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1、 如果时间被作为离散变量，即变如果时间被作为离散变量，即变量量t t仅取整数值，那么，导数的概念仅取整数值，那么，导数的概念将不再适用。微分方程被差分方程所将不再适用。微分方程被差分方程所取代。取代。 差分方程就是同时包含了内生变差分方程就是同时包含了内生变量现值和滞后值的等式。量现值和滞后值的等式。CH7 CH7 差分方程差分方程2024/8/11经济数学CH6差分方程一、离散时间、差分与差分方程一、离散时间、差分与差分方程v在离散情况下，仅当变量在离散情况下，仅当变量t t从一个整数变为另外一个从一个整数变为另外一个整数值时，例如整数值时，例如t=1t=1变为变为t=2t=2时，时，y y
2、的值才会变化。的值才会变化。v现在的变化模式用差商现在的变化模式用差商y/ty/t来表示。它是导数来表示。它是导数dy/dtdy/dt在离散时间下的对应物。在离散时间下的对应物。v由于时间变量由于时间变量t t仅取整数值，因此在分析相邻两个连仅取整数值，因此在分析相邻两个连续时期的续时期的y y的变化时，的变化时， t=1t=1，差商，差商y/ty/t可以简化可以简化为为y y，称为，称为y y的一阶差分。的一阶差分。v一阶差分：一阶差分： y yt t=y=yt+1t+1-y-yt tv二阶差分：二阶差分： v2yt= ( yt) = (yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+
3、1-yt)2024/8/12经济数学CH6差分方程v一阶差分方程：一阶差分方程：y yt+1t+1=f(y=f(yt t) )v例子：一阶线性差分方程例子：一阶线性差分方程vy yt t=2y=2yt+1t+1-y-yt t=2=2vyyt t=y=yt t y yt+1t+1-y-yt t=y=yt t y yt+1t+1=2y=2yt tv一阶线性差分方程一般形式：一阶线性差分方程一般形式：vy yt+1t+1+ay+ayt t=x(t)=x(t)v如果如果x(t)=0x(t)=0，方程是齐次方程：如果数列，方程是齐次方程：如果数列y yt t满满足方程，则数列足方程，则数列kykyt t
4、也满足方程。也满足方程。vm m阶差分方程：阶差分方程：vy yt+mt+m=f(y=f(yt+m-1t+m-1, y, yt+m-2t+m-2, ,，y yt t) )2024/8/13经济数学CH6差分方程二、一阶差分方程的解法二、一阶差分方程的解法v解法：解法：v1 1、作图。、作图。v2 2、解析解。、解析解。2024/8/14经济数学CH6差分方程1、图解法、图解法v一阶差分方程：一阶差分方程：y yt+1t+1=f(y=f(yt t) )v第一步：计算稳态值或均衡值。第一步：计算稳态值或均衡值。v当当y yt+1t+1=y=yt t=y*=y*，即，即y*=f(y*)y*=f(y*
5、)时，离散动态系统时，离散动态系统达到均衡，达到均衡， y*y*是系统的均衡值。是系统的均衡值。v第二步：以第二步：以y yt+1t+1为纵轴，以为纵轴，以y yt t为横轴，判断均为横轴，判断均衡是否是稳定的。衡是否是稳定的。2024/8/15经济数学CH6差分方程v例例1 1：y yt+1t+1-0.5y-0.5yt t=1=1v写成：写成：y yt+1t+1=0.5y=0.5yt t+1+1v令令y yt+1t+1=y=yt t=y*=y*，带入，带入原方程，可以得到原方程，可以得到均衡值：均衡值：y*=2y*=2。 v例例2 2：y yt+1t+1-2y-2yt t=-1=-1ytyt
