作向量的线性运算 设则平行向量对应坐标成比例:23 例例2 2其中其中a (2 1 2) b ( 1 1 2). 解解 如同解二元一次线性方程组如同解二元一次线性方程组 可得可得 x 2a 3b y 3a 5b 以以a、b的坐标表示式代入的坐标表示式代入 即得即得 x 2(2 1 2) 3( 1 1 2) (7 1 10) y 3(2 1

12、 2) 5( 1 1 2) (11 2 16) 24 解解 例例3 3 已知两点已知两点A(x1 y1 z1)和和B(x2 y2 z2)以及实数以及实数 1 这就是点这就是点M的坐标的坐标 由于由于 25说明: 由由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式中点公式:261. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与五、向量的模、方向角、投影 27例4. 求证以求证以证证:即为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点28例5. 在在 z 轴上求与两点轴上求与两点等距解解: 设该点为解得故所求点为及思考思

13、考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 29提示:(1) 设动点为利用得(2) 设动点为利用得且例例6. 已知两点和解解:求302. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作31方向余弦的性质:32例7. 已知两点已知两点和的模 、方向余弦和方向角 . 解解:计算向量33例8. 设点设点 A 位于第一

14、卦限位于第一卦限,解解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 343.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影 设点设点O及单位向量及单位向量e确定确定u轴轴 再过点再过点M作与作与u轴垂直的平面交轴垂直的平面交u轴于点轴于点M 则向量则向量 Prjur或或(r)u 35 向量向量a在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中的坐标中的坐标ax ay az就是就是a在三条在三条坐标轴上的投影坐标轴上的投影 即即 ax Prjxa ay Prjya az Prjza 性质性质3 3 ( a)u (a)u (即即Prju(

15、a) Prjua) 性质性质2 2 (a b)u (a)u (b)u (即即Prju(a b) Prjua Prjub) 性质性质1 1 (a)u |a|cos (即即Prjua |a|cos ) 其中其中 为向量与为向量与u轴的夹轴的夹角角 v 投影的性质投影的性质 36解解: : 因因例例. . 设设求向量求向量在在x x 轴上的投影及在轴上的投影及在y y轴上的分向量轴上的分向量. .在在 y y 轴上的分向量为轴上的分向量为故在故在 x x 轴上的投影为轴上的投影为37练习1设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为解：解：为边的平382. 已知一个向量的终点为它在x轴、y轴上的投影为求此向量起点A的坐标。解答提示：设解答提示：设答案：答案：39作业作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 1940