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1、上上次次内内容容回回顾顾：等等效效粘粘性性阻阻尼尼、系系统统对对周期激励的响应周期激励的响应讲述的内容讲述的内容第三章第三章 强迫振动强迫振动3.8 系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应卷积积分卷积积分13 38 8系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应卷积积分卷积积分 3 37 7节节讨讨论论了了周周期期激激励励作作用用下下系系统统的的响响应应。在在不不考考虑虑初初始始阶阶段段的的瞬瞬态态振振动动时时，它它是是稳稳态态的的周周期期振振动动。但但在在许许多多实实际际问问题题中中，激激励励并并非非是是周周期期函函数数，而而是是任任意意的的时时间间函函数数，或或者者是是在在极极短短时时间间间
2、间隔隔内内的的冲冲击击作作用用。例例如如，列列车车在在启启动动时时各各车车厢厢挂挂钩钩之之间间的的冲冲击击力力；火火炮炮在在发发射射时时作作用用于于支支承承结结构构的的反反作作用用力力；地地震震波波以以及及强强烈烈爆爆炸炸形形成成的的冲冲击击波波对对房房屋屋建建筑筑的的作作用用；精精密密仪仪表表在在运运输输过过程程中中包包装箱速度装箱速度( (大小与方向大小与方向) )的突变等。的突变等。2在在这这种种激激励励情情况况下下，系系统统通通常常没没有有稳稳态态振振动动，而而只只有有瞬瞬态态振振动动。在在激激励励停停止止作作用用后后，振振动动系系统统将将按按固固有有频频率率进进行行自自由由振振动动。
3、但但只只要要激激励励持持续续，即即使使存存在在阻阻尼尼，由由激激励励产产生生的的响响应应也也将将会会无无限限地地持持续续下下去去。系系统统在在任任意意激激励励作作用用下下的的振振动动状状态态，包包括括激激励励作作用用停停止止后后的的自自由由振振动动，称称为为任任意意激激励励的的响应，周期激励是任意激励的一种特例。响应，周期激励是任意激励的一种特例。3 有有多多种种方方法法可可以以确确定定系系统统对对任任意意激激励励的的响响应应，这这取取决决于于描描述述激激励励函函数数的的方方式式。一一种种方方法法是是用用傅傅里里叶叶积积分分来来表表示示激激励励，它它是是由由傅傅里里叶叶级级数数通通过过令令周周
4、期期趋趋近近于于无无穷穷大大的的极极限限过过程程来来得得到到的的。所所以以，实实质质上上激激励励不不再再是是周周期期的的。另另一一种种方方法法是是将将激激励励视视为为持持续续时时间间非非常常短短的的脉脉冲冲的的叠叠加加，引引用用卷卷积积积积分分的的方方法法，对对具具有有任任何何非非齐齐次次项项的的微微分分方方程程，都都用用统统一一的的数数学学形形式式把把解解表表示示出出来来，而而且且所所得得到到的的解解除除代代表表强强迫迫振振动动外外，还还包包括括伴伴随随发发生生的的自自由由振振动。动。4 1 1脉冲响应脉冲响应 一一单单位位脉脉冲冲输输入入，具具有有零零初初始始条条件件的的系系统统响应，称为
5、系统的脉冲响应。响应，称为系统的脉冲响应。 宽宽度度T0T0、高高度度l lT0T0的的矩矩形形脉脉冲冲，如如图图所所示示。这这个个矩矩形形脉脉冲冲的的面面积积为为1 1，为为了了得得到到单单位位脉脉冲冲，使使脉脉冲冲宽宽度度T0T0接接近近于于零零，而而保保持持面面积积为为1 1，在在极极限情况下，单位脉冲的数学定义为限情况下，单位脉冲的数学定义为5这个脉冲发生在这个脉冲发生在t=Ot=O处，如图所示。如果单位脉冲处，如图所示。如果单位脉冲发生在发生在t=at=a处，则它可由下式定义处，则它可由下式定义注注意意，(t-a)(t-a)是是一一个个沿沿着着时时间间轴轴正正向向移移动动了了a a时
6、时间间的单位脉冲。的单位脉冲。6 具具有有上上述述特特性性的的任任何何函函数数( (并并不不一一定定是是矩矩形形脉脉冲冲) )，都都可可用用来来作作为为一一个个脉脉冲冲，称称为为函函数数。数数学学上上，单单位位脉脉冲冲必必须须具具有有零零脉脉冲冲宽宽度度、单单位位面面积积和和无无限限的的高高度度。这这样样的的脉脉冲冲模模型型不不可可能能在在现现实实应应用用中中实实现现，然然而而在在具具体体系系统统的的脉脉冲冲试试验验中中，若若激激励励的的持持续续时时间间同同系系统统的的固固有有周周期期(T=1(T=1f)f)相相比比非非常常的的短短，则则激激励励就就可可以以考考虑虑为为一一个个脉脉冲冲。函函数
