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1、q 1第第1111章章 半群与群半群与群离散数学离散数学q 2本章内容本章内容本章内容本章内容11.1 11.1 半群与独异点半群与独异点11.2 11.2 群的定义与性质群的定义与性质11.3 11.3 子群子群11.4 11.4 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理11.5 11.5 正规子群与商群正规子群与商群11.6 11.6 群的同态与同构群的同态与同构11.7 11.7 循环群与置换群循环群与置换群 本章总结本章总结 例题选讲例题选讲 作业作业q 311.1 11.1 半群与独异半群与独异点点q半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。
2、q半群与独异点的定义，及其子代数的说明。半群与独异点的定义，及其子代数的说明。q半群与独异点的幂运算。半群与独异点的幂运算。q半群与独异点的同态映射。半群与独异点的同态映射。q 4半群与独异点半群与独异点 定义定义11.111.1 (1)(1)设设V VS, 是代数系统，是代数系统， 为为二元运算二元运算，如果运算是如果运算是可结可结合的合的，则称则称V V为为半群半群（semigroup）。(2)(2)设设V VS, 是是半群半群, ,若若e eS S是关于是关于 运算的运算的单位元单位元, ,则称则称V V是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做独异点独异点（monoid）。有时也将独异点有时
3、也将独异点V V记作记作V VSe。 q 5半群与独异点的实例半群与独异点的实例qZ,+，都是半群都是半群,+,+是普通加法。是普通加法。这些半群中除这些半群中除Z,+外都是独异点。外都是独异点。q设设n n是大于是大于1 1的正整数的正整数,M,(R),+和和M 都是半群都是半群, ,也都也都是独异点是独异点, ,其中其中+ +和和分别表示矩阵加法和矩阵乘法。分别表示矩阵加法和矩阵乘法。qP(B), 为半群为半群, ,也是独异点也是独异点, ,其中其中 为集合的对称差运算。为集合的对称差运算。qZn, 为半群为半群, ,也是独异点也是独异点, ,其中其中ZnZn0,1,0,1,n-1,n-1
4、, 为模为模n n加法加法。qA 为半群为半群, ,也是独异点也是独异点, ,其中其中 为函数的复合运算。为函数的复合运算。qR 为半群为半群, ,其中其中R R 为非零实数集合为非零实数集合, , 运算定义如下：运算定义如下： x,yx,yR R , x, x y yy yq 6半群中元素的半群中元素的幂幂q由于半群由于半群V VS, 中的运算是可结合的中的运算是可结合的, ,可以定义可以定义元素的元素的幂幂, ,对任意对任意x xS,S,规定：规定：x x1 1x xx xn+1n+1x xn n x x, , n nZ Z+ + 用数学归纳法不难证明用数学归纳法不难证明x x的幂遵从以下
5、运算规则：的幂遵从以下运算规则：x xn n x xm mx xn+mn+m( (x xn n) )m mx xnmnm m,nm,nZ Z+ +q普通乘法的幂普通乘法的幂、关系的幂关系的幂、矩阵乘法的幂矩阵乘法的幂等都遵从这个幂等都遵从这个幂运算规则。运算规则。q 7独异点中的独异点中的幂幂独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。去。由于独异点由于独异点V V中含有单位元中含有单位元e e，对于任意的对于任意的x xS,S,可以定义可以定义x x的的零次幂零次幂, ,即即 x x0 0e ex xn+1n+1x xn n x
6、 x n nN N不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不过过m m和和n n不一定限于正整数，不一定限于正整数，只要是自然数就成立。只要是自然数就成立。q 8子半群与子独异子半群与子独异点点q半群的子代数叫做半群的子代数叫做子半群子半群。q独异点的子代数叫做独异点的子代数叫做子独异点子独异点。q根据子代数的定义不难看出：根据子代数的定义不难看出：如果如果V VS, 是半群是半群,T,T S S，要要T T对对V V中的运算中的运算 封闭封闭，那那么么T, 就是就是V V的子半群。的子半群。对独异点对独异点V VS,e来说，来说，
7、T T S S，不仅不仅T T要对要对V V中的运算中的运算 封闭封闭, ,而且而且e eT T，这时这时T,e才构成才构成V V的子独异点。的子独异点。 q 9例例11.211.2例例11.2设半群设半群V1S, ，独异独异点点V2S,e。其中其中 为矩阵乘法为矩阵乘法，e为为2阶单位矩阵阶单位矩阵令令则则T S，且且T对矩阵乘法对矩阵乘法 是封闭的，是封闭的，所以所以 是是V1 的子半群。的子半群。但它不是但它不是V2= 的子独异点，因为的子独异点，因为V2中的单位元中的单位元e=T。易见在易见在 中存在着自己的单位元中存在着自己的单位元，所以所以 也构成一个独异点也构成一个独异点。q 1
8、0半群与独异点的直半群与独异点的直积积定义定义11.211.2 设设V V1 1S ，V V2 2S,*是半群是半群( (或独异点或独异点),),令令S SS S1 1S S2 2, ,定义定义S S上的上的运算如下：运算如下： ,S, S, ac,b*d称称S, 为为V V1 1和和V V2 2的的直积直积，记作记作V V1 1V V2 2。可以可以证明证明V V1 1V V2 2是半群。是半群。若若V V1 1和和V V2 2是独异点，其单位元分别为是独异点，其单位元分别为e e1 1和和e e2 2，则则e 是是V V1 1V V2 2中的单位元，因此中的单位元，因此V V1 1V V2
9、 2也是独异点。也是独异点。 q 11半群与独异点的同态映射半群与独异点的同态映射定义定义11.311.3 (1)(1)设设V V1 1S,V,V2 2S 是半群是半群, , : S: S1 1S S2 2。 若对任意的若对任意的x,yx,yS S1 1有有 (x(x y)y) (x)(x)(y)(y) 则称则称 为半群为半群V V1 1到到V V2 2的的同态映射同态映射, ,简称简称同态同态( (homomorphism) )。(2)(2)设设V V1 1S,V,V2 2S 是独异点是独异点, , : S: S1 1S S2 2. . 若对任意的若对任意的x,yx,yS S1 1有有 (x
10、(x y)y) (x)(x)(y) (y) 且且 (e(e1 1) )e e2 2, , 则称则称 为独异点为独异点V V1 1到到V V2 2的的同态映射同态映射, ,简称简称同态同态。q 12省略表达省略表达q为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符 和和 ，而简记为而简记为 (xy)(xy) (x)(x) (y)(y)q应该记住，该表达式中左边的应该记住，该表达式中左边的xyxy是在是在V V1 1中的运算，而右中的运算，而右边的边的 (x) (x) (y)(y)是在是在V V2 2中的运算。中的运算。q 13同态同态举例举例对于对于例
11、例11.211.2中中的半群和独异点的半群和独异点, ,令令 : S : S S, S, 则对任意的则对任意的有有即即q 14自同自同态态因此，因此， 是半群是半群V V1 1到自身的同态，称为到自身的同态，称为V V1 1的的自同态自同态。但但 不是独异点不是独异点V V2 2的自同态的自同态, ,因为它没有将因为它没有将V V2 2的单位元的单位元映到映到V V2 2的单位元。的单位元。注意：注意： 而而 不是不是V V2 2的单位元。的单位元。q 15本节的主要内容本节的主要内容q集合集合S S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。q集合集合S
12、S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。q半群与独异点的两条幂运算规则：半群与独异点的两条幂运算规则：x xn n x xm mx xn+mn+m ，(x(xn n) )m mx xnmnm。q半群半群S S的非空子集的非空子集A A构成子半群的条件（构成子半群的条件（A A对于对于S S中运算封闭）。中运算封闭）。q独独异异点点S S的的非非空空子子集集A A构构成成子子独独异异点点的的条条件件（A A对对于于S S中中运运算算封封闭闭，单位元属于单位元属于A A）。）。q通过笛卡尔积构造直积通过笛卡尔积构造直积。q同态映射的判别
13、：同态映射的判别： (xy)(xy) (x)(x) (y)(y)对于独异点要加上对于独异点要加上 (e)(e)e e。q 16定义定义11.211.2说明说明任取任取, S S ( ( ) = = ac,b*d = = (a,(b*d)*v = a = ,b*d*v ( ( ) = = ()v) = = a,b*(d*v) = a = ,b*d*vq 1711.2 11.2 群的定义与性质群的定义与性质q群是群是特殊的半群和独异点。特殊的半群和独异点。q群论中常用的概念或术语：群论中常用的概念或术语：有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。q
14、群的运算规则。群的运算规则。q 18群的定义群的定义 定义定义11.411.4 设设G, 是代数系统，是代数系统， 为为二元运算二元运算。如果。如果 运算是运算是可结可结合合的，的，存在单位元存在单位元e eG G，并且对并且对G G中的任何元素中的任何元素x x都都有有x x-1-1G,G,则则称称G G为为群群（group）。举例举例（考虑（考虑例例11.111.1），(1),(1),都是群都是群, ,而而Z,+和和不是群。不是群。(2)(2),+是群是群, ,而而 不是群。因为并非所有的不是群。因为并非所有的n n阶实矩阶实矩阵都有逆阵。阵都有逆阵。(3)P(B),(3) 是群，因为对任
15、何是群，因为对任何B B的子集的子集A A，A A的逆元就是的逆元就是A A自身。自身。(4)Z(4) 是群。是群。0 0是是Z Zn n中的单位元。中的单位元。x xZ Zn n，若若x x0 0，x x的逆元就的逆元就是是0 0，若若x x0 0，则则n-xn-x是是x x的逆元。的逆元。(5)(5)A ，当当|A|A|2 2时不是群。时不是群。q 19KleinKlein四元群四元群设设G Ga,b,c,da,b,c,d， 为为G G上的二元运算，见下表。上的二元运算，见下表。 e ea ab bc ce ee ea ab bc ca aa ae ec cb bb bb bc ce ea
16、 ac cc cb ba ae eG G是一个群：是一个群：e e为为G G中的单位元；中的单位元；运算是可结合的；运算是可结合的；运算是可交换的；运算是可交换的；G G中任何元素的逆元就是它自己；中任何元素的逆元就是它自己；在在a,b,ca,b,c三个元素中三个元素中, ,任何两个元素任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。运算的结果都等于另一个元素。称这个群为称这个群为KleinKlein四元群四元群, ,简称简称四元群四元群。q 20群的直积群的直积设设G, , 是群，在是群，在G G1 1 G G2 2上定义二元运算上定义二元运算 如下：如下： ,G G1 1G G2 2 , , ac
17、,b*d称称 是是G G1 1与与G G2 2的的直积直积。上一节已经证明：上一节已经证明： 是独异点，是独异点，可以证明对任意的可以证明对任意的G G1 1 G G2 2 ,a , 是是的逆元，的逆元，因此因此G G1 1G G2 2关于关于 运算构成一个群。运算构成一个群。q 21群论中常用的概念或术语群论中常用的概念或术语定义定义11.511.5(1)(1)若群若群G G是是有穷集有穷集, ,则称则称G G是是有限群有限群，否则称为否则称为无限群无限群。 群群G G的基数的基数称为群称为群G G的的阶阶，有限有限群群G G的阶记作的阶记作|G|G|。(2)(2)只含单位元只含单位元的群称
18、为的群称为平凡群平凡群。(3)(3)若群若群G G中的二元运算是中的二元运算是可交换可交换的，则称的，则称G G为为交换群交换群或或阿贝尔阿贝尔(Abel)(Abel)群群。q 22例例q,是无限群。是无限群。qZ 是有限群，也是是有限群，也是n n阶群。阶群。qKleinKlein四元群是四元群是4 4阶群。阶群。q是平凡群。是平凡群。q上述所有的群都是交换群。上述所有的群都是交换群。q但但n n阶阶(n(n2)2)实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是实可逆矩阵的集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群，因为矩阵乘法不满足交换律。非交换群，因为矩阵乘法不满足交换律。 q 23群中元素的群中元素的
19、n n次幂次幂定义定义11.611.6 设设G G是群，是群，a aG G，n nZ Z，则则a a的的n n次幂次幂q与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。与半群和独异点不同的是：群中元素可以定义负整数次幂。q在在Z 中有中有 2 2-3-3(2(2-1-1) )3 31 13 31 1 1 1 1 10 0q在在中有中有 3 3-5-5(3(3-1-1) )5 5(-3)(-3)5 5(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)-15-15q 24群中元素的阶群中元素的阶定义定义11.711.7 设设G G是群，是群，a a
20、G G，使得等式使得等式 a ak ke e成立的成立的最小正整数最小正整数k k称为称为a a的阶的阶，记作，记作|a|a|k k，这时也称这时也称a a为为k k阶元阶元。若不存在这样的正整数。若不存在这样的正整数k,k,则称则称a a为无限阶元为无限阶元。举例举例q在在Z 中，中，2 2和和4 4是是3 3阶元，阶元，3 3是是2 2阶元，而阶元，而1 1和和5 5是是6 6阶元，阶元，0 0是是1 1阶元。阶元。q在在中，中，0 0是是1 1阶元，其它的整数都是无限阶元。阶元，其它的整数都是无限阶元。q在在KleinKlein四元群中，四元群中，e e为为1 1阶元，其它元素都是阶元，
21、其它元素都是2 2阶元。阶元。q 25群的性质群的性质群群的幂运算规则的幂运算规则 定理定理11.111.1 设设G G为群为群, ,则则G G中的幂运算满足：中的幂运算满足：(1) a(1) aG,(aG,(a-1-1) )-1-1a a。(2) a,b(2) a,bG G，(ab)(ab)-1-1b b-1-1a a-1-1。(3) a(3) aG G，a an na am ma an+mn+m，n,mn,mZ Z。(4) a(4) aG G，(a(an n) )m ma anmnm，n,mn,mZ Z。(5) (5) 若若G G为交换群，则为交换群，则(ab)(ab)n na an nb
22、 bn n。分析：分析：(1)(1)和和(2)(2)可以根据定义证明。可以根据定义证明。(3)(3)、(4)(4)、(5)(5)中的等式中的等式, ,先利用数学归纳法对于自然数先利用数学归纳法对于自然数n n和和m m证出相应的结果，然后讨论证出相应的结果，然后讨论n n或或m m为负数的情况。为负数的情况。q 26定理定理11.111.1的证明的证明(1) a(1) aG,(aG,(a-1-1) )-1-1a a。(a(a-1-1) )-1-1是是a a-1-1的逆元，的逆元，a a也是也是a a-1-1的逆元。的逆元。（或者：或者：a a-1-1是是a a的逆元，的逆元，a a也是也是a
