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1、第第3讲函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.知 识 梳 理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)是奇函数关于_ 对称f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点相同相反奇函数偶函数偶函数奇函数(3)若函数f(x)是奇函数且在x0处有定义,则f(0)0.3.周期性 (1)周期函数:对
2、于函数yf(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(xT) ,那么就称函数yf(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.f(x)存在一个最小诊 断 自 测答案D答案B答案15.(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)x(1x),则x0时,f(x)_.解析当x0时,则x0,f(x)(x)(1x).又f(x)为奇函数,f(x)f(x)(x)(1x),即f(x)x(1x).答案x(1x)规律方法判断函数的奇偶性,其中包括两
3、个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.答案(1)D(2)C答案(1)C(2)B规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数,一般采用待定系数法求解,根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程(组),进而得出参数的值;(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式,首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式,或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程,从而
4、可得f(x)的值或解析式.(3)解f(0)0,f(1)1,f(2)0,f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数,f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 014)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)f(1)f(2)1.规律方法(1)判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)即可,且周期为T.(2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.(3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期
5、,则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.思想方法1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题:(1)求函数值,将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解;(2)求解析式,将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出;(3)求解析式中的参数,利用待定系数法求解;(4)画函数图象,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象.易错防范1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.