6、+1yt+1=0.5yt+122y0y1y1y2稳定的稳态稳定的稳态变化过程：变化过程：给定一个初始值给定一个初始值y y0 0，运动开始。在第，运动开始。在第1 1期得到期得到y y1 1，通过，通过4545线线可以在横轴上得到可以在横轴上得到y y1 1。由此可以得到第。由此可以得到第2 2时期的时期的y y2 2。2024/8/16经济数学CH6差分方程v例例3 3：一阶非线性：一阶非线性差分方程差分方程vy yt+1t+1=2y=2yt t-y-yt t2 2v首先计算均衡点：首先计算均衡点：vy=2y-yy=2y-y2 2vy*=0,y*=1y*=0,y*=1。v令令y yt+1t+
7、1=0,=0,可以得到可以得到在横轴上的截距：在横轴上的截距：0 0和和2 2。ytyt+10211系统在系统在y*=0点是不稳定的；点是不稳定的；在在y*=1点是稳定的。点是稳定的。y0y1y1y22024/8/17经济数学CH6差分方程稳定性总结稳定性总结v一阶差分方程：一阶差分方程：y yt+1t+1=f(y=f(yt t) )v均衡值为均衡值为y*y*。2024/8/18经济数学CH6差分方程练习：蛛网模型练习：蛛网模型v在时间在时间t t的需求的需求q qt td d取决于取决于当前市场价格当前市场价格p pt t，供给，供给q qt ts s取决于上期的价格取决于上期的价格p pt
8、-1t-1。当需求等于供给时，市场当需求等于供给时，市场出清。出清。v判断供求均衡是否稳定。判断供求均衡是否稳定。v供求模型：供求模型：vq qt td d=a-bp=a-bpt tvq qt ts s=-c+dp=-c+dpt-1t-1vq qt td d= q= qt ts sva,b,c,d0a,b,c,d0qpp0q1p1q2p2S斜率斜率=1/dD斜率斜率=-1/b结论：结论：当供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率，当供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率，即即dbd1(d/b)1时，模型时，模型是发散的；反之则是是发散的；反之则是收敛的。收敛的。2024/8/110经济数学CH6差分方程2
9、2、解析法、解析法v迭代法迭代法v例例1 1：y yt+1t+1=y=yt t+2+2，已知，已知y y0 0=10=10。v求解：求解：vy y1 1=y=y0 0+2+2vy y2 2=y=y1 1+2=y+2=y0 0+2+2=y+2+2=y0 0+2+22 2vy y3 3=y=y2 2+2=y+2=y0 0+2+22+2=y2+2=y0 0+3+32 2vvy yt t=y=y0 0+t+t2=10+2t2=10+2t例例2 2：y yt+1t+1-by-byt t=0=0求解：求解：y yt+1t+1=by=byt ty y1 1=by=by0 0y y2 2=by=by1 1=b
10、=bbyby0 0=b=b2 2y y0 0y yt t=b=bt ty y0 0b b的绝对值小于的绝对值小于1 1，y y收敛。收敛。2024/8/111经济数学CH6差分方程一般方法一般方法v1 1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：、常系数和常数项的一阶线性差分方程：vy yt+1t+1+ay+ayt t=c =c v其中，其中，a a和和c c是两个常数。是两个常数。v方程的通解由两部分的和构成：特别积分方程的通解由两部分的和构成：特别积分y yp p（它是方程的一（它是方程的一个任意解），余函数个任意解），余函数y yc c（它是齐次方程（它是齐次方程y yt+1t+1+ay+ay