23、a-1-1的逆元。）的逆元。）根据逆元的唯一性，根据逆元的唯一性， (a(a-1-1) )-1-1a a。(2) a,b(2) a,bG G，(ab)(ab)-1-1b b-1-1a a-1-1。(b(b-1-1a a-1-1)(ab)(ab)b b-1-1(a(a-1-1a)ba)bb b-1-1b be e (ab)(b(ab)(b-1-1a a-1-1) )a(bba(bb-1-1)a)a-1-1aaaa-1-1e e故故 b b-1-1a a-1-1是是 abab 的逆元。的逆元。根据逆元的唯一性等式得证。根据逆元的唯一性等式得证。q 27定理定理11.111.1的证明的证明(3) a
24、(3) aG G，a an na am ma an+mn+m，n,mn,mZ Z。先考虑先考虑n,mn,m都是自然数的情况。任意给定都是自然数的情况。任意给定n n，对，对m m进行归纳。进行归纳。m m0 0，有，有a an na a0 0a an ne ea an na an+0n+0成立。成立。假设对一切假设对一切mNmN有有a an na am ma an+mn+m成立，则有成立，则有a an na am+1m+1a an n(a(am ma a) )( (a an na am m)a)aa an+mn+ma aa an+m+1n+m+1由归纳法等式得证。由归纳法等式得证。下面考虑存在
25、负整数次幂的情况。下面考虑存在负整数次幂的情况。设设n0n0，m0m0，令，令n n-t-t，tZtZ+ +，则则a an na am ma a-t-ta am m(a(a-1-1) )t ta am ma a-(t-m)-(t-m)a am-tm-ta an+mn+mtmtma am-tm-ta an+mn+mtmtm对于对于n0,m0n0,m0以及以及n0,m0n0,m0的情况同理可证。的情况同理可证。q 28定理定理定理定理11.111.111.111.1的证明的证明的证明的证明(5) (5) 若若G G为交换群，则为交换群，则( (ab)ab)n na an nb bn n。当当n n
26、为自然数时，对为自然数时，对n n进行归纳。进行归纳。( (ab)ab)n n( (ba)ba)n n( (ba)ba)-m-m(ba)(ba)-1-1) )m m(a(a-1-1b b-1-1) )m m(a(a-1-1) )m m(b(b-1-1) )m ma a- -m mb b-m-ma an nb bn nn n0 0，有有 (ab)(ab)0 0e e eeee a a0 0b b0 0。假设假设( (ab)ab)k ka ak kb bk k，则有则有(ab)(ab)k+1k+1( (ab)ab)k k(ab(ab) ) ( (a ak kb bk k)ab)aba ak k(b
27、(bk ka)ba)ba ak k(ab(abk k)b)b( (a ak ka)(ba)(bk k)b)b(a(ak+1k+1)(b)(bk+1k+1) )由归纳法等式得证。由归纳法等式得证。设设n0n0m0，则则q 29定理定理11.111.1说明说明q定理定理11.1(2)11.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况中的结果可以推广到有限多个元素的情况, ,即即q注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。q如果如果G G是非交换群是非交换群, ,那么只有那么只有q 30群方程存在唯一解群方程存在唯一解定理定理11.211.2 G G为群
28、，为群， a,ba,bG G，方程方程axaxb b和和yayab b在在G G中有解且仅有中有解且仅有唯一解。唯一解。证明：证明：先证先证a a-1-1b b是方程是方程axaxb b的解。的解。将将a a-1-1b b代入方程左边的代入方程左边的x x得得a(aa(a-1-1b)b)(aa(aa-1-1)b)bebeb b b所以所以a a-1-1b b是该方程的解。是该方程的解。下面证明唯一性。下面证明唯一性。假设假设c c是方程是方程axaxb b的解，必有的解，必有acacb b，从而有从而有c cecec(a(a-1-1a)ca)c a a-1-1(ac)(ac) a a-1-1b
29、 b同理可证同理可证baba-1-1是方程是方程yayab b的唯一解。的唯一解。q 31例例11.511.5例例11.5 11.5 设设群群G GP(a,b), ，其中其中 为集合的对称差运算。为集合的对称差运算。解下列群方程：解下列群方程：(1)(1)aa X X(2)Y(2)Y a,ba,bbb解答：解答：(1) X(1) Xaa-1 -1 aa aa(2) Y(2) Ybb a,ba,b-1-1bb a,ba,b aaq 32消去律消去律定理定理11.311.3 G G为群为群, ,则则G G中适合消去律，即对任意中适合消去律，即对任意a,b,ca,b,cG G 有有(1)(1)若若a
30、babacac，则则b bc c。(2)(2)若若babacaca，则则b bc c。证明：证明：(1)ab(1)abacac a a-1-1(ab)(ab)a a-1-1(ac)(ac) (a (a-1-1a)ba)b(a(a-1-1a)ca)c ebebecec b bc c(2)(2)略略q 33例例11.611.6例例11.611.6 设设G G为群，为群，a,ba,bG, kG, kZ Z+ +，证明证明（a a-1-1ba)ba)k ka a-1-1ba ba b bk kb b证明：证明：充分性充分性（a a-1-1ba)ba)k k (a(a-1-1ba)(aba)(a-1-1
31、ba)(aba)(a-1-1ba) ba) (a a-1-1ba) kba) k个个a a-1-1baba a a-1-1b(aab(aa-1-1)b(aa)b(aa-1-1)b)b(aa(aa-1-1)ba)ba a a-1-1b bk ka a a a-1-1ba (ba (因为因为 b bk kb)b)必要性必要性由（由（a a-1-1ba)ba)k ka a-1-1ba ba 得得(a(a-1-1ba)(aba)(a-1-1ba)ba)(a a-1-1ba)ba)a a-1-1baba化简得化简得a a-1-1b bk ka aa a-1-1baba由消去律得由消去律得b bk kb
32、b。q 34例例11.711.7例例11.711.7 设设G G为群，为群，a,ba,bG G，且且 (ab)(ab)2 2a a2 2b b2 2 ，证明证明ababbaba。证明：证明： 由由(ab)(ab)2 2a a2 2b b2 2 得得ababababaabbaabb根据群中的消去律，得根据群中的消去律，得 babaabab，即即 ababbaba。q 35例例11.811.8例例11.8 11.8 设设G Gaa1 1,a,a2 2, ,a,an n 是是n n阶群，令阶群，令 a ai iG Gaai ia aj j|j=1,2,|j=1,2,n,n证明证明 a ai iG G
33、G G。证明：证明：由群中运算的封闭性有由群中运算的封闭性有a ai iG G G G。假设假设a ai iG G G G，即即|a|ai iG|nG|n。必有必有a aj j,a,ak kG G 使得使得a ai ia aj ja ai ia ak k （j jk k）由消去律得由消去律得 a aj j=a=ak k, ,与与|G|G|n n矛盾。矛盾。q 36群中元素的阶的性质群中元素的阶的性质定理定理11.411.4 G G为群，为群，a aG G且且|a|a|r r。设。设k k是整数是整数, ,则则(1) (1) a ak ke e当且仅当当且仅当 r|kr|k(2) |a|(2)
34、|a|a|a-1-1| |证明：证明：(1)(1)充分性充分性。由于由于r|kr|k，必存在整数必存在整数m m使得使得k kmrmr，所以有所以有a ak ka amrmr( (a ar r) )m me em me e。必要性必要性。根据除法，存在整数根据除法，存在整数m m和和i i使得使得k kmr+imr+i，0 0i ir-1r-1从而有从而有e ea ak ka amr+imr+i( (a ar r) )m ma ai ieaeai ia ai i因为因为|a|a|r,r,必有必有i i0 0。这就证明了这就证明了r|kr|k。q 37定理定理11.4(2)11.4(2)证明证明
35、(2) |a|(2) |a|a|a-1-1| |由由(a(a-1-1) )r r(a(ar r) )-1-1e e-1-1e e，可知可知 a a-1 -1 的阶存在。的阶存在。令令|a|a-1-1| |t t，根据上面的证明有根据上面的证明有 t|rt|r。这说明这说明a a的逆元的阶是的逆元的阶是a a的阶的阶r r的因子。的因子。而而a a又是又是a a-1-1的逆元，的逆元，根据条件有根据条件有|a|a-1-1| |(a|(a-1-1) )-1-1| |a|a|，所以所以a a的阶也是的阶也是a a-1-1的阶的因子，故有的阶的因子，故有r|tr|t。从而证明了从而证明了r rt,t,
36、即即|a|a|a|a-1-1| |。q 38证明元素的阶相等的方法证明元素的阶相等的方法证明证明|x|x|y|y|的方法：的方法：令令|x|x|r r，|y|y|s s验证验证 (x)(x)s se e r|s r|s验证验证 (y)(y)r re e s|r s|r因此因此 r rs s，即即 |x|x|y|y|。q 39例例11.911.9例例11.911.9 设设G G是群，是群，a,ba,bG G是有限阶元。证明是有限阶元。证明(1)|b(1)|b-1-1ab|ab|a|a|(2)|ab|(2)|ab|ba|ba|证明：证明：(1)(1)设设|a|a|r,|br,|b-1-1ab|ab
37、|t t，则有则有(b(b-1-1ab)ab)r r(b(b-1-1ab)(bab)(b-1-1ab)(bab)(b-1-1ab) (rab) (r个个b b-1-1ab)ab)b b-1-1a ar rb b b b-1-1ebeb e e根据定理根据定理11.411.4，可知，可知b b-1-1a ab b的阶是的阶是a a的阶的因子，即的阶的因子，即t|rt|r。另一方面，另一方面，a ab(bb(b-1-1ab)bab)b-1-1(b(b-1-1) )-1-1(b(b-1-1ab)bab)b-1-1可知可知, ,(b(b-1-1) )-1-1( (b b-1-1abab) )b b-1
38、-1的阶是的阶是b b-1-1abab的阶的因子，即的阶的因子，即r|tr|t。从而有从而有|b|b-1-1ab|=|a|ab|=|a|。q 40例例11.9(2)11.9(2)证明证明(2)|ab|(2)|ab| |baba| |设设|ab|ab|r,|ba|r,|ba|t t，则有则有(ab)(ab)t+1t+1 ( (ab)(abab)(ab)()(abab) )t+1t+1个个abab a(ba)(baa(ba)(ba)()(ba)bba)bt t个个baba a(ba)a(ba)t tb b aebaeb abab由消去律得由消去律得( (ab)ab)t te e，从而可知，从而可知
39、，r|t.r|t.同理可证同理可证 t|rt|r。因此，因此，| |abab| | |baba| |。q 41例例11.1011.10例例11.1011.10 设设G G为有限群，则为有限群，则G G中阶大于中阶大于2 2的元素有偶数个。的元素有偶数个。证明：证明：根据根据定理定理11.411.4可知，对于任意可知，对于任意a aG G，有有a a2 2e e |a| |a|1 1 或或 |a|a|2 2若若a a2 2e e，则有则有 a a-1-1a a2 2a a-1-1e e，即即 a aa a-1-1。反之，若反之，若a aa a-1-1，则有则有 a a2 2aaaaaaaa-1-
40、1e e，这就推出这就推出a a2 2e e a aa a-1-1。综合上述可知，对综合上述可知，对G G中阶大于中阶大于2 2的元素的元素a a，必有必有a aa a-1-1。又由于又由于|a|a|a|a-1-1| |，所以所以G G中阶大于中阶大于2 2的元素一定成对出现。的元素一定成对出现。G G中若含有阶大于中若含有阶大于2 2的元素，一定是偶数个。的元素，一定是偶数个。若若G G中不含阶大于中不含阶大于2 2的元素，而的元素，而0 0也是偶数。也是偶数。q 42例例11.1111.11例例11.1111.11 设设G G为为群，群，a,ba,bG G，且且ababbaba。如果如果|
41、a|=n,|b|=m,|a|=n,|b|=m,且且n n与与m m互质，证明互质，证明|ab|ab|nmnm。证明证明: : 设设|ab|ab|d d。由由ababbaba 可知可知( (ab)ab)nmnm( (a an n) )m m(b(bm m) )n ne em me en ne e。 从而有从而有 d|nmd|nm。又由又由a ad db bd d( (ab)ab)d de e，可知可知 a ad db b-d -d ，即即|a|ad d| |b|b-d-d| | |b bd d| |。再根据再根据(a(ad d) )n n(a(an n) )d de ed de e得得|a|ad
42、 d| | |n n。同理有同理有| |b bd d| | |m m。 从而知道从而知道|a|ad d| |是是n n和和m m的公因子。的公因子。因为因为n n与与m m互质，所以互质，所以|a|ad d| |1 1。这就证明了这就证明了 a ad de e，从而从而 n|dn|d。同理可证同理可证 m|dm|d，即即d d是是n n和和m m的公倍数。的公倍数。由于由于n n与与m m互质，必有互质，必有 nm|dnm|d。综合前边的结果得综合前边的结果得 d dnmnm。即即| |abab| |nmnm。 q 43本节主要内容本节主要内容q集集合合G G和和二二元元运运算算构构成成群群的
43、的条条件件（封封闭闭性性、结结合合律律、单单位位元、每个元素有逆元）。元、每个元素有逆元）。q特特殊殊群群的的定定义义（有有限限与与无无限限群群、AbelAbel群群、平平凡凡群群）与与群群的的阶。阶。q元素的幂与元素的阶元素的幂与元素的阶q群群的的性性质质：幂幂运运算算规规则则、消消去去律律、群群方方程程的的唯唯一一解解、有有关关元素的阶的性质。元素的阶的性质。q 4411.3 11.3 子群子群q子群就是群的子代数子群就是群的子代数q子群的定义子群的定义q子群的三个判定方法子群的三个判定方法q重要子群的实例重要子群的实例生成群、中心生成群、中心q找到有限群的全部子群的方法找到有限群的全部子
44、群的方法q 45子群子群子群子群的定义的定义的定义的定义定义定义11.811.8 设设G G是群，是群，H H是是G G的的非空子集非空子集，如果，如果H H关于关于G G中的运算构成中的运算构成群群，则，则称称H H是是G G的的子群子群( (subgroup) )，记作记作 H HG G。若若H H是是G G的子群，且的子群，且H H G G，则称则称H H是是G G的的真子群真子群( (proper subgroup) )，记记作作 H HG G。说明：说明：对任何群对任何群G G都存在子群。都存在子群。G G和和ee都是都是G G的子群，称为的子群，称为G G的的平凡子群平凡子群( (
45、trivial subgroup) ) 。 举例：举例：nZnZ（n n是自然数）是整数加群是自然数）是整数加群Z,+Z,+的子群。的子群。当当n n1 1时时,nZ,nZ是是Z Z的真子群。的真子群。q 46子群的判定定理一子群的判定定理一定理定理11.511.5（判定定理一）（判定定理一）设设G G为群，为群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的子的子群当且仅当下面的条件成立：群当且仅当下面的条件成立：(1) (1) a,ba,bH H，有有 ababH H。(2) (2) a aH H，有有 a a-1-1H H。证明：证明：必要性是显然的。必要性是显然的。为证明充
