《高三数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第2节 导数在研究函数中的应用 第五课时 利用导数研究函数零点专题课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第2节 导数在研究函数中的应用 第五课时 利用导数研究函数零点专题课件 理（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五课时利用导数研究函数零点专题第五课时利用导数研究函数零点专题利用导数研究函数零点问题是导数的应用之一利用导数研究函数零点问题是导数的应用之一, ,也是高考考查的热点题型也是高考考查的热点题型, ,常作为解答题的一问出现常作为解答题的一问出现, ,难度较大难度较大. .解决此类问题一般是利用转化与化解决此类问题一般是利用转化与化归思想把问题转化为相应的方程根的问题或函数图象交点问题归思想把问题转化为相应的方程根的问题或函数图象交点问题. .专题概述专题概述方法一方法一 利用函数图象研究函数零点问题利用函数图象研究函数零点问题【例【例1 1】 已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3-3
2、ax-1,a0.-3ax-1,a0.(1)(1)求求f(xf(x) )的单调区间的单调区间; ;(2)(2)若若f(xf(x) )在在x=-1x=-1处取得极值处取得极值, ,直线直线y=my=m与与y=f(xy=f(x) )的图象有三个不同的的图象有三个不同的交点交点, ,求求m m的取值范围的取值范围. .解：解：(2)(2)因为因为f(xf(x) )在在x=-1x=-1处取得极值处取得极值, ,所以所以f(-1)=3f(-1)=3(-1)(-1)2 2-3a=0,-3a=0,所以所以a=1.a=1.所以所以f(xf(x)=x)=x3 3-3x-1,f(x)=3x-3x-1,f(x)=3x
3、2 2-3.-3.由由f(xf(x)=0,)=0,解得解得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=1.=1.由由(1)(1)中中f(xf(x) )的单调性的单调性, ,可知可知f(xf(x) )在在x=-1x=-1处取得极大值处取得极大值f(-1)=1,f(-1)=1,在在x=1x=1处取得极小值处取得极小值f(1)=-3.f(1)=-3.因为直线因为直线y=my=m与函数与函数y=f(xy=f(x) )的图象有三个不同的交点的图象有三个不同的交点, ,又又f(-3)=-19-3,f(-3)=-191,f(3)=171,结合结合f(xf(x) )的单调性的单调性, ,可知可知m m的取值范围是
4、的取值范围是(-3,1).(-3,1).反思归纳反思归纳 利用导数研究方程的解利用导数研究方程的解, ,就是利用数形结合的思想就是利用数形结合的思想, ,通过函数的性质找到方程解的各种情况所满足的关系式通过函数的性质找到方程解的各种情况所满足的关系式. .如本例可归如本例可归结为方程结为方程g(x)=f(x)-mg(x)=f(x)-m=0=0有三个不同的实数解有三个不同的实数解, ,函数函数g(xg(x) )是存在两个是存在两个极值点的三次函数极值点的三次函数, ,要使方程要使方程g(xg(x)=0)=0有三个不同的实数解有三个不同的实数解, ,只要函数只要函数的极大值大于零且极小值小于零即可
5、的极大值大于零且极小值小于零即可. .提醒提醒: :对于存在一个极大值和一个极小值的函数对于存在一个极大值和一个极小值的函数, ,其图象与其图象与x x轴交点的轴交点的个数个数, ,除了受两个极值大小的制约外除了受两个极值大小的制约外, ,还受函数在两个极值点外部函还受函数在两个极值点外部函数值的变化制约数值的变化制约, ,在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件. .【即时训练【即时训练】 已知定义域为已知定义域为R R的奇函数的奇函数f(xf(x),),当当x0x0时时,f(x)=ln,f(x)=ln x- x-ax+1(aax+1(aR R).).
6、(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的解析式的解析式; ;(2)(2)若函数若函数y=f(xy=f(x) )在在R R上恰有上恰有5 5个零点个零点, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .方法二方法二 构造函数法研究函数零点问题构造函数法研究函数零点问题【例【例2 2】 (2014(2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷)已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x3 3-3x-3x2 2+ax+2,+ax+2,曲线曲线y=f(xy=f(x) )在点在点(0,2)(0,2)处的切线与处的切线与x x轴交点的横坐标为轴交点的横坐标为-2.-2.(1)(1)求求a;a;(2)(2)证
7、明证明: :当当k1k0.1-k0.当当x0x0时时,g(x,g(x)=3x)=3x2 2-6x+1-k0,g(x)-6x+1-k0,g(x)单调递增单调递增, ,g(-1)=k-10,g(0)=4,g(-1)=k-10x0时时, ,令令h(xh(x)=x)=x3 3-3x-3x2 2+4,+4,则则g(x)=h(x)+(1-k)xh(xg(x)=h(x)+(1-k)xh(x).).h(xh(x)=3x)=3x2 2-6x=3x(x-2),h(x)-6x=3x(x-2),h(x)在在(0,2)(0,2)单调递减单调递减, ,在在(2,+)(2,+)单调递增单调递增, ,所以所以g(xg(x)h
8、(x)h(2)=0.)h(x)h(2)=0.所以所以g(xg(x)=0)=0在在(0,+)(0,+)没有实根没有实根. .综上综上,g(x,g(x)=0)=0在在R R有唯一实根有唯一实根, ,即曲线即曲线y=f(xy=f(x) )与直线与直线y=kx-2y=kx-2只有一个交点只有一个交点. .反思归纳反思归纳 证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤: :(1)(1)在该区间上构造与方程相应的函数在该区间上构造与方程相应的函数; ;(2)(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性利用导数研究该函数在该区间上的单调性; ;(3)(3)判断该函数在该区间
9、端点处的函数值异号判断该函数在该区间端点处的函数值异号; ;(4)(4)作出结论作出结论. .【即时训练】【即时训练】 (2016(2016郑州市第一次质量预测郑州市第一次质量预测) )已知函数已知函数f(xf(x)=(x)=(x2 2-2x)ln x-2x)ln x+ax+ax2 2+2.+2.(1)(1)当当a=-1a=-1时时, ,求求f(xf(x) )在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程处的切线方程; ;解解: : (1) (1)当当a=-1a=-1时时,f(x,f(x)=(x)=(x2 2-2x)ln x-x-2x)ln x-x2 2+2,+2,定义域为定义域为(0,+),(0,+),f(xf(x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x.)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x.所以所以f(1)=-3,f(1)=-3,又又f(1)=1,f(x)f(1)=1,f(x)在在(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程为处的切线方程为3x+y-4=0.3x+y-4=0.(2)(2)当当a0a0时时, ,设函数设函数g(xg(x)=f(x)-x-2,)=f(x)-x-2,且函数且函数g(xg(x) )有且仅有一个零点有且仅有一个零点, ,若若e-2xe,g(x)me-2xe,g(x)m, ,求求m m的取值范围的取值范围. .
