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1、* *邳州市铁富高级中学高三数学组数列求和的常用方法数列求和的常用方法一、公式求和法一、公式求和法邳州市铁富高级中学高三数学组方法总结：方法总结：公式求和法公式求和法:对等差数列、等比数列或可以转化对等差数列、等比数列或可以转化成等差、等比数列的数列成等差、等比数列的数列,求前求前n项和项和Sn可直接用可直接用等差、等比数列的前等差、等比数列的前n项和公式进行求解项和公式进行求解!Ex1.已知数列已知数列an:若若an=2n+3,求求Sn=? , ,求求Sn=?. . 若若数列求和的常用方法数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组二、分组求和法二、分组求和法例例例例1(1) 1(1) 求
2、数列求数列求数列求数列 的前的前的前的前n n项和项和项和项和. . 通项通项通项通项是若干项的代数和是若干项的代数和是若干项的代数和是若干项的代数和, ,如如如如： 可以把它按需要拆开可以把它按需要拆开可以把它按需要拆开可以把它按需要拆开! !方法总结方法总结: :分组求和法分组求和法: :将数列的一项分成两项将数列的一项分成两项( (或多项或多项),),然后重新组合然后重新组合, ,再利用等差、等比数列的前再利用等差、等比数列的前n项项和公式进行求解和公式进行求解! ! E Ex x2 2 求数列求数列求数列求数列 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.9, 0.99,
3、0.999, 0.9999, 的的的的前前前前n n项和项和项和项和! !数列求和的常用方法：数列求和的常用方法：邳州市铁富高级中学高三数学组例例例例2. 2. 求数列求数列求数列求数列 的前的前的前的前n n项和！项和！项和！项和！ 分析：分析：分析：分析：该该该该数列可看作等差数列数列可看作等差数列数列可看作等差数列数列可看作等差数列 等比数列等比数列等比数列等比数列 的积数列的积数列的积数列的积数列, ,这里等比数列的公比这里等比数列的公比这里等比数列的公比这里等比数列的公比 q =q =三、错位相减法三、错位相减法 错位相减法在等比数列错位相减法在等比数列错位相减法在等比数列错位相减法
4、在等比数列求前求前求前求前 n n项和时用过；它主项和时用过；它主项和时用过；它主项和时用过；它主要用于由一个要用于由一个要用于由一个要用于由一个等差数列等差数列等差数列等差数列与与与与一个一个一个一个等比数列等比数列等比数列等比数列的的的的积积积积数列。数列。数列。数列。错位相减法法步骤如下：错位相减法法步骤如下：1 1、在、在、在、在 的两边同时乘于公比的两边同时乘于公比的两边同时乘于公比的两边同时乘于公比q;q;2 2、两式相减、两式相减、两式相减、两式相减 : : 左边为左边为左边为左边为 ，右边，右边，右边，右边q q的的的的同次式相减同次式相减同次式相减同次式相减; ;3 3、右边
5、去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的 各项组成等比数列，可用公式求和各项组成等比数列，可用公式求和各项组成等比数列，可用公式求和各项组成等比数列，可用公式求和! !数列求和的常用方法数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组例例例例2. 2. 求数列求数列求数列求数列 的前的前的前的前n n项和！项和！项和！项和！ 解析：解析：解析：解析：两式相减：两式相减：两式相减：两式相减：所以：所以：所以：所以：运算整理得：运算整理得：运算整理得：运算整理得：
6、数列求和的常用方法数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组变式变式变式变式: : 设设设设 , ,求数列求数列求数列求数列 的前的前的前的前n n项项项项和和和和! ! 分析：分析：分析：分析：这个数列的每一项都含有这个数列的每一项都含有这个数列的每一项都含有这个数列的每一项都含有a a，而，而，而，而a a等于等于等于等于1 1或不等于或不等于或不等于或不等于1 1，对，对，对，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行! ! 解：解：解：解：两边同乘