46、分性，只需证明为证明充分性，只需证明e eH H。（。（为什么？为什么？）因为因为H H非空非空，必存在必存在a aH H。由条件由条件( (2)2)可知，可知，a a-1-1H H，再使用条件再使用条件( (1)1)有有 aaaa-1-1H H，即即e eH H。q 47子群的判定定理二子群的判定定理二定理定理11.611.6（判定定理二）（判定定理二） 设设G G为群，为群，H H是是G G的非空子集。的非空子集。H H是是G G的的子群当且仅当子群当且仅当a,ba,bH H有有abab-1-1H H。证明：证明：必要性。必要性。任取任取a,ba,bH H，由于由于H H是是G G的子群，
47、必有的子群，必有b b-1-1H H，由封闭性有由封闭性有 abab-1-1H H。充分性。充分性。因为因为H H非空，必存在非空，必存在a aH H。根据给定条件得根据给定条件得 aaaa-1-1H H，即即e eH H。任取任取a aH H，由由e,ae,aH H 得得 eaea-1-1H H，即即a a-1-1H H。任取任取a,ba,bH H，由刚才的证明知由刚才的证明知 b b-1-1H H。再利用给定条件得再利用给定条件得a(ba(b-1-1) )-1-1H H，即即 ababH H。综合所述，根据判定定理一，可知综合所述，根据判定定理一，可知 H H是是G G的子群。的子群。q
48、48子群的判定定理三子群的判定定理三定理定理11.7(11.7(判定定理三判定定理三) ) 设设G G为群，为群，H H是是G G的非空子集。如果的非空子集。如果H H是是有穷集，则有穷集，则H H是是G G的子群当且仅当的子群当且仅当 a,ba,bH H有有ababH H。证明：证明：必要性必要性是显然的。是显然的。充分性充分性。只需证明。只需证明 a aH H有有a a-1-1H H。任取任取a aH H，若若a ae e，则则a a-1-1e e-1-1eHeH。若若a ae,e,令令 S Sa,aa,a2 2, , ，则，则S S H H。由于由于H H是有穷集，必有是有穷集，必有a
49、ai ia aj j（iji1j-i1，由此得由此得a aj-i-1j-i-1a ae e 和和 aaaaj-i-1j-i-1e e从而证明了从而证明了 a a-1-1a aj-i-1j-i-1H H。 q 49子群实例子群实例生生成子群成子群例例11.1211.12 设设G G为群，为群，a aG G，令令H Haak k|k|kZZ，即，即a a的所有的幂构成的所有的幂构成的集合，则的集合，则H H是是G G的子群，称为由的子群，称为由a a生成的子群生成的子群，记作记作。证明：证明：由由a a知道，知道，。任取任取a am,a,al，则则a am(a(al) )-1-1a ama a-
50、-la am- -l根据判定定理二可知根据判定定理二可知G G。举例举例(1)(1)整数加群，由整数加群，由2 2生成的子群是生成的子群是2k|k2k|kZ 2 2Z(2)(2)群群Z 中，由中，由2 2生成的子群由生成的子群由 2 20 00 0，2 21 12 2，2 22 24 4，2 23 3=0=0，构成，构成， 即即 0,2,40,2,4(3)(3)KleinKlein四元群四元群G Ge,a,b,ce,a,b,c的所有生成子群是：的所有生成子群是： ee，e,ae,a，e,be,b，e,ce,c。q 50子群实例子群实例中心中心例例11.13 11.13 设设G G为群，令为群，
51、令C C是与是与G G中所有的元素都可交换的元素构成的中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即集合，即C Ca|aa|aG Gx xG(axG(axxaxa)则则C C是是G G的子群，称为的子群，称为G G的中心的中心。 证明：证明：由由e e与与G G中所有元素的交换性可知，中所有元素的交换性可知，e eC C。C C是是G G的非空子集。的非空子集。任取任取a,ba,bC C，为证明为证明abab-1-1CC，只需证明只需证明abab-1-1与与G G中所有的元素都中所有的元素都可交换。可交换。 x xG G，有有(ab(ab-1-1)x)xabab-1-1x x abab-1-1(x(
52、x-1-1) )-1-1a(xa(x-1-1b)b)-1-1a(bxa(bx-1-1) )-1-1a(xba(xb-1-1) )(ax)b(ax)b-1-1(xa)b(xa)b-1-1x(abx(ab-1-1) )由判定定理二可知，由判定定理二可知，C CG G。q 51中心的说明中心的说明q对于阿贝尔群对于阿贝尔群G G，因为因为G G中所有的元素互相都可交换，中所有的元素互相都可交换，G G的中心的中心就等于就等于G G。q但是对某些非交换群但是对某些非交换群G G，它的中心是它的中心是ee。q 52例例11.1411.14例例11.1411.14 设设G G是群，是群，H,KH,K是是G
53、 G的子群。证明的子群。证明(1) H(1) HK K也是也是G G的子群。的子群。(2) H(2) HK K是是G G的子群当且仅当的子群当且仅当 H H K K 或或 K K H H。证明：证明：(1) (1) 由由e eH HK K 知知 H HK K非空。非空。任取任取a,ba,bH HK K，则则 a aH H，a aK K，b bH H，b bK K。由于由于H H和和K K是是G G的子群，必有的子群，必有 abab-1-1H H 和和 abab-1-1K K，从而推出从而推出 abab-1-1H HK K。根据判定定理二，命题得证。根据判定定理二，命题得证。q 53例例11.1
54、411.14（2 2）(2) HK(2) HK是是G G的子群当且仅当的子群当且仅当 H H K K 或或 K K H H。充分性充分性是显然的。是显然的。必要性必要性，用反证法。，用反证法。假设假设 H H K K 且且 K K H H，那么存在那么存在h h和和k k使得使得h hH Hh h K K 并且并且 k kK Kk k H H这就推出这就推出 hkhk H H。若不然，由若不然，由h h-1-1H H可得可得 k kh h-1-1(hk)(hk)H H，与假设矛盾。与假设矛盾。同理可证，同理可证，hkhk K K。从而得到从而得到 hkhk H HK K。这与这与H HK K是
55、子群矛盾。是子群矛盾。q 54如何找到有限群的全部子群如何找到有限群的全部子群第第0 0层层：ee是是G G的平凡子群，也是最小的子群，放在第的平凡子群，也是最小的子群，放在第0 0层。层。第第1 1层层：任取：任取a a G G，a a e e，则，则是是a a由生成的子群。由生成的子群。如果如果G G且不存在且不存在是是的真子群，则将的真子群，则将放在放在第第1 1层。层。 如果如果G G中所有的非单位元生成的子群都等于中所有的非单位元生成的子群都等于G G，则构造结束，则构造结束，并将并将G G放在第放在第1 1层。层。 如果如果a,ba,b G G，a ab b，但，但，这时取这时取（
56、或（或）。）。第第2 2层层：如果：如果在第在第1 1层，并且层，并且G G中存在其它元素中存在其它元素b b满足满足 ，同时不存在元素同时不存在元素c c使得使得 ，那么那么放在第放在第2 2层。层。 此外，第此外，第2 2层还包含有第层还包含有第1 1层的子群的并集生成的更大的子群。层的子群的并集生成的更大的子群。q 55如何找到有限群的全部子群如何找到有限群的全部子群任取第任取第1 1层的两个子群层的两个子群H H1 1,H,H2 2，令，令B BH H1 1H H2 2，如果如果H H1 1 H H2 2，H H1 1 H H2 2 , ,那么那么H H1 1H H2 2不是不是G G
57、的子群，而只是的子群，而只是G G的子集，将的子集，将G G的所有包含的所有包含B B的的子群的交记作子群的交记作，即，即H|BH|B HHGHHG。易见易见是是G G的子群，称为由的子群，称为由B B生成的子群，生成的子群，中的元素恰为如中的元素恰为如下形式：下形式：a a1 1a a2 2a ak k,k,kZ Z+ +其中其中a ai i是是B B中元素或中元素或B B中元素的逆元。不难证明，中元素的逆元。不难证明，是包含了是包含了H H1 1和和H H2 2的最小子群。的最小子群。按照这样的方法，构造按照这样的方法，构造H ，如果如果HG G且第且第2 2层不存层不存在其他子群是在其他
58、子群是H 的真子群，则将的真子群，则将H 放在第放在第2 2层。层。从而由第从而由第1 1层的子群生成第层的子群生成第2 2层的所有子群。当然，不同的子层的所有子群。当然，不同的子群可能会生成相同的新子群。群可能会生成相同的新子群。按照这种办法继续下去，每层构造时先检查是否还有单元素生按照这种办法继续下去，每层构造时先检查是否还有单元素生成的新子群，然后利用前一层子群的并集生成新子群。由于成的新子群，然后利用前一层子群的并集生成新子群。由于G G是有限群，经过有限步生成后，总可得到最高层的唯一的平是有限群，经过有限步生成后，总可得到最高层的唯一的平凡子群凡子群G G，这时构造过程结束。这时构造
59、过程结束。q 56如何找到有限群的全部子群如何找到有限群的全部子群例如例如：G Ge,a,b,ce,a,b,c是是KleinKlein四元群，根据上述的构造性方法得到四元群，根据上述的构造性方法得到G G的全部子群如下：的全部子群如下：第第2 2层层 G G第第1 1层层 e,a, e,a, e,b, e,b, e,ce,c第第0 0层层 ee例如例如：G GZ Z6 60,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5，模模6 6加群。则加群。则G G的全部子群如下：的全部子群如下：第第2 2层层 G G第第1 1层层 0,2,4, 0,2,4, 0,3 0,3 第第0 0层层 00q 57如何找
60、到有限群的全部子群如何找到有限群的全部子群设设G G为群，令为群，令S SH|HH|H是是G G的子群的子群 ，在，在S S上定义关系上定义关系R R如下：如下： A,BA,B S,ARB S,ARB A A是是B B的子群的子群那么那么构成偏序集，称为群构成偏序集，称为群G G的的子群格。子群格。 KleinKlein四元群四元群G G与模与模1212加群加群Z Z1212的的子群格如图所示。子群格如图所示。q 58本节主要内容及学习要求本节主要内容及学习要求q主要内容主要内容子群的定义。子群的定义。子群的三个判定定理及其应用。子群的三个判定定理及其应用。典典型型子子群群：由由元元素素生生成
61、成的的子子群群,群群G G的的中中心心C C，若若干干个个子群的交集。子群的交集。q学习要求学习要求会证明群的子集是子群。会证明群的子集是子群。了解几个典型子群的定义。了解几个典型子群的定义。q 5911.4 11.4 陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理q本节主要讨论群的分解本节主要讨论群的分解q陪集的定义、实例、性质陪集的定义、实例、性质q拉格朗日定理拉格朗日定理q 60陪集陪集定义定义11.911.9 设设H H是是G G的子群，的子群，a aG G。令令HaHaha|hha|hHH称称HaHa是子是子群群H H在在G G中的中的右陪集右陪集( (right coset) )。称。称a
62、a为为HaHa的的代代表元素表元素。实例：实例：设设G Ge,a,b,ce,a,b,c是是KleinKlein四元群，四元群，H He,ae,a是是G G的子群。的子群。H H所有的右陪集是：所有的右陪集是：HeHee,ae,aH H HaHaa,ea,eH H HbHbb,cb,c HcHcc,bc,b不同的右陪集只有两个，即不同的右陪集只有两个，即H H和和b,cb,c。q 61陪集的实例陪集的实例设设A A1,2,3,f1,2,3,f1 1,f,f2 2, ,f,f6 6是是A A上的双射函数。其中上的双射函数。其中f f1 1,f f2 2,f f3 3,f f4 4,f f5 5,f
63、 f6 6,令令G Gff1 1,f,f2 2, ,f,f6 6 ，则则G G关于函数的复合运算构成群。关于函数的复合运算构成群。考虑考虑G G的子群的子群H Hff1 1,f,f2 2 。做出做出H H的全体右陪集如右面所示：的全体右陪集如右面所示：HfHf1 1ff1 1 f f1 1,f,f2 2 f f1 1 ff1 1,f,f2 2 H HHfHf2 2ff1 1 f f2 2,f,f2 2 f f2 2 ff2 2,f,f1 1 H HHfHf3 3ff1 1 f f3 3,f,f2 2 f f3 3 ff3 3,f,f5 5 HfHf4 4ff1 1 f f4 4,f,f2 2
64、f f4 4 ff4 4,f,f6 6 HfHf5 5ff1 1 f f5 5,f,f2 2 f f5 5 ff5 5,f,f3 3 HfHf6 6ff1 1 f f6 6,f,f2 2 f f6 6 ff6 6,f,f4 4 易见，不同的右陪集只有三个，每个右陪集都是易见，不同的右陪集只有三个，每个右陪集都是G G的子集。的子集。q 62陪集的基本性质陪集的基本性质定理定理11.811.8 设设H H是群是群G G的子群，则的子群，则(1) He(1) HeH H。(2) (2) a aG G有有 a aHaHa。证明：证明：(1) He(1) He he|hhe|hHH h|hh|hHH
65、H H(2) (2) 任取任取a aG G，由由a aeaea和和eaeaHa Ha 得得a aHaHa。q 63定理定理定理定理11.911.911.911.9定理定理11.911.9 设设H H是群是群G G的子群，则的子群，则 a,ba,bG G 有有a aHb Hb abab-1-1H H Ha HaHbHb证明：证明：先证先证 a aHb Hb ab ab-1-1H H。a aHbHb h(hh(hH Ha ahbhb) ) h(hh(hH Habab-1-1h)h) ab ab-1-1H H q 64定理定理定理定理11.911.911.911.9反之，任取反之，任取h h1 1b
66、 bHbHb，则有则有再证：再证：a aHbHb Ha HaHbHb。充分性。充分性。若若HaHaHbHb，由由a aHaHa可知，必有可知，必有a aHbHb。必要性。必要性。由由a aHbHb可知，可知， 存在存在h hH H 使得使得a ahbhb，即即b bh h-1-1a a。任取任取h h1 1a aHaHa，则有则有h h1 1a ah h1 1(hb)(hb)(h(h1 1h)bh)bHbHb从而得到从而得到 HaHa HbHb。h h1 1b bh h1 1( (h h-1-1a)a) (h(h1 1h h-1-1)a)aHaHa从而得到从而得到 HbHb HaHa。综上所述
67、综上所述，HaHaHbHb得证。得证。q 65定理定理11.911.9的说明的说明q该定理给出了该定理给出了两个右陪集相等的充分必要条件两个右陪集相等的充分必要条件，并且说明并且说明在在右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素。q在例在例11.1511.15中，中， H Hff1 1,f,f2 2 f f3 3,f f5 5, HfHf3 3ff1 1 f f3 3,f,f2 2 f f3 3 ff3 3,f,f5 5 HfHf5 5ff1 1 f f5 5,f,f2 2 f f5 5 ff5 5,f,f3 3 可以看出可以看出f f3 3HfHf5 5
