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1、函数及其性质 1.1.函数函数(1)(1)传传统统定定义义：如如果果在在某某个个变变化化过过程程中中有有两两个个变变量量x,yx,y，并并且且对对于于x x在在某某个个范范围围内内的的每每一一个个确确定定的的值值，按按照照某某个个对对应应法法则则f,yf,y都都有有惟惟一一确确定定的的值值和和它它对对应应，那那么么y y就就是是x x的的函函数数，记记作作y=f(x) y=f(x) 2.2.函数的三要素函数的三要素 函函数数是是由由定定义义域域、值值域域以以及及从从定定义义域域到到值值域域的的对对应应法法则则三三部部分分组成的特殊组成的特殊映射映射. .3.3.函数的表示法：解析式法、列表法、
2、图象法函数的表示法：解析式法、列表法、图象法. . (2)近代定义：设近代定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法是两个非空数集，如果按照某种对应法则则f，对于集合对于集合A中的中的任何一个任何一个元素，在集合元素，在集合B中都有中都有惟一惟一的元的元素和它对应，那么这样的对应素和它对应，那么这样的对应f叫做集合叫做集合A到集合到集合B的的函数函数，单单奇偶奇偶下一张下一张4 4. .映射映射设设A A，B B是是两两个个集集合合，如如果果按按照照某某种种对对应应法法则则f f，对对于于集集合合A A中中的的任任何何一一个个元元素素，在在集集合合B B中中都都有有惟惟一一的的元元素素和
3、和它它对对应应，那那么么这这样样的的对对应应叫叫做做集集合合A A到到集集合合B B的的映映射射，记记作作f:AB f:AB . .给给定定一一个个集集合合A A到到B B的的映映射射，且且aA,bB.aA,bB.如如果果元元素素a a和和元元素素b b对对应应，那那么么，我我们们把元素把元素b b叫做元素叫做元素a a的的象象，元素，元素a a叫做元素叫做元素b b的的原象原象5.一一映射一一映射设设f:AB是集合是集合A到集合到集合B的一个映射的一个映射.如果在这个映射下，对如果在这个映射下，对于集合于集合A中的不同元素，在集合中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且中有不同的象，而且B中
4、每一中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到到B上的上的一一映射一一映射.6.6.反函数反函数. .设函数设函数y=f(x)y=f(x)的定义域、值域分别为的定义域、值域分别为A A、C.C.如果用如果用y y表示表示x x，得得到到x=(y)x=(y)，且对于且对于y y在在C C中的任何一个值，通过中的任何一个值，通过x=(y)x=(y)，x x在在A A中都有惟一确定的值和它对应中都有惟一确定的值和它对应. .那么就称函数那么就称函数x=(y)(yC)x=(y)(yC)叫叫做函数做函数y=f(x)(xA)y=f(x)(xA)的反函数的反函数. .记作
5、记作x=fx=f-1-1(y)(y)一般改写为一般改写为y=fy=f- -1 1(x)(x)返回返回下一张下一张.能能使使函函数数式式有有意意义义的的实实数数x的的集集合合称称为为函函数数的的定定义义域域.求求函数的定义域的主要依据是：函数的定义域的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于指数、对数式的底必须大于零且不等于1. .如如果果函函数数是是由由一一些些基基本本函函数数通通过过四四则则运运算算结结合合而而成成的的.