7、数的的单单位位为为s s-1-1，在在其其他他方方面面的的情情况况，函函数数将将有有不不同同的量纲。的量纲。7 如如果果在在t=0t=0与与t=at=a处处分分别别作作用用有有瞬瞬时时冲冲量量 ，则则对对应应的脉冲力可方便地写成的脉冲力可方便地写成式中式中 的单位为的单位为NsNs。 现在来研究单自由度阻尼系统对脉冲力现在来研究单自由度阻尼系统对脉冲力 的响应，系统振动微分方程为的响应，系统振动微分方程为假定系统在脉冲力假定系统在脉冲力 作用之前处于静止，即作用之前处于静止，即8由由于于 作作用用在在t=0t=0处处，对对于于t0+t0+，系系统统不不再再受受脉脉冲冲力力的的作作用用，但但其其
8、影影响响依依然然存存在在。另另外外，系系统统对对于于零零初初始始条条件件的的响响应应，将将变变成成t=O+t=O+时时的的初初始始条条件件引引起的自由振动。起的自由振动。为了找出为了找出t=0+t=0+时的初始条件，对方程时的初始条件，对方程在区间在区间0-tO+0-tO+上积分两次，有上积分两次，有因为因为9则方程则方程的的右右端端积积分分两两次次为为无无限限小小量量，可可以以略略去去不不计计。又又因因为为位位移移x x为为有有限限值值，所所以以方方程程左左端端第第二二项项和和第第三三项项的的积积分分值值是是无无限限小小量量或或高高一一阶阶的的无无限限小小量量，同同样样近近似取为零。考虑到似
9、取为零。考虑到x(O-)=0x(O-)=0，则有，则有也就是说，在脉冲力也就是说，在脉冲力 作用的极短时间内，质作用的极短时间内，质量量m m还来不及发生位移。还来不及发生位移。10在区间在区间0-tO+0-tO+上积分一次，有上积分一次，有现在，只对方程现在，只对方程 同理，上面方程的右端为同理，上面方程的右端为 ，左端的第二项为，左端的第二项为零，而第三项可以忽略不计，得零，而第三项可以忽略不计，得 可可见见，若若系系统统在在脉脉冲冲力力作作用用之之前前静静止止，脉脉冲冲力力使使速速度度产产生生瞬瞬时时变变化化，则则可可以以认认为为在在t=0t=0时时作作用用的的脉脉冲冲力力等等效效于于初
10、初始始位位移移x(0)=0x(0)=0和和初初始始速速度度 的的初始干扰作用，初始干扰作用，11所以方程所以方程等价于初始条件引起的自由振动，即等价于初始条件引起的自由振动，即其解为其解为令令 ，则则系系统统受受单单位位脉脉冲冲力力F(t)=(t)F(t)=(t)作作用用，其响应称为脉冲响应，即其响应称为脉冲响应，即12132 2卷积积分卷积积分 利利用用脉脉冲冲响响应应，可可以以计计算算振振动动系系统统对对任任意意激激励励函函数数F(t)F(t)的的响响应应，把把F(t)F(t)视视为为一一系系列列幅幅值值不不等等的的脉脉冲冲，用用脉脉冲冲序序列列近近似似地地代代替替激激励励F(t)F(t)
11、，如如图图所所示示，脉脉冲冲的的强强度度由由脉脉冲冲的的面面积积确确定定，在在任任意意时时刻刻t=t=处处，相相应应的的时时间间增增量量为为，有有一一个个大大小小为为F()F()的的脉脉冲冲，相相应应的的力力的的数数学学表表达达为为F()(t-)F()(t-)。因因为为在在t=t=处处 对对 脉脉 冲冲 的的 响响 应应 为为 h(t-)h(t-)， 所所 以以 脉脉 冲冲F()(t-)F()(t-)的的响响应应为为其其单单位位脉脉冲冲响响应应和和脉脉冲冲强强度度的的乘乘积积，即即F()h(t-)F()h(t-)。通通过过叠叠加加，求求出出序列中每一脉冲引起的响应的总和为序列中每一脉冲引起的响
12、应的总和为1415令令00，并取极限，上式表示为积分形式，并取极限，上式表示为积分形式上上式式称称为为卷卷积积积积分分，又又称称为为杜杜哈哈梅梅(Duhamel)(Duhamel)积积分分，它它将将响响应应表表示示成成脉脉冲冲响响应应的的叠叠加加。这这里里h(t-)h(t-)是是将将方方程程中中h h（t t）的的t t用用t-t-代代替替后后得得到到的的。因因而而，将将方方程程中中h h（t t）的的t t换换成成t-t-后后代代入入上上面面方方程程，得得到到16上上式式表表示示单单自自由由度度有有阻阻尼尼的的质质量量弹弹簧簧系系统统对对任任意意激激励励F(t)F(t)的的响响应应。要要注注