68、，所以所以 HfHf3 3HfHf5 5。同时有同时有f f3 3 f f5 5-1-1f f3 3 f f6 6f f2 2H Hq 66定理定理11.1011.10定理定理11.1011.10 设设H H是群是群G G的子群，在的子群，在G G上定义二元关系上定义二元关系R R： a,ba,bG G，R R ab ab-1-1H H则则R R是是G G上的等价关系，且上的等价关系，且aaR RHaHa。证明：证明：先证明先证明R R为为G G上的等价关系。上的等价关系。任任取取a aG,G,由由aaaa-1-1e eH H R R可知可知R R在在G G上是自反的。上是自反的。任取任取a,
69、ba,bG G，则则R R abab-1-1H H (ab(ab-1-1) )-1-1H H ba ba-1-1H H R R 所以所以R R是对称的。是对称的。q 67定理定理11.1011.10b baaR R任取任取a,b,ca,b,cG G，则，则R RR R ab ab-1-1H Hbcbc-1-1H H ac ac-1-1R R R R所以所以R R是传递的。是传递的。综上所述综上所述，R R是是G G上的等价关系。上的等价关系。下面证明：下面证明： a aG,aG,aR RHaHa。任取任取b bG G，则有则有 R R ab ab-1-1H H根据定理根据定理11.911.9有
70、有abab-1-1H H HaHaHbHb b bHaHa这就推出这就推出 b baaR R b bHaHa，从而证明了从而证明了aaR RHaHa。 (ab (ab-1-1)(bc)(bc-1)-1)H Hq 68定理定理11.1011.10推论推论推论推论 设设H H是群是群G G的子群，则的子群，则(1)(1)任取任取a,ba,bG G，HaHaHbHb 或或 HaHaHbHb(2)(2)Ha|aHa|aGGG G 证明：证明：由由定理定理11.1011.10和和7.147.14可得。可得。重要结果：重要结果：给定群给定群G G的一个子群的一个子群H H，H H的所有右陪集的集合的所有右
71、陪集的集合Ha|aHa|aGG恰好构成恰好构成G G的一个划分。的一个划分。举例：举例：考虑考虑KleinKlein四元群四元群G Ge,a,b,ce,a,b,c，H He,ae,a是是G G的子群。的子群。H H在在G G中的右陪集是中的右陪集是H H和和HbHb，其中其中HbHbb,cb,c。那么那么H,HbH,Hb构成了构成了G G的一个划分。的一个划分。q 69定理定理11.1111.11定理定理11.1111.11 设设H H是群是群G G的子群，则的子群，则a aG G，H HHa Ha 证明：证明：令令f:HHaf:HHa，f(x)f(x)xaxa。任取任取haHahaHa， h
72、HhH，使得使得 f(h)f(h)haha，因而因而f f是满射的。是满射的。假设假设 f(hf(h1 1) )f(hf(h2 2) )，那么有那么有 h h1 1a ah h2 2a a。根据消去律得根据消去律得 h h1 1h h2 2，因而因而f f是单射的。是单射的。因此，因此， H HHaHa。q 70右陪集右陪集H H的右陪集定义的右陪集定义，即即HaHaha|hha|hHH，a aG G右陪集的性质：右陪集的性质：1.He1.HeH H2.2. a aG G，a aHa Ha 3.3. a,ba,bG G，a aHbHbabab-1-1H H HaHaHbHb4.4.若在若在G
73、G上定义二元关系上定义二元关系R R， a,ba,bG,G,R Rabab-1-1H H则则R R是是G G上的等价关系，上的等价关系，且且aaR RHaHa。5.5. a aG G，H HHaHa。H H的左陪集定义的左陪集定义，即即aHaHah|hah|hHH，a aG G左陪集的性质：左陪集的性质：1.eH1.eHH H2.2. a aG G，a aaHaH 3.3. a,ba,bG G，a abHbH b b-1-1a aH H aHaHbHbH4.4.若在若在G G上定义二元关系上定义二元关系R R， a,ba,bG,G,R Rb b-1-1a aH H则则R R是是G G上的等价关
74、系，上的等价关系，且且aaR RaHaH。5.5. a aG G，H HaHaH。左陪集左陪集左陪集左陪集q 71左陪集举例左陪集举例群群G Gff1 1,f,f2 2, ,f,f6 6 。令令H Hff1 1,f,f2 2 ，则则H H在在G G中的中的全体左陪集如下：全体左陪集如下：f f1 1H Hff1 1 f f1 1,f,f1 1 f f2 2 ff1 1,f,f2 2 H Hf f2 2H Hff1 1 f f2 2,f,f2 2 f f2 2 ff2 2,f,f1 1 H Hf f3 3H Hff3 3 f f1 1,f,f3 3 f f2 2 ff3 3,f,f6 6 f f
75、4 4H Hff4 4 f f1 1,f,f4 4 f f2 2 ff4 4,f,f5 5 f f5 5H Hff5 5 f f1 1,f,f5 5 f f2 2 ff5 5,f,f4 4 f f6 6H Hff6 6 f f1 1,f,f6 6 f f2 2 ff6 6,f,f3 3 和和H H的右陪集相比较的右陪集相比较, ,不难看出有不难看出有 HfHf1 1f f1 1H H，HfHf2 2f f2 2H H，HfHf3 3f f3 3H H，HfHf4 4f f4 4H H，HfHf5 5f f5 5H H，HfHf6 6f f6 6H H结论：结论：一般来说，对于群一般来说，对于群
76、G G的每个子群的每个子群H H不能保证有不能保证有HaHaaHaH。但是对但是对某些特殊的子群某些特殊的子群H H，a aG G都有都有HaHaaHaH，称这些子群为称这些子群为G G的的正规子群正规子群。HfHf1 1ff1 1 f f1 1,f,f2 2 f f1 1 ff1 1,f,f2 2 H HHfHf2 2ff1 1 f f2 2,f,f2 2 f f2 2 ff2 2,f,f1 1 H HHfHf3 3ff1 1 f f3 3,f,f2 2 f f3 3 ff3 3,f,f5 5 HfHf4 4ff1 1 f f4 4,f,f2 2 f f4 4 ff4 4,f,f6 6 Hf
77、Hf5 5ff1 1 f f5 5,f,f2 2 f f5 5 ff5 5,f,f3 3 HfHf6 6ff1 1 f f6 6,f,f2 2 f f6 6 ff6 6,f,f4 4 q 72左右陪集个数相等左右陪集个数相等令令 S SHa|aHa|a G TG T aH|aaH|a G G 分别表示分别表示H H的右陪集和左陪集的集合，定义：的右陪集和左陪集的集合，定义： f:STf:ST，f(Ha)f(Ha)a a-1-1H H， a a G G 可以证明可以证明f f是是S S到到T T的双射函数。的双射函数。对对 a a，b b G G 有有 HaHaHbHb ab ab-1-1HH
78、(ab (ab-1 -1 ) )-1-1HH (b (b-1-1) )-1-1a a-1-1H H a a-1-1H Hb b-1-1H H这说明对于任意的这说明对于任意的HaSHaS，必有唯一的必有唯一的f(Ha)Tf(Ha)T与之对应，与之对应，即即f f是函数。是函数。同时可知：若同时可知：若f(Ha)f(Ha)f(Hbf(Hb) )，必有必有HaHaHbHb，即，即f f是单射。是单射。任取任取bHTbHT，则则HbHb-1-1S S， 且有且有f(Hbf(Hb-1-1) )(b(b-1-1) )-1-1H HbHbH从而证明了从而证明了f f的满射性。的满射性。因此因此S ST T。
79、q 73关于陪集的进一步说明关于陪集的进一步说明q对于子群对于子群H H和元素和元素a a，它的左陪集它的左陪集aHaH与右陪与右陪集集HaHa一般说来是一般说来是不等的。不等的。qH H的左陪集个数与右陪集个数是相等的，因为可以证明的左陪集个数与右陪集个数是相等的，因为可以证明f(Ha)f(Ha)a a-1-1H H，f f在在H H的右陪集和左陪集之间建立了一一对应。的右陪集和左陪集之间建立了一一对应。q今后不再区分今后不再区分H H的右陪集数和左陪集数，统称为的右陪集数和左陪集数，统称为H H在在G G中的中的陪集数陪集数，也叫做，也叫做H H在在G G中的指数，中的指数，记作记作G:H
80、G:H。q对于有限对于有限群群G G，H H在在G G中的指数中的指数 G:H G:H 和和 |G|,|H|G|,|H|有密切的有密切的关系，这就是著名的拉格朗日定理。关系，这就是著名的拉格朗日定理。q 74拉格朗日定理拉格朗日定理定理定理11.1211.12 设设G G是有限群，是有限群，H H是是G G的子群，则的子群，则|G|G|H|H|G:HG:H证明：证明：设设G:HG:Hr r，a a1 1,a,a2 2, ,a,ar r分别分别是是H H的的r r个右陪集的代表元素。个右陪集的代表元素。根据根据定理定理11.1011.10的推论有的推论有G GHaHa1 1HaHa2 2HaHa
81、r r由于由于这这r r个右陪集是两两不交的，所以有个右陪集是两两不交的，所以有|G|G|Ha|Ha1 1|+|Ha|+|Ha2 2|+|+|Ha+|Har r| |由由定理定理11.1111.11可知，可知，|Ha|Hai i| |H|H|，i i1,2,1,2,r,r。将这些等式代入上式得将这些等式代入上式得|G|G|H|H|r r|H|H|G:HG:Hq 75拉格朗日定理的拉格朗日定理的推论推论1 1推论推论1 1 设设G G是是n n阶群，则阶群，则 a aG G，|a|a|是是n n的因子，且有的因子，且有a an ne e。证明证明 任取任取a aG G，则则是是G G的子群。的子
82、群。由拉格朗日定理可知，由拉格朗日定理可知，的阶是的阶是n n的因子。的因子。另一方面，另一方面，是由是由a a生成的子群，若生成的子群，若|a|=r|a|=r，则则aa0 0e,ae,a1 1,a,a2 2, ,a,ar-1r-1 这说明这说明的阶与的阶与|a|a|相等，相等，所以所以|a|a|是是n n的因子。的因子。根据根据定理定理11.4(1)11.4(1)，必有必有a an ne e。q 76拉格朗日定理的拉格朗日定理的拉格朗日定理的拉格朗日定理的推论推论推论推论2 2 2 2推论推论2 2 对阶为素数的群对阶为素数的群G G，必存在必存在a aG G，使得使得G G。证明证明设设|
83、G|G|p p，p p是素数。是素数。由由p p2 2可可知，知，G G中必存在非单位元。中必存在非单位元。任任取取a aG G，a ae e，则则是是G G的子群。的子群。根据拉格朗日定理，根据拉格朗日定理，的阶是的阶是p p的因子，的因子，即即的阶是的阶是p p或或1 1，显然显然的阶不是的阶不是1 1，这就推出这就推出G G。说说明明q拉格朗日定理对分析有限群中元素的阶很有用。拉格朗日定理对分析有限群中元素的阶很有用。q这个定理的逆命题并不为真。这个定理的逆命题并不为真。q有时候有时候r r是是n n的因子，但的因子，但n n阶群阶群G G中不一定含有中不一定含有r r阶元。阶元。可以验
84、证例可以验证例11.1511.15中的群中的群G=G=f1,f2,f6 中并没有中并没有6 6阶元。阶元。q 77拉格朗日定理的应用实例拉格朗日定理的应用实例命题：命题：如果群如果群G G只含只含1 1阶和阶和2 2阶元，则阶元，则G G是是AbelAbel群。群。证明：证明：设设a a为为G G中任意元素，根据题意，有中任意元素，根据题意，有a a1 1e e或或a a2 2e e，即有即有a a-1-1a a。任取任取x,yx,yG G， 则则 xyxy (xy)(xy)-1-1y y-1-1x x-1-1yxyx。因此因此G G是是AbelAbel群。群。q 78例例11.1611.16
85、例例11.1611.16 证明证明6 6阶群中必含有阶群中必含有3 3阶元。阶元。 证明：证明：设设G G是是6 6阶群，由拉格朗日定理的推论阶群，由拉格朗日定理的推论1 1可知可知G G中的元中的元素只能是素只能是1 1阶、阶、2 2阶、阶、3 3阶或阶或6 6阶元。阶元。若若G G中含有中含有6 6阶元，设这个阶元，设这个6 6阶元阶元是是a a，则则a a2 2是是3 3阶元。阶元。若若G G中不含中不含6 6阶元，下面证明阶元，下面证明G G中必含有中必含有3 3阶元。阶元。如若不然，如若不然，G G中只含中只含1 1阶和阶和2 2阶元，阶元，即即 a aG G，有有a a2 2e e
86、，由命题可知由命题可知G G是阿贝尔群。是阿贝尔群。取取G G中两个不同的中两个不同的2 2阶元阶元a a和和b b，令令H He,a,b,abe,a,b,ab易证易证H H是是G G的子群，的子群，但但|H|=4|H|=4，|G|=6|G|=6，与拉格朗日定理矛盾。与拉格朗日定理矛盾。q 79例例11.1711.17例例11.1711.17 证明阶小于证明阶小于6 6的群都是阿贝尔群。的群都是阿贝尔群。证明：证明：1 1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群。阶群是平凡的，显然是阿贝尔群。2,32,3和和5 5都是素数。由拉格朗日定理的推论都是素数。由拉格朗日定理的推论2 2可知可知2 2阶阶,3,3
87、阶和阶和5 5阶群阶群都是由一个元素生成的群。它们都是阿贝尔群。都是由一个元素生成的群。它们都是阿贝尔群。（因为（因为 a i, ,a jGG，有，有a i a ja i+ +ja j+ +ia j a i。）。）设设G G是是4 4阶群。若阶群。若G G中含有中含有4 4阶元，比如说阶元，比如说a，则则G G ，由刚才的分析可知由刚才的分析可知G G是阿贝尔群。是阿贝尔群。若若G G中不含中不含4 4阶元，根据拉格朗日定理，阶元，根据拉格朗日定理，G G中只含中只含1 1阶和阶和2 2阶元。阶元。由命题可知由命题可知G G也是阿贝尔群。也是阿贝尔群。 q 80本节内容及学习要求本节内容及学习
88、要求q主要内容主要内容陪集的定义及实例。陪集的定义及实例。陪集及其代表元素之间的关系。陪集及其代表元素之间的关系。陪集的四条性质。陪集的四条性质。有限群有限群G G的拉格朗日定理的拉格朗日定理(|G|=|H|G:H)(|G|=|H|G:H)及两个推论。及两个推论。q学习要求学习要求在群在群G G中会求已知子群中会求已知子群H H的右（或左）陪集。的右（或左）陪集。了解陪集的性质，特别是两个陪集相等的充要条件。了解陪集的性质，特别是两个陪集相等的充要条件。了解群了解群G G的陪集分解是怎样与的陪集分解是怎样与G G上的等价关系相对应的。上的等价关系相对应的。掌握拉格朗日定理及其推论的简单应用。掌
89、握拉格朗日定理及其推论的简单应用。q 8111.5 11.5 正规子群与商群正规子群与商群q正规子群的定义及实例正规子群的定义及实例q正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法q商群的定义及其实例。商群的定义及其实例。q 82正规子群的定义及实例正规子群的定义及实例定义定义11.1011.10设设H H是群是群G G的子群。如果的子群。如果 a aG G都有都有HaHaaHaH, ,则称则称H H是是G G的的正规子群正规子群( (normal subgroup) )或或不变子群不变子群，记作记作HH| |G G。注意注意 q条件条件HaHaaHa
90、H仅仅表示两个集合仅仅表示两个集合aHaH和和HaHa相等。相等。q错误的理解：由错误的理解：由aHaHHaHa可推出可推出ahahhaha对对H H中所有的元素中所有的元素h h都成都成立。立。q正确的理解：正确的理解：对对 h hHH，存在存在h h1 1HH，使，使ahahh h1 1a a。说明说明q任何群任何群G G都有正规子群都有正规子群，因为，因为G G的两个平凡子群，即的两个平凡子群，即G G和和ee，都是都是G G的正规子群。的正规子群。q如果如果G G是阿贝尔群，是阿贝尔群，G G的所有子群都是正规子群。的所有子群都是正规子群。q 83正规子群的实例正规子群的实例例例11.