11、t t=0=0的通解）。的通解）。v解的含义：解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时间路径与均衡的偏离。间路径与均衡的偏离。v余函数的计算：余函数的计算：v假设变量的解为：假设变量的解为：y yt t=Ab=Abt tv代入齐次方程得到：代入齐次方程得到：AbAbt+1t+1+aAb+aAbt t=0=0v消去非零公因子消去非零公因子AbAbt t，得到，得到b=-ab=-av因此，余函数为：因此，余函数为：y yc c=A(-a)=A(-a)t t2024/8/112经济数学CH6差分方程v特别积分的计算：特别积分的计算：v特别积分是原
12、方程的任意解，假设为常数特别积分是原方程的任意解，假设为常数k k。则则y yt+1t+1=y=yt t=k=k，即，即k k为系统的瞬时均衡值。为系统的瞬时均衡值。v将将k k代入原方程，得到代入原方程，得到:k+ak=c:k+ak=cv特别积分为：特别积分为：y yp p=k=c/(1+a)=k=c/(1+a)，a-1a-1。v如果如果a=-1a=-1，那么就假设，那么就假设y yt t=kt=kt，y yt+1t+1=k(t+1)=k(t+1)。v代入原方程得到：代入原方程得到：k=ck=c。v特别积分为：特别积分为：y yp p=kt=ct=kt=ct，a=-1a=-1。表示移动均。表
13、示移动均衡。衡。2024/8/113经济数学CH6差分方程将特别积分和余函数相加就可以得到原方程的通解。将特别积分和余函数相加就可以得到原方程的通解。a-1a=-12024/8/114经济数学CH6差分方程练习练习v求解一阶线性差分方程：求解一阶线性差分方程：vy yt+1t+1-5y-5yt t=1,y=1,y0 0=7/4=7/4v余函数：余函数：y yc c=A=A5 5t tv特别积分：特别积分：y yp p=-1/4=-1/4v通解为：通解为：y yt t=A=A5 5t t -1/4 -1/4v初始条件：初始条件：t=0t=0时时,y,y0 0=7/4,=7/4,代入得到：代入得到
14、：A=2A=2。v答案：答案： y yt t=25=25t t -1/4 -1/42024/8/115经济数学CH6差分方程v2 2、常系数和可变项的一阶线性差分方程、常系数和可变项的一阶线性差分方程vy yt t=ay=ayt-1t-1+m+mt tvm mt t是一个外生的时间函数，也被称为强制性函数。是一个外生的时间函数，也被称为强制性函数。v如果系数如果系数a a的绝对值小于的绝对值小于1 1，系统是稳定的；反之则，系统是稳定的；反之则是不稳定的。是不稳定的。v第一种情况：第一种情况：a a的绝对值小于的绝对值小于1 1。v对于任意变量对于任意变量y yt t，定义滞后因子，定义滞后因
15、子L L为：为：vLyLyt t=y=yt-1t-1, L, Ln ny yt t=y=yt-nt-n。v原方程可以表述为：原方程可以表述为：(1-aL)y(1-aL)yt t=m=mt tv由于由于(1-aL)(1+aL+a(1-aL)(1+aL+a2 2L L2 2+a+a3 3L L3 3+ +)=1)=1v所以所以(1-aL)(1-aL)-1-1= 1+aL+a= 1+aL+a2 2L L2 2+a+a3 3L L3 3+ +2024/8/116经济数学CH6差分方程该项即为特别积分。当该项即为特别积分。当m mt t为常数为常数m m时，时，y yt t=m/(1-a)=m/(1-a
16、)。余函数为齐次方程的解。余函数为齐次方程的解。例子：定义例子：定义K Kt t为为t t期期末的资本存量。资本存量的变化如下：期期末的资本存量。资本存量的变化如下：解为：解为：t t时期的资本存量等于第时期的资本存量等于第1 1时期到时期到t t时期的未折旧的投时期的未折旧的投资总量加上资总量加上0 0时期的未折旧时期的未折旧的初始资本存量。的初始资本存量。2024/8/117经济数学CH6差分方程v第二种情况：第二种情况：a a的绝对值大于的绝对值大于1 1。vy yt t=ay=ayt-1t-1+m+mt tv在这种情况下，在这种情况下，y yt t是发散的。对于一些经济问题来是发散的。