7、两边同乘两边同乘两边同乘a a: :两式相减：两式相减：两式相减：两式相减：所以：所以：所以：所以：运算并整理得：运算并整理得：运算并整理得：运算并整理得：数列求和的常用方法数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组分析：分析：分析：分析：四、裂项相消法四、裂项相消法 顾名思义，顾名思义，顾名思义，顾名思义，“ “裂项相消法裂项相消法裂项相消法裂项相消法” ”就是把数列的项拆成几项，就是把数列的项拆成几项，就是把数列的项拆成几项，就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为然后，前后交叉相消为然后，前后交叉相消为然后，前后交叉相消为0 0达到达到达到达到求和目的的一种方法！求和目的的一种方
8、法！求和目的的一种方法！求和目的的一种方法！该方法多用于分母为等差数列相邻几项之积该方法多用于分母为等差数列相邻几项之积该方法多用于分母为等差数列相邻几项之积该方法多用于分母为等差数列相邻几项之积, ,分子为常数的分式型数列求和！分子为常数的分式型数列求和！分子为常数的分式型数列求和！分子为常数的分式型数列求和！E Ex x4 4、求数列、求数列、求数列、求数列 的前的前的前的前n n 项和项和项和项和! !数列求和的常用方法数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组五、倒序求和法五、倒序求和法将数列的倒数第将数列的倒数第将数列的倒数第将数列的倒数第 k k 项项项项( ( ( (k k=
9、1, 2, 3, =1, 2, 3, ) ) ) )变为正数第变为正数第变为正数第变为正数第 k k 项项项项, , 然然然然后将得到的新数列与原数列进行变换后将得到的新数列与原数列进行变换后将得到的新数列与原数列进行变换后将得到的新数列与原数列进行变换( ( ( (相加、相减等相加、相减等相加、相减等相加、相减等) ) ) )！数列求和的常用方法数列求和的常用方法推导等差数列前推导等差数列前n项和的重要方法！项和的重要方法！邳州市铁富高级中学高三数学组例例例例4 4、已知、已知、已知、已知 lglgx x+lg+lgy y= =a a, , 且且且且 S Sn n= =lglgx xn n
10、+lg(+lg(x xn n- - - -1 1y y)+lg()+lg(x xn n- - - -2 2y y2 2)+)+ +lglgy yn n, , 求求求求 S Sn n=?=?解解解解: : : : 由由由由 S Sn n=lg=lgx xn n+lg(+lg(x xn n- - - -1 1y y)+lg()+lg(x xn n- - - -2 2y y2 2)+)+ +lglgy yn n, ,又又又又 S Sn n= =lglgy yn n +lg(+lg(xyxyn n- - - -1 1)+)+lg(+lg(x xn n- - - -1 1y y)+lg)+lgx xn
11、n, ,2 2S Sn n= =lg(lg(x xn ny yn n)+lg()+lg(x xn ny yn n)+)+ +lg(lg(x xn ny yn n)+lg()+lg(x xn ny yn n) )n n+1+1 项项项项 = =n n( (n n+1)lg(+1)lg(xyxy) )lglgx x+lg+lgy y= =a a, , lg(lg(xyxy)=)=a aS Sn n= = lg(lg(xyxy)= )= a a. . n n( (n n+1) +1) 2 2 n n( (n n+1) +1) 2 2 注注: : 本题亦可用对数的运算性质求解本题亦可用对数的运算性质求
12、解本题亦可用对数的运算性质求解本题亦可用对数的运算性质求解: : : : S Sn n= = lg(lg(xyxy)= )= a a. . n n( (n n+1) +1) 2 2 n n( (n n+1) +1) 2 2 S Sn n=lg=lgx xn n+(+(n n- - - -1)+1)+3+2+1+3+2+1 y y1+2+3+1+2+3+(+(n n- - - -1)+1)+n n, , 数列求和的常用方法数列求和的常用方法邳州市铁富高级中学高三数学组强化练习题强化练习题练习练习1:注注注注: : : :关键抓住通项的裂项方式关键抓住通项的裂项方式关键抓住通项的裂项方式关键抓住通
13、项的裂项方式! ! ! !练习练习2:该方法适用于分母为等差数列相邻几项之积该方法适用于分母为等差数列相邻几项之积, ,分子为常数的分式型数列求和分子为常数的分式型数列求和! !邳州市铁富高级中学高三数学组练习练习3:的前的前n项和是项和是关键求通项关键求通项! !505强化练习题强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组错位相减法各项特征错位相减法各项特征错位相减法各项特征错位相减法各项特征: :等差与等比数列对等差与等比数列对等差与等比数列对等差与等比数列对应项的积应项的积应项的积应项的积! !强化练习题强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组4. 4.已知数列已知数列已知数列已知数列 a an