91、1811.18 设设A A1,2,3,f1,2,3,f1 1,f,f2 2, ,f,f6 6是是A A上的双射函数。其中上的双射函数。其中f f1 1,f f2 2,f f3 3, , f f4 4,f f5 5,f f6 6,令令G Gff1 1,f,f2 2, ,f,f6 6 ，则则G G关于函数的复合运算构成群。关于函数的复合运算构成群。G G的全的全体子群是：体子群是：H H1 1ff1 1,H H2 2ff1 1,f,f2 2, H H3 3ff1 1,f,f3 3 H H4 4=f=f1 1,f,f4 4,H H5 5ff1 1,f,f5 5,f,f6 6, , H H6 6G G
92、不难验证，不难验证，H H1 1,H,H5 5和和H H6 6是是G G的正规子群，而的正规子群，而H H2 2,H,H3 3和和H H4 4不是正规子不是正规子群。群。q 84正规子群的判定定理正规子群的判定定理定理定理11.1311.13 设设N N是群是群G G的子群，的子群，N N是群是群G G的正规子群当且仅当任取的正规子群当且仅当任取g gG G，n nN N有有 gnggng-1-1N N。证明证明 必要性。必要性。 任取任取g gG G，n nN N，由由gNgNNgNg可知，可知，存在存在 n n1 1N N 使得使得 gngnn n1 1g g，从而有从而有 gnggng-
93、1-1n n1 1gggg-1-1n n1 1N N。充分性，充分性，即证明即证明 g gG G 有有 gNgNNgNg。任取任取 gngngNgN， 由由 gnggng-1-1N N 可知存在可知存在 n n1 1N N 使得使得 gnggng-1-1n n1 1，从而得从而得 gngnn n1 1g gNgNg。这就推出这就推出 gNgN NgNg。反之，任取反之，任取ngngNgNg， 由于由于g g-1-1G G必有必有(g(g-1-1)n(g)n(g-1-1) )-1-1N N，即即 g g-1-1ngngN N。 所以存在所以存在n n1 1N N 使得使得 g g-1-1ngng
94、n n1 1，从而有从而有ngnggngn1 1gNgN。 这就推出这就推出 NgNg gNgN。综合上述，综合上述，g gG G 有有 gNgNNgNg。q 85正规子群的判定实例正规子群的判定实例例例11.1911.19 设设G G是全体是全体n n阶实可逆矩阵的集合关于乘法构成的群，阶实可逆矩阵的集合关于乘法构成的群，其中其中n n2 2。令令 H H X| |XG GdetdetX11其中其中detdetX 表示矩阵表示矩阵 X 的行列式，则的行列式，则H H是是G G的正规子群。的正规子群。证明证明 设设E E表示表示n n阶单位矩阵，则阶单位矩阵，则E EH H，H H非空。非空。
95、任取任取M M1 1,M,M2 2H H，则则det(Mdet(M1 1M M2 2-1-1) )detMdetM1 1 detMdetM2 2-1-11 1所以所以M M1 1M M2 2-1-1H H。由子群判别定理可知，由子群判别定理可知，H HG G。下面证明下面证明H H是正规的。任是正规的。任取取X XG,MG,MH,H,则则det(XMXdet(XMX-1-1) ) detXdetX detMdetM detXdetX-1-1detXdetX detXdetX-1-1det(XXdet(XX-1-1) ) detEdetE1 1所以所以XMXXMX-1-1H H。由判定定理由判定
96、定理,H,H是是G G的正规子群的正规子群。q 86定理定理11.1411.14定理定理11.14 11.14 设设N N是群是群G G的子群的子群，N N是是G G的正规子群当且仅当的正规子群当且仅当 g gG G，有有 gNggNg-1-1N N。证明证明 任任取取g gG G有有gNggNg-1-1N N (gNg(gNg-1-1)g)gNgNg gNgNNgNg由正规子群定义，定理得证。由正规子群定义，定理得证。q 87例例11.2011.20例例11.2011.20 设设N N是群是群G G的子群，若的子群，若G G的其他子群都不的其他子群都不与与N N等势，则等势，则N N是是G
97、G的正规子群。的正规子群。证明证明 任取任取g gG G，则，则gNggNg-1-1是是G G的子群。的子群。容易证明容易证明 N NgNggNg-1-1。令。令f:NgNgf:NgNg-1-1，f(n)f(n)gnggng-1-1， n nN N则则f f是是N N到到gNggNg-1-1的映射。的映射。假若假若f(nf(n1 1) )f(nf(n2 2),),则有则有gngn1 1g g-1-1=gn=gn2 2g g-1-1，从而推出从而推出 n n1 1n n2 2，即，即f f是单射。是单射。任取任取gnggng-1-1gNggNg-1-1，则有则有n nN N且且f(n)f(n)g
98、nggng-1-1，这就证明这就证明f f是满射。从而是满射。从而N NgNggNg-1-1。根据已知条件，必有根据已知条件，必有gNggNg-1-1N N。所以所以N N是是G G的的正规子群。正规子群。q 88例例11.2111.21例例11.21 11.21 设设N N是群是群G G的子群，若的子群，若G:NG:N2 2，则则N N是是G G的正规子群。的正规子群。证明证明 由由G:NG:N2 2可知可知N N存在两个右陪集，即存在两个右陪集，即G GNNgNNg，g g N N同理可知，同理可知，G GNgNNgN，g g N N任取任取g gG G，若若g gN N，则有则有gNgN
99、N NNgNg。若若 g g N N，则有则有gNgNG-NG-NNgNg。从而证明了从而证明了N N是是G G的正规子群。的正规子群。q例例11.2011.20和例和例11.2111.21可作为判别正规子群的充分条件来使用。可作为判别正规子群的充分条件来使用。q考虑考虑例例11.1811.18中的群中的群G G。H H1 1、H H5 5和和H H6 6都是都是G G的唯一的的唯一的1 1阶、阶、3 3阶和阶和6 6阶子群。所以它们都是正规的。对于阶子群。所以它们都是正规的。对于H H5 5, ,由于由于G:HG:H5 5 2 2，根据根据例例11.1911.19的结论也可以判别的它的正规性
100、。的结论也可以判别的它的正规性。q 89商群商群由群由群G G和和G G的正规子群的正规子群N N可以构造一个新的群，就是可以构造一个新的群，就是G G的的商群商群G/NG/N。设设G G是群，是群，N N是是G G的正规子群，令的正规子群，令G/NG/N是是N N在在G G中的全体右陪集（或中的全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即左陪集）构成的集合，即G/NG/NNg|gNg|gGG在在G/NG/N上定义二元运算如下：上定义二元运算如下： Na,NbNa,NbG/NG/N，NaNa NbNbNab Nab 可以证明可以证明G/NG/N关于关于 运算构成一个群。运算构成一个群。首先验证首先验证
101、 运算是良定义的，即运算是良定义的，即N N的任意两个陪集的任意两个陪集NaNa、NbNb的乘积是的乘积是唯一的。唯一的。因为因为 运算是涉及到类的运算，必须证明该运算与类的代表元素运算是涉及到类的运算，必须证明该运算与类的代表元素的选择无关。的选择无关。换句话说，若换句话说，若 NaNaNx,NbNx,NbNyNy, , 则有则有 NaNa NbNbNxNx NyNy。q 90商群商群任取任取a,b,x,ya,b,x,yG G，则有则有NaNaNxNxNbNbNyNy n n1 1 n n2 2(a(an n1 1x xb bn n2 2y)y) NabNabNnNn1 1xnxn2 2y
102、yNnNn1 1n n2 2x xy y（由于由于N N是正规的）是正规的） NabNabNxyNxy NaNa NbNbNxNx NyNy易见易见G/NG/N关于运算是封闭的。关于运算是封闭的。q 91商群商群再证明运算是再证明运算是可结合可结合的。的。任取任取a,b,ca,b,cG G，( (NaNa Nb)Nb) NcNcNabNab NcNcN(ab)cN(ab)cNabcNabcNaNa (Nb(Nb NcNc) )NaNa NbcNbcNa(bcNa(bc) )NabcNabc所以所以有有( (NaNa Nb)Nb) NcNcNaNa (Nb(Nb NcNc) )。 NeNeN N
103、是是G/NG/N中关于运算中关于运算 的单位元的单位元。 NaNaG/NG/N，NaNa-1-1是是NaNa的逆元。的逆元。综上所述综上所述,G/N,G/N关于关于 运算构成群。称为运算构成群。称为G G的的商群商群( (quotient group) )。q 92例例11.2211.22设设是整数加群，令是整数加群，令3Z3Z3z|z3z|zZZ则则3Z3Z是是Z Z的正规子群。的正规子群。Z Z关于关于3Z3Z的商群的商群 _ _ _ _ _Z/3ZZ/3Z0,1,20,1,2其中其中 _ _i iii3z+i|z3z+i|zZ iZ i0,1,20,1,2且且Z/3ZZ/3Z中的运算如右
104、表所示。中的运算如右表所示。_ _0 0_ _1 1_ _2 2_ _0 0_ _0 0_ _1 1_ _2 2_ _1 1_ _1 1_ _2 2_ _0 0_ _2 2_ _2 2_ _0 0_ _1 1q 93本本节内容及学内容及学习要求要求q主要内容主要内容正规子群的定义及实例。正规子群的定义及实例。正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法。正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法。商群的定义及其实例。商群的定义及其实例。q学习要求学习要求掌握正规子群的概念及判别方法。掌握正规子群的概念及判别方法。给定群给定群G G和它的正规子和它的正规子群群H H，会求商群会求商群G/HG/
105、H。q 9411.6 11.6 群的同态与同构群的同态与同构q和半群的同态类似和半群的同态类似, ,也可以定义群的同态。也可以定义群的同态。q群的同态映射和同构映射，以及相关的概念。群的同态映射和同构映射，以及相关的概念。q群同态的性质。群同态的性质。q 95群的同群的同态映射映射定义定义11.1111.11 设设G G1 1,G,G2 2是群，是群， ：G G1 1G G2 2，若任意若任意a, ,bG G1 1都有都有 ( (ab) ) ( (a) ) ( (b) )则称则称 是群是群G G1 1到到G G2 2的的同态映射同态映射，简称简称同态同态。典型同态映射的实例典型同态映射的实例(
106、1)G(1)G1 1是整数加群，是整数加群，G G2 2Z 是模是模n的整数加群。令的整数加群。令 ：Z ZZ Zn, , ( (x) )( (x)mod )mod n则则 是是G G1 1到到G G2 2的同态。的同态。因为因为 x, ,yZ Z有有 ( (x+ +y) ) ( (x+ +y)mod )mod n( (x)mod )mod n ( (y)mod )mod n ( (x) ) ( (y) )q 96典型同典型同态映射的映射的实例例(2)(2)设设G G1 1是实数加群，是实数加群，G G2 2R 是非零实数关于普是非零实数关于普通乘法构成的群。令通乘法构成的群。令 ：R RR
107、R* *, , ( (x) )ex则则 是是G G1 1到到G G2 2的同态的同态, ,因为因为 x, ,yR R有有 ( (x+y) )ex+yex ey ( (x) ) ( (y) )(3)(3)设设G G1 1,G,G2 2是群，是群，e e2 2是是G G2 2的单位元。令的单位元。令 ：G G1 1G G2 2, , ( (a) )e2 2， aG G1 1则则 是是G G1 1到到G G2 2的同态，称为的同态，称为零同态零同态。因为因为 a, ,bG G1 1有有 ( (ab) )e2 2 e2 2e2 2 ( (a) ) ( (b) ) q 97同同态的分的分类定义定义11.