6、那么，它的定义域是使各部分都有意义的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合的值组成的集合. .已已知知f(x)的的定定义义域域为为A，求求函函数数fg(x)的的定定义义域域，实实际际上上是是已已知知中中间间变变量量u=g(x)的的取取值值范范围围，即即uA，即即g(x)A，求自变量求自变量x的取值范围的取值范围. 函数的定义域函数的定义域返回返回下一张下一张1.1.函数函数 的定义域为的定义域为( )( )(A)(A)2 2，+ (B)(-(B)(-，1) (C)(11) (C)(1，2) (D)(12) (D)(1，2 2 D2函数函数 的定的定义义域是域是_(-，-13.已知
7、函数已知函数f(x)的定义域为的定义域为a，b，则，则f(2x-1)的定义域为的定义域为4.已知已知f(x2)的定义域为的定义域为-1，1，则，则f(2x)的定义域为的定义域为返回返回下一张下一张. .函函数数的的值值域域取取决决于于定定义义域域和和对对应应法法则则，不不论论采采取取什什么么方方法求函数的法求函数的值值域都域都应应先考先考虑虑其定其定义义域域. . .应应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对对数函数的数函数的值值域，它是求解复域，它是求解复杂杂函数函数值值域的基域的基础础. . .求函数求函数值值域的常用方法有：直接法、反函数法、域的常用方法有
8、：直接法、反函数法、换换元法、元法、配方法、判配方法、判别别式法、式法、单调单调性法等性法等. . 函数的值域函数的值域返回返回下一张下一张1.定定义义域域为为R的的函函数数y=f(x)的的值值域域为为a，b，则则函函数数y=f(x+a)的的值值域域为为( ) (A)2a，a+b (B)0，b-a (C) a，b (D) -a，a+b C5.5.若函数若函数 的值域是的值域是-1-1，11，则函数，则函数f-1(x)的值的值域是域是( ( ) ) (A) (B)(A) (B)(C) (D)(C) (D)A返回返回下一张下一张2求下列函数的值域：求下列函数的值域： (1) ; (2) (3);
9、(4) y=x2-6x+5(4) (5)y=x2-6x+5 x（-2，4 返回返回下一张下一张 2（1）已知）已知 ，求，求f(x) （2）已知）已知f(x)是一次函数，且满足是一次函数，且满足 ，求求f(x) （3）已知）已知 f(x)满足满足 ，求，求f(x) （4）已知）已知 ，求，求f(x) （5）. 已知二次函数已知二次函数f（x）的图象过点的图象过点A(1,1)、 B（-2,0） C（4,0）,求求f(x)的表达式的表达式 1. 已知函数已知函数f(x)=-3x+2,求求f(2)、f(x-1). 返回返回下一张下一张.函数的单调性函数的单调性 一般地，设函数一般地，设函数f(x)的
10、定义域为的定义域为 I ： 如如果果对对于于属属于于定定义义域域 I 内内某某个个区区间间上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值x1 , x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.如如果果对对于于属属于于定定义义域域I内内某某个个区区间间上上的的任任意意两两个个自自变变量量的的值值x1 , x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那么就说那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.函函数数是是增增函函数数还还是是减减函函数数.是是对对定定义义域域内内某某个个区区间间而而言言的的.有有
11、的的函函数数在在一一些些区区间间上上是是增增函函数数，而而在在另另一一些些区区间间上上可可能能是是减减函函数数，例例如如函函数数y=x2，当当x0，+时是增函数，当时是增函数，当x(-，0)时是减函数时是减函数. 返回返回下一张下一张.单调区间单调区间 如如果果函函数数y=f(x)在在某某个个区区间间是是增增函函数数或或减减函函数数，那那么么就就说说函函数数y=f(x)在在这这一一区区间间上上具具有有(严严格格的的)单单调调性性，这这一一区区间间叫叫做做y=f(x)的的单单调调区区间间.在在单单调调区区间间上上增增函函数数的的图图象象是是上上升升的，减函数的的，减函数的图图象是下降的象是下降的
12、. .用定义证明函数单调性的步骤用定义证明函数单调性的步骤证证明函数明函数f(x)在区在区间间M上具有上具有单调单调性的步性的步骤骤：(1)取取值值：对对任意任意x1,x2M，且且x1x2；(2)作差：作差：f(x1)-f(x2)；(3)判定差的正判定差的正负负；(4)根据判定的根据判定的结结果作出相果作出相应应的的结论结论. 返回返回下一张下一张. .复合函数的单调性复合函数的单调性 复复合合函函数数fg(x)的的单单调调性性与与构构成成它它的的函函数数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：的单调性密切相关，其规律如下： 函数函数 单调性单调性 u=g(x) 增增增增减减