14、 n 是等差数列是等差数列是等差数列是等差数列, , 且且且且 a a1 1=2, =2, a a1 1+ +a a2 2+ +a a3 3=12, (1)=12, (1)求数列求数列求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式; (2); (2)令令令令 b bn n= =a an n 3 3n n, , 求数列求数列求数列求数列 b bn n 前前前前 n n 项和项和项和项和S Sn n. .解解解解: : : : (1)(1)设数列设数列设数列设数列 a an n 的公差为的公差为的公差为的公差为 d d, , 则由已知得则由已知得则由已知得则由已知得 3 3a
15、 a1 1+3+3d d=12 =12 d d=2 =2 a an n=2+(=2+(n n- - - -1)1) 2=22=2n n. . 故数列故数列故数列故数列 a an n 的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式为为为为 a an n=2=2n n. . (2)(2)由由由由 b bn n= =a an n 3 3n n=2=2n n 3 3n n 得数列得数列得数列得数列 b bn n 前前前前 n n 项和项和项和项和 S Sn n=2=2 3+43+4 3 32 2+ +(2+(2n n- - - -2)2) 3 3n n- - - -1 1+2+2n n 3 3n n 3 3
16、S Sn n= 2= 2 3 32 2+4+4 3 33 3+ +(2+(2n n- - - -2)2) 3 3n n+2+2n n 3 3n n+1 +1 将将将将 式减式减式减式减 式得式得式得式得: : - - - -2 2S Sn n=2(3+3=2(3+32 2+ +3+3n n) )- - - -2 2n n 3 3n n+1+1=3(3=3(3n n- - - -1)1)- - - -2 2n n 3 3n n+1+1. . S Sn n= += +n n 3 3n n+1+1. . 3(13(1- - - -3 3n n) ) 2 2又又又又 a a1 1=2, =2, 强化练
17、习题强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组 5 5、将上题、将上题、将上题、将上题 (2)(2) 中中中中“ “ b bn n= =a an n 3 3n n ” ” 改为改为改为改为“ “ b bn n= =a an n x xn n( (x x 0 0)”, )”, 仍求仍求仍求仍求 b bn n 的前的前的前的前 n n 项和项和项和项和. .解解解解: : : : 令令令令 S Sn n= =b b1 1+ +b b2 2+ + +b bn n, , 则由则由则由则由 b bn n= =a an n x xn n=2=2nxnxn n 得得得得: :S Sn n=2=2x x+4+4x
18、 x2 2+ +(2+(2n n- - - -2)2)x xn n- - - -1 1+2+2nxnxn n xSxSn n=2=2x x2 2+4+4x x3 3+ +(2+(2n n- - - -2)2)x xn n+2+2nxnxn n+1 +1 当当当当 x x 1 1 时时时时, , 将将将将 式减式减式减式减 式得式得式得式得: : (1(1- - - -x x) )S Sn n=2(=2(x x+ +x x2 2+ + +x xn n) )- - - -2 2nxnxn n+1+1= = - - - -2 2nxnxn n+1+1. . 2x(12x(1- - - -x xn n
19、) ) 1 1- - - -x x S Sn n= = - - - - . .2 2x x(1(1- - - -x xn n) ) (1(1- - - -x x) )2 2 2 2nxnxn n+1+1 1 1- - - -x x 当当当当 x x=1=1 时时时时, , S Sn n=2+4+=2+4+2+2n n= =n n( (n n+1); +1); 综上所述综上所述综上所述综上所述, , S Sn n= = n n( (n n+1), +1), x x=1=1 时时时时, , 2 2x x(1(1- - - -x xn n) ) (1(1- - - -x x) )2 2 2 2nxn
20、xn n+1+1 1 1- - - -x x - - - - , , x x 1 1 时时时时. . 强化练习题强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组6 6、求数列、求数列、求数列、求数列 n n( (n n+1)(2+1)(2n n+1)+1) 的前的前的前的前 n n 项和项和项和项和 S Sn n =?=?解解解解: : : : 通项通项通项通项 a ak k= =k k( (k k+1)(2+1)(2k k+1)=2+1)=2k k3 3+3+3k k2 2+ +k k, ,S Sn n=2(1=2(13 3+2+23 3+ + +n n3 3)+3(1)+3(12 2+2+22 2+