17、对于一些经济问题来说，这样的结果没有意义。另外，一些前瞻性说，这样的结果没有意义。另外，一些前瞻性（forward-lookingforward-looking）的经济变量，如资产价格，主）的经济变量，如资产价格，主要取决于未来变化。要取决于未来变化。v定义提前因子定义提前因子L L-1-1为：为：L L-1-1y yt t=y=yt+1t+1v原方程变为原方程变为：(L(L-1-1-a)y-a)yt-1t-1=L=L-1-1m mt-1t-1v将上式提前一个时期，并乘以将上式提前一个时期，并乘以-a-a-1-1，得到：，得到：v(1-a(1-a-1-1L L-1-1)y)yt t=-a=-a
18、-1-1L L-1-1m mt tv由于由于(1-a(1-a-1-1L L-1-1)(1+a)(1+a-1-1L L-1-1+a+a-2-2L L-2-2+a+a-3-3L L-3-3+ +)=1)=1v所以所以(1-a(1-a-1-1L L-1-1) )-1-1= 1+a= 1+a-1-1L L-1-1+a+a-2-2L L-2-2+a+a-3-3L L-3-3+ +2024/8/118经济数学CH6差分方程在许多经济模型中，变量会自动调整使在许多经济模型中，变量会自动调整使A=0A=0，即经济中没，即经济中没有自致的投机性资产价格泡沫。余函数将为零。有自致的投机性资产价格泡沫。余函数将为零
19、。2024/8/119经济数学CH6差分方程3 3、随机线性差分方程、随机线性差分方程v已知随机线性差分方程：已知随机线性差分方程：vE Et-1t-1y yt t=ay=ayt-1t-1+E+Et-1t-1m mt t a a的绝对值大于的绝对值大于1 1。v将方程前推一个时期，并引入将方程前推一个时期，并引入t t时期的预期：时期的预期：vE Et ty yt+1t+1=aE=aEt ty yt t+E+Et tm mt+1t+1, , 在该方程中，在该方程中，y yt t是是t t时所知信息惟一决时所知信息惟一决定的变量，因此定的变量，因此E Et ty yt t=y=yt tv利用提前
20、因子利用提前因子L L-1-1建立建立t t期和期和t+1t+1期的联系：期的联系：vL L-1-1E Et ty yt t= E= Et tL L-1-1y yt t= E= Et ty yt+1t+1v由此可以将差分方程表述为：由此可以将差分方程表述为：v(1-a(1-a-1-1L L-1-1) E) Et ty yt t=-a=-a-1-1L L-1-1E Et tm mt t假设余函数假设余函数为零，得到为零，得到方程的解：方程的解：2024/8/120经济数学CH6差分方程三、均衡的动态稳定性三、均衡的动态稳定性v由于一阶差分方程的通解由特别积分和余函数组成，由于一阶差分方程的通解由
21、特别积分和余函数组成，前者一般为常数，因此，动态的稳定性取决于余函前者一般为常数，因此，动态的稳定性取决于余函数。数。v余函数的一般形式为余函数的一般形式为A Ab bt t，因此它的变动：，因此它的变动：2024/8/121经济数学CH6差分方程四、二阶差分方程四、二阶差分方程v当当t t期的经济变量期的经济变量y yt t不仅取决于滞后一期的数不仅取决于滞后一期的数量量y yt-1t-1，而且取决于滞后两期的数量，而且取决于滞后两期的数量y yt-2t-2，这，这时就需要二阶差分方程。时就需要二阶差分方程。v二阶差分：二阶差分： v2 2y yt t= ( y= ( yt t) = (y)