13、减减 y=f(u) 增增减减增增减减y=fg(x)增增减减减减增增注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 返回返回下一张下一张1.下列函数中，在区间下列函数中，在区间(-，0)上是增函数的是上是增函数的是( ) (A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a0)(C)h(x)= (D)s(x)=log (-x)2.如果函数如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间在区间(-，4上是减函数，上是减函数，那么实数那么实数a的取值范围是的取值范围是( ) (A)(-，-3) (B)(-，-3) (C)(-3，+) (D)(-，3)D3
14、.函数函数 的减区间是的减区间是_；函；函数数 的减区间是的减区间是_ B (-，-1)，(-1，+)(-1，1返回返回下一张下一张4. 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函数，且 的图的图象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0） （1）解方程解方程 （2）解不等式）解不等式 （3）求求适适合合 的的 的的取取值值范范围围5.5.判断函数判断函数 在定义域在定义域 上的单调性上的单调性. . (1)如如果果对对于于函函数数f(x)定定义义域域内内任任意意一一个个x，都都有有f(-x)=f(x)，那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做偶偶函数函数. (2)如如果果对对于于函函数数f(x)
15、定定义义域域内内任任意意一一个个x，都都有有f(-x)= - f(x)，那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 如如果果函函数数f(x)是是奇奇函函数数或或偶偶函函数数，那那么么我我们们就就说说函数函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性 .函数的奇偶性函数的奇偶性 一一般般地地，奇奇函函数数的的图图象象关关于于原原点点对对称称，反反过过来来，如如果果一一个个函函数数的的图图象象关关于于原原点点对对称称，那那么么这这个个函函数数是是奇奇函函数数；偶偶函函数数的的图图象象关关于于y轴轴对对称称，反反过过来来，如如果果一一个个函函数数的图象关于的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数轴对称，那么
16、这个函数是偶函数 . .具有奇偶性的函数图象特点具有奇偶性的函数图象特点 下一张下一张(2)利用定理，借助函数的利用定理，借助函数的图图象判定象判定 . .函数函数奇偶性的奇偶性的判定判定方法方法 (1)根根据据定定义义判判定定，首首先先看看函函数数的的定定义义域域是是否否关关于于原原点点对对称称，若若不不对对称称则则函函数数是是非非奇奇非非偶偶函函数数.若若对对称称，若若对对称称再再判判定定f(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x). 有有时时判判定定f(-x)=f(x)比比较较困困难难，可考虑判定可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定或判定f(x)/ /f(-x)=1 (3)性质法判定
17、性质法判定 .在在定定义义域域的的公公共共部部分分内内两两奇奇函函数数之之积积(商商)为为偶偶函函数数；两两偶偶函函数数之之积积(商商)也也为为偶偶函函数数；一一奇奇一一偶偶函函数数之之积积(商商)为奇函数为奇函数(注意取商时分母不为零注意取商时分母不为零)； .偶偶函函数数在在区区间间(a，b)上上递递增增(减减)，则则在在区区间间(-b，-a)上上递递减减(增增)；奇奇函函数数在在区区间间(a，b)与与(-b，-a)上上的的增增减减性性相相同同. 下一张下一张1.已知函数已知函数f(x)=ax2+bx+c (2a-3x3) 是偶函数，是偶函数，则则a_， b_， c _2.函数函数 的奇偶性是的奇偶性是( )(A)奇函数奇函数 (B)偶函数偶函数(C)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶非奇非偶 D3.判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性： 返回返回下一张下一张(1) f(x)=x3-5x3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2+lg(x+1),求 f(x)在R上的表达式