108、1211.12 设设 ：G G1 1G G2 2是群是群G G1 1到到G G2 2的同态。的同态。(1) (1) 若若 ：G G1 1G G2 2是满射的，则称是满射的，则称 为为满同态满同态，这时也称这时也称G G2 2是是G G1 1的的同态像同态像，记作记作G G1 1G G2 2。(2) (2) 若若 ：G G1 1G G2 2是单射的，则称是单射的，则称 为为单同态单同态。 (3) (3) 若若 ：G G1 1G G2 2是双射的，则称是双射的，则称 为为同构同构，记作记作G G1 1G G2 2。(4) (4) 若若G G1 1G G2 2，则称则称 是是群群G G的的自同态自同
109、态。举例举例：(1)(1)中的同态是满同态，这时也可以说模中的同态是满同态，这时也可以说模n n整数加群是整数加整数加群是整数加群的同态像。群的同态像。( (2)2)中的同态是单同态。由于中的同态是单同态。由于ran ran R R+ +，同态像是同态像是R 。这两个同态都不是同构。这两个同态都不是同构。q 98例例11.2411.24例例11.24 11.24 设设G GZ 是模是模n n整数加群，证明恰含有整数加群，证明恰含有n个个G G的自同的自同态。态。证明：证明：先证存在着先证存在着n n个个G G的自同态。令的自同态。令 ：Z ZnZ Zn， ( (x) )( (px)mod)mo
110、d n，p=0,1,=0,1, ,n-1-1则则 是是G G的自同态，因为任意的的自同态，因为任意的x, ,yZZn有有 ( (x y) ) ( (p( (x y)mod )mod n ( (px)mod)mod n ( (py)mod)mod n ( (x) ) ( (y) )由于由于p有有n种取值，不同的种取值，不同的p确定了不同的映射确定了不同的映射 ，所以存在所以存在n个个G G的自同态。的自同态。q 99例例11.2411.24下面证明任何下面证明任何G G的自同态都是上述的自同态都是上述n个自同态中的一个。个自同态中的一个。设设 是是G G的自同态，且的自同态，且 (1(1) )i
111、，iZZn。我们将证明我们将证明 xZZn，有有 ( (x) )( (ix)mod )mod n。 (1)(1)i( (i1)mod 1)mod n假设对一切假设对一切x1,2,1,2,n-2-2，有有 ( (x) )( (ix)mod )mod n成立，则成立，则 ( (x+1)+1) ( (x 1)1) ( (x) ) (1)(1) ( (ix)mod )mod n i i( (ix+ +i)mod )mod n( (i( (x+1)mod +1)mod n最后有最后有 (0)(0) (n-1)-1) 1)1) ( (n-1)-1) (1)(1)( (i( (n-1)mod -1)mod
112、n i( (in)mod )mod n 0 0( (i0)mod 0)mod nq 100例例11.2511.25例例11.25 11.25 设设G G为群，为群，aG G。令令 ：G GG G, , ( (x) )axa-1-1， xG G则则 是是G G的自同构，称为的自同构，称为G G的的内自同构内自同构。证明：证明： x, ,yG G，有有 ( (xy) ) a( (xy) )a-1-1( (axa-1-1)()(aya-1-1) ) ( (x) ) ( (y) )所以所以 是是G G的自同态。的自同态。任取任取 yG G，则存在则存在 a-1-1yaG G，且满足且满足 ( (a-1
113、-1ya) ) a( (a-1-1ya) )a-1-1y所以所以 是满射的。是满射的。任取任取x, ,yG G，假若假若 ( (x) ) ( (y) )，即即axa-1-1aya-1-1，由由G G中的消去律必有中的消去律必有xy。从而证明了是从而证明了是 单射的。单射的。综合上述综合上述, , 是是G G的自同构。的自同构。q 101举例举例如果如果G G是阿贝尔群，对于上面的内自同构是阿贝尔群，对于上面的内自同构 必有必有 ( (x) )axa-1-1aa-1-1xx这说明这说明阿贝尔群的内自同构只有一个，就是恒等映射。阿贝尔群的内自同构只有一个，就是恒等映射。考虑模考虑模3 3整数加群整
114、数加群Z ，根据根据例例11.2411.24，Z Z3 3有有3 3个自同态，个自同态，即即 p( (px)mod 3)mod 3，p0,1,20,1,2。p0 0， 0 0 : : 00, 10, 2000, 10, 20p1 1， 1 1 : : 0 00, 10, 11, 21, 22 2p2 2， 2 2 : 0: 00, 10, 12, 22, 21 1在这三个自同态中，在这三个自同态中， 1 1和和 2 2 是是 Z Z3 3的自同构的自同构, ,其中其中 1 1是内自同构。是内自同构。 0 0是零同态。是零同态。 q 102同同态映射的性映射的性质定理定理11.511.5 设设
115、是群是群G G1 1到到G G2 2的同态映射，的同态映射，e e1 1和和e e2 2分别为分别为G G1 1和和G G2 2的单的单位元，则位元，则 (1) (1) (e(e1 1) )e e2 2(2) (2) (a(a-1-1) ) (a)(a)-1-1， a aG G1 1说明：说明：同态映射保持元素的对应性。同态映射保持元素的对应性。证明证明 (1) (1) (e(e1 1) ) (e(e1 1) ) (e(e1 1e e1 1) ) (e(e1 1) ) (e(e1 1)e)e2 2。由由G G2 2的消去律得的消去律得 (e(e1 1) )e e2 2。(2) (2) 任取任取
116、aGaG1 1，由由 (a(a- -1 1) ) (a)(a) (a(a-1-1a)a) (e(e1 1) ) e e2 2 (a)(a) (a(a-1-1) ) (aa(aa-1-1) ) (e(e1 1) ) e e2 2可知可知 (a(a-1-1) )是是 (a)(a)的逆元。的逆元。根据逆元的唯一性得根据逆元的唯一性得 (a(a-1-1) ) (a)(a)-1-1。q 103例例11.2611.26例例11.2611.26 设设G G1 1是有理数加群，是有理数加群，G G2 2Q,是非零有理是非零有理数乘法群。证明不存在数乘法群。证明不存在G G2 2到到G G1 1的同构。的同构。
117、证明证明 假设假设 是是G G2 2到到G G1 1的同构，那么有的同构，那么有 ：G G2 2GG1 1, , (1)(1)0 0于是有于是有 (-1)(-1) (-1)(-1) (-1)(-1)(-1)(-1) (1)(1) 0 0从而得从而得 (-1)(-1)0 0，这与，这与 的单射性矛盾。的单射性矛盾。q 104例例11.2711.27例例11.2711.27 设设G Ge,a,b,ce,a,b,c是是KleinKlein四元群。试给出四元群。试给出G G的所有自同构。的所有自同构。解答解答设设 是是G G的自同构的自同构, ,则则 (e)(e)e e，且且 是双射。是双射。因此满足
118、这些条件的映射只有以下六个：因此满足这些条件的映射只有以下六个： 1 1：e ee e，a aa a，b bb b，c cc c 2 2：e ee e，a aa a，b bc c，c cb b 3 3：e ee e，a ab b，b bc c，c ca a 4 4：e ee e，a ab b，b ba a，c cc c 5 5：e ee e，a ac c，b bb b，c ca a 6 6：e ee e，a ac c，b ba a，c cb b根据同态定义根据同态定义, ,不难验证不难验证 x,yx,yG G都有都有 i i(xy(xy) ) i i(x)(x) i i(y)(y)，i i1,
119、2,1,2,6,6成立。所以上述的成立。所以上述的 1 1, , 2 2, , , 6 6是是G G上的全体自同构。上的全体自同构。q 105同同态映射的性映射的性质定理定理11.1611.16 设设 是是群群G G1 1到到G G2 2的同态，的同态，H H是是G G1 1的子群，则的子群，则(1)(1) (H)(H)是是G G2 2的子群。的子群。(2)(2)若若H H是是G G1 1的正规子群，且的正规子群，且 是满同态，则是满同态，则 (H)(H)是是G G2 2的正规子群。的正规子群。说明：说明：同态映射保持子群的对应性。同态映射保持子群的对应性。 证明证明 (1) (1) 由由e
120、e2 2 (e(e1 1) (H)(H)可知可知 (H)(H)非空。非空。任取任取x,yx,y (H)(H)，则存在则存在a,bHa,bH，使得使得 (a)(a)x x， (b)(b)y y。 由于由于 是同态，所以是同态，所以xyxy-1-1 (a)(a) (b)(b)-1-1 (a)(a) (b(b-1-1) ) (ab(ab-1-1) )又由于又由于H H是是G G1 1的子群，的子群，abab-1-1HH， 因此因此xyxy-1-1 (H)(H)。从而证明了从而证明了 (H)(H)是是G G2 2的子群。的子群。q 106定理定理11.1611.16(2)(2)若若H H是是G G1
121、1的正规子群，且的正规子群，且 是满同态，则是满同态，则 (H)(H)是是G G2 2的正规子群。的正规子群。 只需证明只需证明 (H)(H)是正规的。是正规的。任取任取xx (H)(H)，yGyG2 2， 则存在则存在aHaH，使得使得 (a)(a)x x。又由于又由于 的满射性，必存在的满射性，必存在gGgG1 1使得使得 (g)(g)y y。所以所以yxyyxy-1-1 (g)(g) (a)(a) (g)(g)-1-1 (gag(gag-1-1) ) ( (由于同态由于同态) )因为因为H H是是G G1 1的正规子群，的正规子群，gaggag-1-1HH。这就推出这就推出 yxyyxy
122、-1-1 (H)(H)。从而证明了从而证明了 (H) | G(H) | G2 2。q 107同同态的核的核定义定义11.1311.13 设设 是群是群G G1 1到到G G2 2的同态，令的同态，令kerker x|xGx|xG1 1 (x)(x)e e2 2 其中其中e e2 2为为G G2 2的单位元。称的单位元。称kerker 为为同态的核同态的核。 举例：举例：考虑考虑例例11.2311.23的几个同态。的几个同态。(1)(1) ：ZZn, ZZn, (x)(x)(x) mod n(x) mod n，kerker z|zZnz|zZn整除整除zznZnZ(2)(2) ：RRRR* *,
123、 , (x)(x)e ex x，kerker 00(3)(3) ：G G1 1GG2 2， (a)(a)e e2 2， aGaG1 1， 是零同态，是零同态，kerker G G1 1q 108有关同有关同态核的性核的性质定理定理11.1711.17 设设 是群是群G G1 1到到G G2 2的同态，则的同态，则(1) (1) kerker | | G G1 1(2) (2) 是单同态当且仅当是单同态当且仅当 kerker ee1 1 ，其中其中e e1 1为为G G1 1的单位元。的单位元。证明证明 (1) (1) 令令e e1 1,e,e2 2分别分别为为G G1 1和和G G2 2的单位
124、的单位元元。e e1 1kerker ，所以所以kerker 非空。非空。任任取取a,bkera,bker ，则，则 (ab(ab-1-1) ) (a)(a) (b(b-1-1) ) (a)(a) (b)(b)-1-1e e2 2e e2 2-1-1e e2 2因此因此abab-1-1kerker ，从而证明了从而证明了kerker G G1 1 。任取任取akeraker ，xGxG1 1，则，则 (xax(xax-1-1) ) (x)(x) (a)(a) (x(x-1-1) ) (x)e(x)e2 2 (x(x-1-1) ) (xx(xx-1-1) ) (e(e1 1) ) e e2 2所
125、以所以xaxxax-1-1kerker 。这就证明了这就证明了kerker | G| G1 1。q 109有关同有关同态核的性核的性质(2) (2) 是单同态当且仅当是单同态当且仅当 kerker ee1 1 ，其中其中e e1 1为为G G1 1的单位元。的单位元。必要性。必要性。假设存在假设存在a akerker 且且 a ae e1 1，则则 (a)(a)e e2 2 (e(e1 1) )与与 是单射相矛盾。是单射相矛盾。充分性。充分性。任取任取a,ba,bG G1 1，则则 (a)(a) (b)(b) (a)(a) (b)(b)-1 -1 e e2 2 (ab(ab-1-1) )e e
126、2 2由于由于kerker ee1 1 ，那么那么abab-1-1e e1 1，从而推出从而推出a ab b。这就证明了的单射性。这就证明了的单射性。所以所以 是单同态。是单同态。q 110自然同态自然同态例例11.2811.28 设设G G是群，是群，N N是是G G的正规子群。令的正规子群。令g g：GG/N,GG/N,g(a)g(a)NaNa， aGaG 则则g g是是G G到到G/NG/N的同态。的同态。因为因为 a,bGa,bG，有，有g(abg(ab) )NabNab NaNbNaNb g(a)g(b)g(a)g(b)称称g g为为自然同态自然同态。 易见自然同态都是满同态。易见自
127、然同态都是满同态。下面求下面求kerker g g。 任取任取xGxG，由由xkerxker g g NxNxN N xNxN可知可知 kerker g gN N。考虑两个平凡的正规子群。考虑两个平凡的正规子群。 设设g g：GG/NGG/N是自然同态。是自然同态。当当N NG G时，时，有有G/NG/N G/GG/G G, G, 且且 aGaG有有g(a)g(a)G,G, g g是零同态。是零同态。当当N Nee时，时，kerkergee。 根据定理根据定理11.17,g11.17,g是单同态是单同态, ,也是同构。也是同构。这时这时G/NG/Na|aGa|aG，且，且 aGaG有有 g(a
128、)g(a)aa。 q 111例例11.2911.29例例11.2911.29 设设G G1 1，G G2 2是群，是群，e e1 1和和e e2 2分别为分别为G G1 1和和G G2 2的单位元。令的单位元。令 ：G G1 1GG2 2GG1 1， ()()a a， GG1 1GG2 2则则 是直积是直积G G1 1GG2 2到到G G1 1的同态。的同态。因为对任意的因为对任意的，GG1 1GG2 2 有有 ()() ()acac ()() ()()易见易见 是满同态，是满同态，且对任意的且对任意的GG1 1GG2 2kerker ()()e e1 1 a ae e1 1所以得所以得ker
129、ker ee1 1GG2 2由定理由定理11.1711.17知，知，ee1 1GG2 2是是G G1 1GG2 2的正规子群。的正规子群。当当G G2 2是平凡群是平凡群ee2 2 时，时， kerker e，这时这时 为同构。为同构。q 112同同态基本定理基本定理定理定理11.18 11.18 设设G G是群，是群，N N是是G G的正规子群，则的正规子群，则G/NG/N是是G G的同态像。的同态像。反之，若反之，若G G是是G G在在 下的同态像，则下的同态像，则G/G/kerker G G。证明证明 由例由例11.2811.28知，自然同知，自然同态态g g是是G G到到G/NG/N的
130、的满同态。满同态。反之，设反之，设 是是G G到到G G的满同态，的满同态，kerker K K。对任意对任意KaG/kerKaG/ker ，令令f(Ka)f(Ka) (a)(a)，则可以证明则可以证明f f是是G/G/kerker 到到G G的同构。的同构。首先，由首先，由定理定理11.911.9和和K Kkerker 的定义知的定义知KaKaKbKb ab ab-1-1KK (ab(ab-1-1) )e e (a)(a) (b)(b)-1-1e e (a)(a) (b)(b) f(Ka) f(Ka)f(Kb)f(Kb)这证明了这证明了f f是是G/G/kerker 到到G G的单射。的单射