22、 = (yt+1t+1-y-yt t)= (y)= (yt+2t+2- -y yt+1t+1)- (y)- (yt+1t+1-y-yt t)= y)= yt+2t+2-2y-2yt+1t+1+y+yt tv2 2y yt t与连续时间的与连续时间的d d2 2y/dty/dt2 2相对应。相对应。 2024/8/122经济数学CH6差分方程常系数和常数项的二阶线性差分方程常系数和常数项的二阶线性差分方程v求解：求解：y yt+2t+2+a+a1 1y yt+1t+1+a+a2 2y yt t=c=cv与一阶线性差分方程一样，其解由两部分组与一阶线性差分方程一样，其解由两部分组成：成：v表示表示
23、y y的瞬时均衡水平的特别积分的瞬时均衡水平的特别积分y yp pv表示每一时期与均衡偏离的余函数表示每一时期与均衡偏离的余函数y yc c。2024/8/123经济数学CH6差分方程特别积分特别积分2024/8/124经济数学CH6差分方程余函数余函数v余函数是齐次方程余函数是齐次方程y yt+2t+2+a+a1 1y yt+1t+1+a+a2 2y yt t=0=0的通解，形式的通解，形式一般为一般为y yt t=Ab=Abt t。代入方程并消去公因子得到原方程。代入方程并消去公因子得到原方程或齐次方程的特征方程：或齐次方程的特征方程：vb b2 2+a+a1 1b+ab+a2 2=0 =
24、0 具有两个特征根：具有两个特征根：第一种情况：第一种情况：a a1 12 24a4a2 2，存在不同的实根。余函数，存在不同的实根。余函数y yc c=A=A1 1b b1 1t t+A+A2 2b b2 2t t第二种情况：第二种情况：a1 12 24a2 2，存在相同的实根。，存在相同的实根。b=b1 1=b2 2=-a1 1/2余函数余函数yc c=A1 1bt t+A2 2tbt t时间路径的收敛性：时间路径的收敛性：b b1 1和和b b2 2的绝对值都大于的绝对值都大于1 1，余函数发散；都小于，余函数发散；都小于1 1则收敛到则收敛到0 0；如；如果一个绝对值大于果一个绝对值大
25、于1 1，一个小于，一个小于1 1，那么后者随时间推移而消失，路径发散。，那么后者随时间推移而消失，路径发散。 时间路径的收敛性：时间路径的收敛性：如果如果b b的绝对值大于的绝对值大于1 1，余函数发散；如果，余函数发散；如果b b的绝对值小于的绝对值小于1 1，那，那么么b bt t的衰减力量超过的衰减力量超过t t的放大力量，路径收敛。的放大力量，路径收敛。 2024/8/125经济数学CH6差分方程v第三种情况：第三种情况：a a1 12 24a4a2 2, ,特征根为共轭复根。特征根为共轭复根。时间路径的收敛性：时间路径的收敛性：时间路径为周期性的阶梯波动。当时间路径为周期性的阶梯波
26、动。当R1R1时，时，波动逐渐缩减。波动逐渐缩减。2024/8/126经济数学CH6差分方程五、差分方程组五、差分方程组v求解一阶差分方程组：求解一阶差分方程组：y yt t=Ay=Ayt-1t-1+m+mt tv其中，其中，y yt t和和m mt t是是n1n1列向量，列向量，A A是是nnnn常系数常系数矩阵。矩阵。v定义定义z zt t=V=V-1-1y yt t，V V是特征向量矩阵是特征向量矩阵v则则z zt t=V=V-1-1y yt t=V=V-1-1AyAyt-1t-1+ +V V-1-1m mt t=Dz=Dzt-1t-1+ +V V-1-1m mt tvD D是特征值对角矩阵是特征值对角矩阵vy yt t=Vz=Vzt t2024/8/127经济数学CH6差分方程例子：二阶差分方程组的稳定性例子：二阶差分方程组的稳定性系统的稳定性系统的稳定性取决于系数矩取决于系数矩阵的特征根。阵的特征根。如果两个特征根的绝对值都小于如果两个特征根的绝对值都小于1 1，系统是稳定的。，系统是稳定的。如果两个特征根的绝对值都大于如果两个特征根的绝对值都大于1 1，系统是不稳定的。，系统是不稳定的。如果一个的绝对值大于如果一个的绝对值大于1 1，另一个的绝对值都小于，另一个的绝对值都小于1 1，系统是鞍点稳定的。系统是鞍点稳定的。2024/8/128经济数学CH6差分方程