13、意意的的是是，上上面面方方程程是是在在零零初初始始条条件件下下，对对于于输输入入F(t)F(t)得得到到的的系系统统输输出出x(t)x(t)。若若在在t=0t=0时时，任任意意激激励励F(t)F(t)作作用用的的瞬瞬时时，系系统统的的初初始始位移和初始速度为位移和初始速度为则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即17积积分分式式中中的的脉脉冲冲响响应应被被推推迟迟或或移移动动了了时时间间t-t-，也也可可以以移移动动激激励励函函数数F(t)F(t)来来代代替替脉脉冲冲响响应应的的移移动动而而导导出出一一个个相相似似的的式式子子。令令t
14、-=ut-=u则则-dr=du-dr=du，此此外外考考虑虑式式中中的的积积分分限限界界，当当=0=0时时，u=tu=t，当当=t=t时，时，u=0u=0，将其代入式中，得到，将其代入式中，得到式式上上式式为为卷卷积积积积分分的的另另一一种种表表达达形形式式。式式中中的的和和式式中中的的u u只只是是积积分分变变量量，可可见见卷卷积积积积分分对对于于激激励励F(t)F(t)和和脉冲响应脉冲响应h(t)h(t)是对称的，即是对称的，即18 卷卷积积积积分分在在线线性性系系统统研研究究中中是是一一个个有有力力的的工工具具。虽然式虽然式不便于笔算，但是用计算机可以容易地进行计算。不便于笔算，但是用计
15、算机可以容易地进行计算。19例例3 38-18-1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：试用卷积积分计算其响应。试用卷积积分计算其响应。解：在方程解：在方程中，令中，令=0=0，d=nd=n，则，则20为当为当tOtO时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式上上式式右右端端第第一一项项代代表表强强迫迫振振动动，它它是是按按激激励励频频率率进进行行的的稳稳态态运运动动，即即使使振振动动系系统统有有阻阻尼尼也也并并不不衰衰减减；第第二二项项是是按按固固有有频频率率nn进进行行的的自自由由振振动动，只只要要振振动动
16、有有极极微微小小的的阻阻尼尼就就会会迅迅速速衰衰减减，所所以以是是瞬瞬态态振振动动。应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动可同时得出。应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动可同时得出。21例例3.82 3.82 试试确确定定单单自自由由度度无无阻阻尼尼系系统统在在零零初初始始条条件件下下对图中激励函数的响应。对图中激励函数的响应。 解：由图可得激励函数为解：由图可得激励函数为 由方程由方程 得到得到2223例例3.83 3.83 如如图图所所示示为为一一质质量量弹弹簧簧系系统统，箱箱子子由由高高h h处处静静止止自自由由下下落落，当当箱箱子子触触到到地地面面时时，试试求求传传递递到到质质量量m m上上
17、的的最最大大力力是是多多少少? ?假假定定质质量量m m和和箱箱子子之之间间有有足够的间隙，不会碰撞。足够的间隙，不会碰撞。 解解：设设x x与与y y分分别别代代表表质质量量m m与与箱箱子子的的绝绝对对位位移移，在自由下落过程中，质量在自由下落过程中，质量m m的运动微分方程为的运动微分方程为以以z=x-yz=x-y代表质量代表质量m m相对于箱子的相对位移，有相对于箱子的相对位移，有24式中式中 假定箱子的质量远大于质量假定箱子的质量远大于质量m m，因而可以认为，因而可以认为质量质量m m的运动不影响箱子的自由下落。由于箱子是的运动不影响箱子的自由下落。由于箱子是由高由高h h处自由下