131、。q 113定理定理11.1811.18任取任取cGcG, , 由于由于 是满同态，是满同态，存在存在aGaG使得使得 (a)(a)c c。于是于是f(Ka)f(Ka) (a)(a)c c，即即f f是满射。是满射。对于任意的对于任意的 Ka,KbG/kerKa,KbG/ker ，都有都有f(KaKbf(KaKb) ) f(Kabf(Kab) ) ( (abab) ) (a)(a) (b)(b) f(Ka)f(Kb)f(Ka)f(Kb)所以所以f f是是G/G/kerker 到到GG的同态。的同态。综合上述有综合上述有G/G/kerker G Gq 114例例11.3011.30例例11.30
132、11.30 设设G G1 1和和G G2 2分别分别为为m,nm,n阶群，则阶群，则G G1 1G G2 2的充要条的充要条件是件是m m为为n n的倍数。的倍数。证明：证明： 必要性必要性。若若G G1 1G G2 2，由同态基本定理由同态基本定理知知G G2 2同构于同构于G G1 1的某个的某个商商群群G G1 1/ker/ker ，于是于是n n|G|G2 2| |G|G1 1/ker/ker | |GG1 1:ker:ker |G|G1 1|/|ker|/|ker | |m/|kerm/|ker | |即即m m是是n n的倍数。的倍数。q 115例例11.3011.30充分性充分性
133、。由。由G G1 1，G G2 2， a ai iGG1 1，令令 ( (a ai i)=b)=bi i，则则a ai ia aj j a aj jiie e m|(j-i)m|(j-i)由于由于m m是是n n的倍数，有的倍数，有n|(j-i)n|(j-i)，即即 b bj-ij-i=e=e, ,于是于是b bi ib bj j。这就证明了这就证明了 是是G G1 1到到G G2 2的映射。的映射。易见是满射。易见是满射。下面证明是同态。下面证明是同态。 a ai i,a,aj jGG1 1 有有 ( (a ai ia aj j) ) ( (a ai i+ +j j) )b bi+ji+jb
134、 bi ib bj j ( (a ai i) ) (a(aj j) )综合上述综合上述,G,G1 1G G2 2。q 116例例11.3111.31例例11.3111.31 G G是群，是群，H H和和K K是是G G的正规子群且的正规子群且H H K K，证明证明 G/KG/K(G/H)(K/H)(G/H)(K/H)。证明证明 定义定义 : :G/HG/H G/K G/K， (Ha)(Ha)KaKa， HaG/HHaG/H，则则HaHaHbHb abab-1-1HH abab-1-1KK K Ka aKbKb所以所以 是良定义的。是良定义的。易见易见 是满射且是满射且 Ha,HbGHa,Hb
135、G/H/H有有 ( (HaHbHaHb) ) ( (HabHab) ) KabKab KaKbKaKb ( (Ha)Ha) (Hb(Hb) )于是于是 是满同态且是满同态且 kerker K/HK/H。根据同态基本定理，根据同态基本定理， G/KG/K(G/H)(K/H)(G/H)(K/H)。q 117本本节主要内容及学主要内容及学习要求要求q主要内容主要内容群同态映射的定义与典型同态映射的实例。群同态映射的定义与典型同态映射的实例。特殊同态的分类（单同态、满同态、同构、自同态）。特殊同态的分类（单同态、满同态、同构、自同态）。同态核与同态像同态核与同态像同同态态映映射射的的性性质质：同同态态
136、映映射射保保持持元元素素及及子子群群的的对对应应性性，同同态态核的性质，同态基本定理。核的性质，同态基本定理。q学习要求学习要求给给定定群群G G1 1，G G2 2和和映映射射，能能够够判判别别或或证证明明是是否否为为G G1 1到到G G2 2的的同同态态映射映射 能够判别特殊同态的类型：满同态、单同态、同构能够判别特殊同态的类型：满同态、单同态、同构掌握一些典型的群同态掌握一些典型的群同态了解群同态映射的性质了解群同态映射的性质会应用群同态的性质证明群中的有关命题会应用群同态的性质证明群中的有关命题q 11811.7 11.7 循环群与置换群循环群与置换群q循环群的定义及分类循环群的定义
137、及分类q循环群的生成元循环群的生成元q群环群的子群群环群的子群q置换群（略）置换群（略）q 119循循环群的定群的定义定义定义11.1411.14 设设G G是群，若存在是群，若存在aGaG使得使得G Gaak k|kZ|kZ则称则称G G是是循环群循环群( (cyclic group) )，记作记作G G，称称a a为为G G的的生成元生成元( (generator) )。举例：举例：对于任何对于任何群群G G，由，由G G中元素中元素a a生成的子群生成的子群是循环群。是循环群。任何素数阶的群都是循环群任何素数阶的群都是循环群。q 120循循环群的分群的分类根据循根据循环群群G G根据生成
138、元根据生成元a a的的阶可以分成两可以分成两类：n n阶循循环群群和和无限循无限循环群群。（1 1） 若若a a是是n n阶元，元，则G Gaa0 0e,ae,a1 1,a,a2 2,a,an-1n-1 那么那么|G|G|n n，称，称G G为n n阶循循环群群。（2 2） 若若a a是无限是无限阶元元, ,则G Gaa0 0e,ae,a11,a,a22,这时称称G G为无限循无限循环群群。例如：例如：整数加群整数加群是无限循是无限循环群，它的生成元是群，它的生成元是1 1和和-1-1。模模6 6整数加群整数加群Z 是是6 6阶循循环群，它的生成元是群，它的生成元是1 1和和5 5。q 121
139、循环群的生成元求法循环群的生成元求法定理定理11.19 11.19 设设G G是循环群。是循环群。(1)(1)若若G G是无限循环群，则是无限循环群，则G G只有两个生成元，即只有两个生成元，即a a和和a a-1-1。(2)(2)若若G G是是n n阶循环群，则阶循环群，则G G含有含有 (n)(n)个生成元。个生成元。 对于任何小于等于对于任何小于等于n n且与且与n n互质的正整数互质的正整数r r，a ar r是是G G的生成元。的生成元。 (n)(n)：欧拉函数。对于任何正整数欧拉函数。对于任何正整数n n， (n)(n)是小于等于是小于等于n n且与且与n n互质的正整数个数。互质
140、的正整数个数。例如：例如：n n1212，小于或等于小于或等于1212且与且与1212互质的数互质的数有有4 4个个：1,5,7,111,5,7,11，所以，所以 (12)(12)4 4。q 122定理定理11.1911.19证明：证明：（1 1）显然）显然a G G。为证明为证明 G G a ，只需证明对任何只需证明对任何a ak kGG，a ak k都可以表成都可以表成a a-1-1的幂。的幂。由元素幂运算规则有由元素幂运算规则有 a ak k(a(a-1-1) )-k-k从而得到从而得到 G Ga ，a a-1-1是是G G的生成元。的生成元。再证明再证明G G只有只有a a和和a a-
141、1-1这两个生成元。这两个生成元。假设假设b b也是也是G G的生成元，则的生成元，则G G。由由aGaG可知，存在整数可知，存在整数t t使得使得 a ab bt t。由由bGbG可知，存在整数可知，存在整数m m使得使得 b ba am m。从而得到从而得到a ab bt t(a(am m) )t ta amtmt由由G G中的消去律得中的消去律得 a amt-1mt-1e e，因为因为G G是无限群，必有是无限群，必有mt-1=0mt-1=0。从而证明了从而证明了m mt t1 1或或m mt t-1-1，即，即b ba a或或b ba a-1-1。q 123定理定理11.1911.19
142、(2) (2) 只需证明：只需证明：对任何正整数对任何正整数r r（rnrn），），a ar r是是G G的生成元当且的生成元当且仅当仅当n n与与r r互质。互质。充分性。充分性。设设r r与与n n互质，且互质，且rnrn， 那么存在整数那么存在整数u u和和v v使得使得urur + + vnvn1 1由元素幂运算规则和拉格朗日定理的推论由元素幂运算规则和拉格朗日定理的推论1 1有有a a a aur+vnur+vn ( (a ar r) )u u(a(an n) )v v ( (a ar r) )u u ( (a ar r) )u u(e)(e)v v这就推出这就推出 a ak kGG
143、， a ak k( (a ar r) )ukuk ， 即即 G G 。另外，显然有另外，显然有 G G。从而从而G G 。所以所以a ar r是是G G的生成元。的生成元。必要性。必要性。 设设a ar r是是G G的生成元，则的生成元，则| |a ar r| |n n。令令r r与与n n的最大公约数为的最大公约数为d d， 则存在正整数则存在正整数t t使得使得r rdtdt。( (a ar r) )n/dn/d( (a adtdt) )n/dn/d(a(an n) )t te e根据定理根据定理11.411.4知知| |a ar r| |是是n/dn/d的因子，即的因子，即n n整除整除
144、n/dn/d。从而证明了从而证明了d d1 1。q 124例例11.3211.32(1)(1)设设G Ge,a,ae,a,a1111 是是1212阶循环群，则阶循环群，则 (12)(12)4 4。 小于或等于小于或等于1212且与且与1212互质的数是互质的数是1,5,7,111,5,7,11， 由定理由定理11.1911.19可知，可知，a,aa,a5 5,a,a7 7和和a a1111是是G G的生成元。的生成元。(2)(2)设设G GZ,是模是模9 9的整数加群，则的整数加群，则 (9)(9)6 6。 小于或等于小于或等于9 9且与且与9 9互质的数互质的数是是1,2,4,5,7,81,
145、2,4,5,7,8， 根据定理根据定理11.1911.19，G G的生成元是的生成元是1,2,4,5,71,2,4,5,7和和8 8。(3)(3)设设G G3Z3Z3z|zZ3z|zZ，G G上的运算是普通加法。上的运算是普通加法。 那么那么G G只有两个生成元：只有两个生成元：3 3和和-3-3。q 125循环群的子群求法循环群的子群求法定理定理11.2011.20(1) (1) 设设G G是循环群，则是循环群，则G G的子群仍是循环群。的子群仍是循环群。(2) (2) 若若G G是无限循环群，则是无限循环群，则G G的子群除的子群除ee以外都是无以外都是无限循环群。限循环群。(3) (3)
146、 若若G G是是n n阶循环群，则对阶循环群，则对n n的每个正因子的每个正因子d d，G G恰好恰好含有一个含有一个d d阶子群。阶子群。q 126定理定理11.20(1)11.20(1)的证明的证明(1) (1) 设设G G是循环群，则是循环群，则G G的子群仍是循环群。的子群仍是循环群。设设H H是是G G的子群，的子群，若若H He,e,显然显然H H是循环群；是循环群；否则取否则取H H中的最小正方幂元中的最小正方幂元a am m，下面证明下面证明a am m是是H H的生成元。的生成元。易见易见a H H。 为证明为证明H H a ，只需证明只需证明H H中的任何元素都可以表成中的
147、任何元素都可以表成a am m的整数次幂。的整数次幂。任取任取a al lHH，由除法可知存在整数由除法可知存在整数q q和和r r，使得使得l lqm+rqm+r，其中其中 0rm-10rm-1因此有因此有a ar r a al-l-qmqm a al l(a(am m) )-q-q由由a al l,a,am mHH且且H H是是G G的子群可知的子群可知a ar rHH，因为因为a am m是是H H中最小正方幂元，必有中最小正方幂元，必有r r0 0。这就推出这就推出 a al l(a(am m) )q qa 。q 127定理定理11.20(2)11.20(2)的证明的证明(2) (2)
148、 若若G G是无限循环群，则是无限循环群，则G G的子群除的子群除ee以外都是无限以外都是无限循环群。循环群。设设H H是是G G的子群。的子群。 若若HeHe，根据上面的证明可知根据上面的证明可知H Ha ，其中其中a am m为为H H中最小正方幂元。中最小正方幂元。假若假若|H|H|t t， 则则|a|am m| |t t， 从而得到从而得到a amtmte e。这与这与a a为无限阶元矛盾。为无限阶元矛盾。q 128定理定理11.20(3)11.20(3)的证明的证明(3) (3) 若若G G是是n n阶循环群，则对阶循环群，则对n n的每个正因子的每个正因子d d，G G恰好含恰好含
149、有一个有一个d d阶子群。阶子群。设设G G是是n n阶循环群，则阶循环群，则 G Gaa0 0e,ae,a1 1,a,an-1n-1 根据拉格朗日定理，根据拉格朗日定理，G G的每个子群的阶都是的每个子群的阶都是n n的因子。的因子。下面证明对于下面证明对于n n的每个正因子的每个正因子d d都存在一个都存在一个d d阶子群。阶子群。易易见见H Ha 是是G G的的d d阶子群。阶子群。假设假设H H1 1a 也是也是G G的的d d阶子群，其中阶子群，其中a am m为为H H1 1中的最小正方幂元。中的最小正方幂元。则由则由 (a(am m) )d de e 可知可知n n整除整除mdm
150、d， 即即n/dn/d整除整除m m。令令m mn/dln/dl，l l是整数，则有是整数，则有a am ma an/dln/dl(a(an/dn/d) )l lHH这就推出这就推出H H1 1 H H。 又由于又由于|H|H1 1| |H|H|d d，得，得H H1 1H H。q 129定理定理11.2011.20说明说明q根据这个定理的证明不难得到求循环群的所有子群的方法。根据这个定理的证明不难得到求循环群的所有子群的方法。q如果如果G G是无限循环群，那么是无限循环群，那么a 是是G G的子群，其中的子群，其中m m是自然是自然数，并且容易证明对于不同的自然数数，并且容易证明对于不同的自
151、然数m m和和t t，a 和和a 是不同是不同的子群。的子群。q如果如果G G是是n n阶循环群，先求出阶循环群，先求出n n的所有的正因子。对于每个的所有的正因子。对于每个正因子正因子d d，H Ha 是是G G的唯一的的唯一的d d阶子群。阶子群。q 130定理定理11.2011.20例例(1)(1)G G是无限循环群，其生成元是无限循环群，其生成元为为1 1和和-1-1。对于自然数对于自然数m mN N，1 1的的m m次幂次幂是是m m，m m生成的子群是生成的子群是mZmZ，m mN N。即即000Z0Zmz|zmz|zZZmZmZ，m0m0(2)(2)G GZ Z1212是是121
152、2阶循环群。阶循环群。1212的正因子是的正因子是1,2,3,4,61,2,3,4,6和和1212， 因此因此G G的子群是：的子群是：1 1阶子群阶子群 002 2阶子群阶子群 0,60,63 3阶子群阶子群0,4,80,4,84 4阶子群阶子群0,3,6,90,3,6,96 6阶子群阶子群0,2,4,6,8,100,2,4,6,8,10 1212阶子群阶子群Z Z1212 q 131例例11.3311.33(1)(1)设设G G1 1a e,ae,a22,a,a44,是无限循环群是无限循环群, ,则则G G1 1的子群是：的子群是： ee，a e,ae,a2m2m,a,a4m4m,，m m