21、 + +n n2 2)+(1+2+)+(1+2+ +n n) ) n n2 2( (n n+1)+1)2 2 = = = = + + + + 2 2n n( (n n+1)+1) 2 2n n( (n n+1)(2+1)(2n n+1)+1) 2 2= = = = . . n n( (n n+1)+1)2 2( (n n+2)+2) 2 2强化练习题强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组 7 7、数列、数列、数列、数列 a an n 中中中中, , a an n= + += + + + , , 又又又又 b bn n= = , , 求数列求数列求数列求数列 b bn n 的前的前的前的前 n
22、n 项的和项的和项的和项的和. .n n+1 +1 1 1 n n+1 +1 2 2 n n+1 +1 n n a an na an n+1 +1 2 2解解解解: : : : a an n= = = = (1+2+ (1+2+ +n n) )= = = = , , n n+1 +1 1 1 2 2 n nb bn n= = = = = =8( 8( - - - - ). ). 2 2 n n2 2 n n+1+12 2 n n+1 +1 1 1 n n1 1S Sn n= = = =8(18(1- - - - )+( )+( - - - - )+( )+( - - - - )+)+( +(
23、- - - - ) ) 1 12 21 13 31 12 21 13 31 14 4n n+1 +1 1 1 n n1 1= = = =8(18(1- - - - ) ) n n+1 +1 1 1 n n+1 +1 8 8n n = = = = . . 强化练习题强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组8 8、已知数列、已知数列、已知数列、已知数列 a an n 中中中中, , a a1 1=1, (2=1, (2n n+1)+1)a an n=(2=(2n n- - - -3)3)a an n- - - -1 1( (n n2, 2, n n N N* *), ), 求数列求数列求数列求数列
24、a an n 的前的前的前的前 n n 项和项和项和项和 S Sn n. . = = . . a an n- - - -1 1 a an n 2 2n n- - - -3 3 2 2n n+1 +1 S Sn n= =a a1 1+ +a a2 2+ + +a an n 解解解解: : : : (2(2n n+1)+1)a an n=(2=(2n n- - - -3)3)a an n- - - -1 1, , 则则则则 = , = , , , = , = . = , = . a an n- - - -2 2 a an n- - - -1 1 2 2n n- - - -5 5 2 2n n- -
25、 - -1 1 a a2 2 a a3 3 3 37 7a a1 1 a a2 2 1 15 5 = . = . a a1 1 a an n (2(2n n+1)(2+1)(2n n- - - -1) 1) 3 3 a an n= =(2(2n n+1)(2+1)(2n n- - - -1)1)3 3 = = ( ( - - - - ). ). 3 32 21 1 2 2n n- - - -1 1 1 1 2 2n n+1 +1 3 32 21 1 2 2n n- - - -1 1 1 1 2 2n n+1 +1 = = (1(1- - - - )+( )+( - - - - )+( )+(
26、- - - - )+)+( +( - - - - ) ) 1 13 31 15 51 13 31 15 51 17 73 3n n 2 2n n+1 +1 = = . . 强化练习题强化练习题邳州市铁富高级中学高三数学组课堂小结：课堂小结：1. 1.等价等价等价等价转换转换思想是解决数列思想是解决数列思想是解决数列思想是解决数列问题问题的基本思想方法的基本思想方法的基本思想方法的基本思想方法, ,复复复复杂杂的数列的数列的数列的数列转转化化化化为为等差、等比数列！等差、等比数列！等差、等比数列！等差、等比数列！2.2.2.2.熟熟熟熟练练掌握常用的几种掌握常用的几种掌握常用的几种掌握常用的几种数列求和最重要方法！数列求和最重要方法！数列求和最重要方法！数列求和最重要方法！邳州市铁富高级中学高三数学组
