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1、 第三章第一节 数学期望 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那的概率分布，那么么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重
2、要的数字特征是重要的 . 其中最常用的是其中最常用的是期望期望和和方差方差一、问题的引入一、问题的引入下面是两名射手的成绩统计表，问：哪个下面是两名射手的成绩统计表，问：哪个射手的本领高？射手的本领高？设想：每人都打了设想：每人都打了N枪。则枪。则总环数总环数甲：甲：80.4N90.1N100.5N9.1N乙：乙：80.3N90.4N100.3N9.0N总环数总环数甲：甲：80.4N90.1N100.5N9.1N乙：乙：80.3N90.4N100.3N9.0N平均每枪环数平均每枪环数甲：甲：9.1N / N9.1乙：乙：9.0N / N9.0甲射手的水平较高。甲射手的水平较高。相当于相当于80
3、.490.1100.59.1相当于相当于80.390.4100.39.0在这里，我们用了在这里，我们用了平均每枪环数平均每枪环数这样一个指这样一个指标来衡量甲、乙两个射手的水平，它是环数标来衡量甲、乙两个射手的水平，它是环数的的以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均，是，是“每枪环数每枪环数”这个随机变量的重要特征，称为期望。这个随机变量的重要特征，称为期望。二、随机变量的数学期望二、随机变量的数学期望 1、离散型、离散型r.v的数学期望的数学期望 定义定义1 设设离散型随机变量离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为:若级数若级数 绝对收敛，则称此级数的和为绝对收敛，则称此级数的和为r.v
4、 的数学期望，简称期望或均值。记为的数学期望，简称期望或均值。记为即即例例1、设设r.v. 服从服从01分布，求分布，求 。解：由题知解：由题知 的分布列为的分布列为例例2、假设一部机器在一天内发生故障的概假设一部机器在一天内发生故障的概率为率为0.20.2，机器发生故障时全天停止工作。，机器发生故障时全天停止工作。若一周若一周5 5个工作日里无故障，可获利润个工作日里无故障，可获利润1010万万元；发生一次故障仍可获利润元；发生一次故障仍可获利润5 5万元；发生万元；发生两次故障所获利润为零；发生三次或三次以两次故障所获利润为零；发生三次或三次以上故障就要亏损上故障就要亏损2 2万元。求一周
5、内期望利润万元。求一周内期望利润是多少？是多少？ 解：设一周内所获利润为解：设一周内所获利润为 ，首先求出，首先求出 的的分布。分布。 的所有可能取值为的所有可能取值为10，5，0，2，（单，（单位：万元）位：万元）一周内期望利润为一周内期望利润为5.20896万元。万元。例例3、设设某射手每次击中目标的概率为某射手每次击中目标的概率为 p ，他手中有他手中有10发子弹准备对一目标连续射击发子弹准备对一目标连续射击（每次打一发），一旦击中目标或子弹打完（每次打一发），一旦击中目标或子弹打完了就立刻转移到别的地方去，问他在转移前了就立刻转移到别的地方去，问他在转移前平均射击几次？平均射击几次？解
6、：射手在转移前的射击次数是随机变量解：射手在转移前的射击次数是随机变量 首先求出首先求出 的分布。的分布。 的所有可能取值为的所有可能取值为1，2 10。2、连续型、连续型r.v的数学期望的数学期望 定义定义2 设设连续型随机变量连续型随机变量 有概率密度有概率密度 ，若积分若积分 绝对收敛，则称此积分的值绝对收敛，则称此积分的值为为r.v 的数学期望，记为的数学期望，记为例例4、计算在区间计算在区间a,b上上服从均匀分布的服从均匀分布的r.v. 的数学期望。的数学期望。解：由题知解：由题知 的概率密度为的概率密度为故故例例5、某种电子元件的使用寿命某种电子元件的使用寿命 是一个是一个r.v.
7、 其概率密度为其概率密度为 解：解：其中其中 ，求这种元件的平均使用寿命。，求这种元件的平均使用寿命。指数指数分布分布随机变量的数学期望是随机变量随机变量的数学期望是随机变量按其按其取值概率的加权平均取值概率的加权平均，表征其概率分，表征其概率分布的布的中心位置中心位置，是概率论发展早期就，是概率论发展早期就已产生的一个重要概念。已产生的一个重要概念。三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1、离散型、离散型r.v的函数的数学期望的函数的数学期望 定义定义3 设设离散型随机变量离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为:则则 的期望为的期望为如果已知如果已知r.v. 的分布，需要计
8、算的不是的分布，需要计算的不是 的期的期望，而是它的某个函数望，而是它的某个函数 的期望，的期望， 那么又应那么又应该如何计算呢？该如何计算呢？2、连续型、连续型r.v的函数的数学期望的函数的数学期望 定义定义4 设设连续型随机变量连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 则它的函数则它的函数 的期望为的期望为定义定义3和定义和定义4表明，求随机变量函数表明，求随机变量函数的数学期望，并不需要先求出该函数的数学期望，并不需要先求出该函数的分布，而是可直接利用原始的分布的分布，而是可直接利用原始的分布求得。这将大大地简化计算。求得。这将大大地简化计算。例例6、设设r.v. 的分布列如下，求的分布列如下，求 ， ， 。解：解：例例7、设设r.v. 服从服从 上的均匀分布，求上的均匀分布，求 的数学期望。的数学期望。解：由题知解：由题知 的概率密度为的概率密度为故故设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量 的概率分布为的概率分布为 ，i, j=1,2, .则则: :设二维连续型随机向量设二维连续型随机向量 的密度函数为的密度函数为 , ,则则: :