153、是正整数。是正整数。(2)(2)设设G G2 2a 是是9 9阶循环群，则阶循环群，则G G2 2e,ae,a2 2,a,a4 4,a,a1616 那么那么G G2 2的子群是：的子群是：1 1阶子群阶子群ee3 3阶子群阶子群(a aa6 6,a,a1212,e,e9 9阶子群阶子群a G G2 2q 132n n元置换及其表示元置换及其表示 定义定义11.1511.15 设设S S1,2,n1,2,n，S S上的任何双射函数上的任何双射函数：SSSS称为称为S S上的上的n n元置换元置换。一般将一般将n n元置换元置换记为记为例如：例如：S S1,2,3,4,51,2,3,4,5，则则都
154、是都是5 5元置换。元置换。q 133n n元置换的乘法元置换的乘法定义定义11.1611.16 设设, ,是是n n元置换元置换，则，则和和的复合的复合 也也是是n n元置换，称为元置换，称为与与的的乘积乘积，记作，记作。例如上面例如上面的的5 5元置换元置换和和有有q 1343 3n n元置换的分解式元置换的分解式(1)k阶轮换与轮换分解方法阶轮换与轮换分解方法定义定义11.17设设是是S=1,2,n上的上的n元置换。若元置换。若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik-1)=ik,(ik)=i1且保持且保持S中的其他元素不变中的其他元素不变,则称则称为为S上的上的k阶轮换阶轮换,记记作作(
155、i1i2ik). 若若k=2,这是也称这是也称为为S上的上的对换对换。q 1353 3n n元置换的分解式元置换的分解式q例如例如5元置换元置换qq分别是分别是4阶和阶和2阶轮换阶轮换=（1234）,=（13），），其中其中也叫做对换。也叫做对换。设设S=1,2,n,对于任何对于任何S上的上的n元置换元置换一定存在着一个有限序列一定存在着一个有限序列i1,i2,ik,k1,使得使得(i1)=i2,(i2)=i3,(ik-1)=ik,(ik)=i1q 1363 3n n元置换的分解式元置换的分解式q令令1=（i1i2ik）。）。它是从它是从中分解出来的第一个轮换。中分解出来的第一个轮换。q根据函
156、数的复合定义根据函数的复合定义可将可将写作写作1,其中其中作用于作用于S-i1,i2,ik上的元素。上的元素。q继续对继续对进行类似的分解。由于进行类似的分解。由于S中只有中只有n个元素个元素,经过有经过有限步以后限步以后,必得到必得到的轮换分解式的轮换分解式=12tq在上述分解始终任何两个轮换都作用于不同的元素上，称在上述分解始终任何两个轮换都作用于不同的元素上，称他们是他们是不交的不交的。即。即q任何任何n元置换都可以表示成不交的轮换之积。元置换都可以表示成不交的轮换之积。q 1373 3n n元置换的分解式元置换的分解式q例例11.34设设S=1,2,8,q是是8元置换。元置换。 q 1
157、38例例11.3411.34q先考虑先考虑的分解式。观察到的分解式。观察到(1)=5,(5)=2,(2)=3,(3)=6,(6)=1所以所以从从中分解出来的第一个轮换中分解出来的第一个轮换式式(15236),qS中剩下的元素中剩下的元素是是4,7,8.由由(4)=4得到得到1阶轮换阶轮换(4),它是从它是从中分解出来的第二个轮换。中分解出来的第二个轮换。q对于剩下的元素对于剩下的元素7和和8有有(7)=8,(8)=7.这样就得到第三个这样就得到第三个轮换。轮换。q到此为止到此为止,S中的元素都被分解完毕。因此可以写出中的元素都被分解完毕。因此可以写出的轮的轮换表示式换表示式=(15236)(4
158、)(78)用同样的方法可以得到用同样的方法可以得到的分解式的分解式=(18342)(567)q 139例例11.3411.34q为了使得轮换表达式更为简洁为了使得轮换表达式更为简洁,通常省略其中的通常省略其中的1阶轮换阶轮换,例例如如可以写作可以写作(15236)(78),如果如果n元置换的轮换表示全部元置换的轮换表示全部是是1阶轮换。阶轮换。q例如例如8元恒等置换元恒等置换(1)(2)(8),那么只能省略其中的那么只能省略其中的7个个1阶轮换阶轮换,可将它简记为可将它简记为(1)。q 140(2) (2) 轮换分解式的特征轮换分解式的特征q轮换分解式的特征：轮换的不交性、分解的唯一性轮换分解
159、式的特征：轮换的不交性、分解的唯一性q不难看不难看出出,在上述分解式中任何两个轮换都作用于不同的元在上述分解式中任何两个轮换都作用于不同的元素素上上,我们称它们是我们称它们是不交的不交的。因此。因此,可以说任何可以说任何n元置换都元置换都可以表示成不交的轮换之积。可以表示成不交的轮换之积。q 141(2) (2) 轮换分解式的特征轮换分解式的特征q进一步可以证明将进一步可以证明将n元置换分解为不交的轮换之积时元置换分解为不交的轮换之积时,它它的表示式是唯一的。的表示式是唯一的。q这里的唯一性是说：若这里的唯一性是说：若=12t和和=12s是是的两个轮换表示式的两个轮换表示式,则有则有1,2,t
160、=1,2,sq换句话说换句话说,由于分解式中的任意两个轮换都作用于由于分解式中的任意两个轮换都作用于S的不的不同元素同元素上上,根据函数复合的性质可以证明根据函数复合的性质可以证明,交换轮换的次交换轮换的次序以后得到的仍是相等的序以后得到的仍是相等的n元置换。因此在不考虑表示式元置换。因此在不考虑表示式中轮换的次序的情况中轮换的次序的情况下下,该表示式是唯一的。该表示式是唯一的。q 142(3) (3) 对换与对换分解方法对换与对换分解方法q设设S=1,2,S=1,2,n,=(i,n,=(i1i i2i ik) )是是S S上的上的k k阶轮换阶轮换, ,那么那么可以进一步表成对换之积可以进一
161、步表成对换之积, ,即即(i(i1i i2i ik)=(i)=(i1i i2)(i)(i1i i3) )(i(i1i ik) )q回顾关于回顾关于n n元置换的轮换表示元置换的轮换表示, ,任何任何n n元置换都可以唯一元置换都可以唯一地表示成不相交的轮换之地表示成不相交的轮换之积积, ,而任何轮换又可以进一步而任何轮换又可以进一步表示成对换之表示成对换之积积, ,所以任何所以任何n n元置换都可以表成对换之积。元置换都可以表成对换之积。 q 143(3) (3) 对换与对换分解方法对换与对换分解方法q例如例如8 8元置换元置换q的对换表示式分别为的对换表示式分别为=(1 5 2 3 6)(7
162、 8)=(1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8)=(1 5 2 3 6)(7 8)=(1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8)=(1 8 3 4 2)(5 6 7)=(1 8)(1 3)(1 4)(1 2)(5 6)(5 7)=(1 8 3 4 2)(5 6 7)=(1 8)(1 3)(1 4)(1 2)(5 6)(5 7)q 144(4) (4) 对换分解式的特征对换分解式的特征q在对换分解式中对换之间可以有交在对换分解式中对换之间可以有交, ,分解式也不唯一。例如分解式也不唯一。例如4 4元置换元置换 q可以有下面不同的对换表示：可以有下面不同的对换表示： =(1 2)(
163、1 3)=(1 2)(1 3)， =(1 4)(2 4)(3 4)(1 4) =(1 4)(2 4)(3 4)(1 4)q尽管尽管n n元置换的对换表示式是不唯一的元置换的对换表示式是不唯一的, ,但可以证明表示式中所含对换但可以证明表示式中所含对换个数的奇偶性是不变的。例如上面的个数的奇偶性是不变的。例如上面的4 4元置换元置换只能表示成偶数个对只能表示成偶数个对换之积换之积, ,而而4 4元置换元置换=（1 2 3 41 2 3 4）只能表示成奇数个对换之积。如果只能表示成奇数个对换之积。如果n n元置换元置换可以表示成奇数个对换之积可以表示成奇数个对换之积, ,则称则称为为奇置换奇置换,
164、 ,否则称为否则称为偶偶置换置换, ,不难证明奇置换和偶置换各有不难证明奇置换和偶置换各有n!|2n!|2个。个。q 145五五n n元置换群及其实例元置换群及其实例q考虑所有的考虑所有的n元置换构成的集合元置换构成的集合Sn.q任何两个任何两个n元置换之积仍旧是元置换之积仍旧是n元置换元置换,Sn关于置换的乘法关于置换的乘法是封闭的。是封闭的。q置换的乘法满足结合律。置换的乘法满足结合律。q恒等置换恒等置换(1)是是Sn中的单位元。中的单位元。q对于任何对于任何n元置换元置换Sn,逆置换逆置换-1是是的逆元。的逆元。q这就证明了这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群关于置换的乘法构成一个群,
165、称为称为n元对称元对称群群。q 146例例11.3511.35q设设S=1,2,3,S=1,2,3,则则3 3元对称群元对称群 S S3 3=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)其运算表如表其运算表如表11.511.5所示。所示。表表11.511.5(1) (12) (13) (23) (123) (132) (1) (12) (13) (23) (123) (132) (1)(1)(12)(12)(13)(13)(23)(23)(123)(123)(132)(132)(1) (1
166、2) (13) (23) (123) (132)(1) (12) (13) (23) (123) (132)(12) (1) (123) (132) (13) (23)(12) (1) (123) (132) (13) (23)(13) (132) (1) (123) (23) (12)(13) (132) (1) (123) (23) (12)(23) (123) (132) (1) (12) (13)(23) (123) (132) (1) (12) (13)(123) (23) (12) (13) (132) (1)(123) (23) (12) (13) (132) (1)(132)
167、(13) (23) (12) (1) (123)(132) (13) (23) (12) (1) (123)q 147例例11.3511.35q在讨论陪集的时候我们曾经给出了一个在讨论陪集的时候我们曾经给出了一个6元群的例子（见元群的例子（见例例11.15）,其中其中G=f1,f2,f6是是1,2,3上的上的6个双射个双射函数的集合。双射函数就是置换。根据函数的集合。双射函数就是置换。根据3元置换的轮换表元置换的轮换表示示,可以把可以把f1,f2,f6表为表为f1=(1),f2=(12),f3=(13),f4=(23),f5=(123),f6=(132)实际上实际上G就是就是S3。S3是最小的
168、非交换群。是最小的非交换群。q 148Sn的子群的子群q下面考虑下面考虑Sn的子群。设的子群。设An是所有的是所有的n元偶置换的集合。可元偶置换的集合。可以证明以证明An是是Sn的子群的子群,称为称为n元交错群元交错群。q首先首先,恒等置换（恒等置换（1）是偶置换）是偶置换,所以所以An非空。任取非空。任取,An,都可以表成偶数个对换之积都可以表成偶数个对换之积,那么那么也可以表成偶数个对换之积也可以表成偶数个对换之积,所以所以An。q任取任取An,若若可以表成可以表成12t,其中其中1,2,t是对换是对换,t是偶数。是偶数。q那么那么-1=t-1t-1-12-11-1=tt-121也是偶置换
169、。根据子群判定定理一也是偶置换。根据子群判定定理一,An是是Sn的子群。的子群。q 149Sn的子群的子群q例如例如S3=(1),(12),(13),(23),(123),(132),其中的偶置其中的偶置换是换是(1),(123)和和(132)。q因此因此3元交错群元交错群A3=(1),(123),(132)。对于对于Sn来说来说,它的所有子群都叫做它的所有子群都叫做n元置换群元置换群,n元对元对称群称群Sn,n元交错群元交错群An都是都是n元置换群的特例。元置换群的特例。q以以S3为例为例,除了除了S3和和A3以外以外,它的其他子群是：它的其他子群是：2阶子群：阶子群：(1),(12)，(1
170、),(13)，(1),(23)1阶子群：阶子群：(1)这三个这三个2阶子群都不是正规子群。阶子群都不是正规子群。q两个平凡子群和两个平凡子群和A3是正规子群。是正规子群。 q 150主要内容主要内容q循环群的定义及分类（无限循环群与有限循环群）循环群的定义及分类（无限循环群与有限循环群）q无无限限循循环环群群G=G=只只有有两两个个生生成成元元a a和和a a-1-1；n n阶阶循循环环群群有有(n)(n)个生成元个生成元q无无限限循循环环群群G=G=有有无无数数个个子子群群，对对于于任任何何自自然然数数m m，a 都都是是G G的的子子群群；n n阶阶循循环环群群恰恰有有d d个个子子群群，
171、其其中中d d是是n n的的正正因因子子个数个数qn n元置换的不同表法之间的转换，置换乘法及求逆元置换的不同表法之间的转换，置换乘法及求逆qn n元对称群及其子群元对称群及其子群-n-n元交错群元交错群q 151学习要求学习要求q判判断断群群G G是是否否为为循循环环群群。如如果果是是，是是有有限限还还是是无无限限循循环环群群。q求给定循环群的所有生成元。求给定循环群的所有生成元。q求给定循环群的所有子群。求给定循环群的所有子群。q用用三三种种方方法法表表示示n n元元置置换换：置置换换表表示示、轮轮换换表表示示、对对换换表表示。示。q会求会求n n元置换的乘积和逆。元置换的乘积和逆。q了解
172、了解n n元置换群的概念。元置换群的概念。q 152习题十一习题十一8 8，1010，1111，1212，1717，1818，1919，2626，3030，3131，3232作业作业作业作业q 153例题例题0 00 060600 01201200 01801800 02402400 03003000 00 00 00 00 060600 01201200 01801800 02402400 03003000 060600 060600 01201200 01801800 02402400 03003000 00 00 01201200 01201200 01801800 02402400 0
173、3003000 00 00 060600 01801800 01801800 02402400 03003000 00 00 060600 01201200 02402400 02402400 03003000 00 00 060600 01201200 01801800 03003000 03003000 00 00 060600 01201200 01801800 02402400 0设设R=0R=00 0,60,600 0,120,1200 0,180,1800 0,240,2400 0 ,300,3000 0 表示在平面上几何图形表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种绕形心顺时
174、针旋转角度的六种可能情况，设可能情况，设是是R R上的二元上的二元运算，对于运算，对于R R中任意两个元素中任意两个元素a a和和b b，abab表示平面图形连续表示平面图形连续旋转旋转a a和和b b得到的总旋转角度。得到的总旋转角度。并规定旋转并规定旋转3603600 0等于原来的状等于原来的状态，就看作没有经过旋转。验态，就看作没有经过旋转。验证证R 是一个群。是一个群。 群群0,的子群为的子群为0,和和0,，当已旋转当已旋转60600 0时，若再旋转时，若再旋转0 00 0,120,1200 0, 240, 2400 0，我们希望知道所有可，我们希望知道所有可能旋转的角度。能旋转的角度。