18、落，故有处自由下落，故有由卷积积分由卷积积分有有25因而因而这就是在箱子着地前质量这就是在箱子着地前质量m m相对于箱子的位移与速度。相对于箱子的位移与速度。设箱子着地的瞬时为设箱子着地的瞬时为t1t1，由自由落体知，由自由落体知就在瞬时就在瞬时t1t1之前，质量之前，质量m m的相对位移和相对速度为的相对位移和相对速度为26同时箱子的速度为同时箱子的速度为由由于于箱箱子子着着地地后后即即静静止止在在地地面面上上，不不回回跳跳。在在箱箱子子着地的瞬间，质量着地的瞬间，质量m m相对箱子的位移与速度分别为相对箱子的位移与速度分别为27改改取取瞬瞬时时t t1 1为为初初始始瞬瞬时时，则则箱箱子子
19、着着地地后后质质量量m m相相对对箱子作自由振动，其相对运动方程为箱子作自由振动，其相对运动方程为式中式中28通过弹簧传递到质量通过弹簧传递到质量m m上的最大力等于上的最大力等于kAkA，即，即3 3单位阶跃响应单位阶跃响应 作作为为卷卷积积积积分分的的一一种种应应用用，现现在在来来计计算算单单自由度阻尼系统对单位阶跃函数的响应。自由度阻尼系统对单位阶跃函数的响应。如图所示的单位阶跃函数在数学上可以定义为如图所示的单位阶跃函数在数学上可以定义为29显显然然，函函数数在在t=at=a处处有有一一突突变变，其其值值从从O O跳跳到到1 1。如如果果突突变变发发生生于于t=0t=0处处，那那么么这
20、这一一函函数数可可以以简简单单地地写写成成u(t)u(t)。单单位位阶阶跃跃函函数数是是无无量量纲纲的的函函数数。于于是是当当一一个个任任意意函函数数F(t)F(t)与与单单位位阶阶跃跃函函数数u(t-a)u(t-a)相相乘乘时时，F(t)u(t-a)F(t)u(t-a)相相对对于于tatata的部分则不受影响，即的部分则不受影响，即 单单位位阶阶跃跃函函数数u(t-a)u(t-a)与与脉脉冲冲函函数数(t-a)(t-a)之之间间存存在在着密切的关系，即着密切的关系，即30反过来，则反过来，则(t-a)(t-a)可以视为可以视为u(t-a)u(t-a)对时间的导数，即对时间的导数，即当当初初始
21、始条条件件为为零零时时，系系统统对对在在t=0t=0处处所所作作用用的的单单位位阶阶跃跃函函数数u(t)u(t)的的响响应应，称称为为系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应，用用g(t)g(t)表示。表示。将将F()=u()F()=u()代入卷积积分，可得单位阶跃响应代入卷积积分，可得单位阶跃响应考虑到考虑到31因而积分可以改写成因而积分可以改写成令令t-=at-=a，d=-dad=-da，并互换积分的限界后，积分成为，并互换积分的限界后，积分成为作一些代数运算后，并注意到作一些代数运算后，并注意到方程简化为方程简化为32式式中中单单位位阶阶跃跃函函数数u(t)u(t)表表明明t0t0时时g(t
22、)=0g(t)=0。g(t)g(t)对对t t的的曲线如图所示。上式也可以变换为曲线如图所示。上式也可以变换为式中式中33这这说说明明突突加加单单位位力力不不仅仅使使弹弹簧簧产产生生静静变变形形1/k1/k，同同时时使使系系统统发发生生振振幅幅为为的的 衰衰减减运运动动。若若忽忽略略阻阻尼尼不计，即不计，即=0=0，d d=n n，则单位阶跃响应为，则单位阶跃响应为34可见弹簧最大变形为可见弹簧最大变形为2/k2/k，等于静变形的两倍。，等于静变形的两倍。例例3.84 3.84 试试用用单单位位阶阶跃跃函函数数的的概概念念计计算算单单自自由由度度无阻尼系统对图所示的矩形脉冲的响应无阻尼系统对图
23、所示的矩形脉冲的响应x(t)x(t)。 解解：图图所所描描述述的的函函数数F(t)F(t)可可以以方方便便地地用用单单位位阶阶跃跃函函数数来来表示：表示：35根据单自由度无阻尼系统对在根据单自由度无阻尼系统对在t=Ot=O处所作用的单位处所作用的单位阶跃函数的响应式阶跃函数的响应式可可以以把把u(t+T)u(t+T)的的响响应应表表示示为为g(t+T)g(t+T)，这这只只要要在在方方程程中中用用t+Tt+T代代替替t t后后就就可可得得到到。同同样样，对对u(t-T)u(t-T)的的响响应应表示为表示为g(t-T)g(t-T)。因而系统对。因而系统对F(t)F(t)的响应就成为的响应就成为x(t)x(t)对对t t的曲线如图所示。的曲线如图所示。3637
