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1、金融时间序列模型金融时间序列模型潘红宇潘红宇编著编著ISBN：978-7-81134-287-1定价：定价：33.00 2008年年11月第月第1版版金融时间序列模型第一章 收益率收益率收益率问题：如果某投资顾问向你介绍两种股票，问题：如果某投资顾问向你介绍两种股票，资产资产A收益率收益率10，资产，资产B收益率收益率15。根据这句话，你能决定购买哪支股票吗根据这句话，你能决定购买哪支股票吗？收益率收益率关于收益率的两个特点：关于收益率的两个特点：1）收益率的计算与时间长度有关，如果不）收益率的计算与时间长度有关，如果不特别指明时间长度，则表示是年收益率。特别指明时间长度，则表示是年收益率。2
2、）收益率的大小与风险联系在一起。收）收益率的大小与风险联系在一起。收益率大的资产风险也大。益率大的资产风险也大。计算周期收益率n表1是finance.yahoo得到的关于股票价格的数据。关于股票的原始数据是价格，因此需要根据价格来计算收益率。下面介绍几种计算收益率的情况。n表表1 ：股股票票价价格格数数据据n续续前前页页计算收益率n用pt表示t时刻的价格n用Rt表示从t-1到t时刻的收益率n div表示红利n n for 1,表示把1股股票拆分成n股股票周期简单收益率的计算n基本计算方法n带分红时的计算方法（如果支付红利的话，价格pt是支付红利后的价格。）n拆分股票时的计算方法nCH1-ret
3、urndivsplit.exl有数据演示周期对数收益率n对数收益率n支付红利或拆股的资产的对数收益率收益率年度化收益率年度化例例1：假设某资产，每半年支付一次利息，：假设某资产，每半年支付一次利息，以半年为周期的收益率是以半年为周期的收益率是5。如果现在。如果现在投资投资1元，这个资产的年收益率是多少？元，这个资产的年收益率是多少？收益率年度化收益率年度化使用例使用例1的数据计算得到：的数据计算得到：n简单收益率，用简单收益率，用R表示表示：简单收益率简单收益率R2510n复利收益率（又称有效收益率，实际收益率），复利收益率（又称有效收益率，实际收益率），用用Re表示：表示：复利收益率复利收益
4、率Re（10.05）21）/1=（1.1025-1)/1=10.25%n对数收益率（连续复利收益率），用对数收益率（连续复利收益率），用Rc表示：表示：Rc=LN(1+Re)=9.758%如何理解连续复利收益率如何理解连续复利收益率n投资投资A元，投资时间元，投资时间n年，年简单收益率年，年简单收益率R（用小数表示），利息仍然计算利息，用小数表示），利息仍然计算利息，那么那么n年后的收入年后的收入FVn：n如果每年支付一次利息如果每年支付一次利息n如果每年支付如果每年支付m次利息次利息n如果如果m趋于无穷趋于无穷如何理解连续复利收益率如何理解连续复利收益率例例2：假设简单收益率：假设简单收益率
5、10，一年支付，一年支付m次利息，那么一年后的收入。次利息，那么一年后的收入。m=1110m=4110.38m=52110.51m=365110.5155m无穷大无穷大110.5171如何理解连续复利收益率如何理解连续复利收益率n投资等价概念：两个投资活动是等价的如果两项投资初始投资相同，期末收入相同。期末收入的计算按照复利方式计算。如何理解连续复利收益率如何理解连续复利收益率n连续复利收益率：以该利率连续支付利连续复利收益率：以该利率连续支付利息得到的收入与一年支付息得到的收入与一年支付m次利息的收次利息的收入相等入相等年收益率计算公式总结：年收益率计算公式总结：n简单收益率简单收益率Rm周
6、期收益率周期收益率n复利收益率（有效收益率）复利收益率（有效收益率）n连续复利收益率连续复利收益率多周期收益率多周期收益率问题：某投资者投资问题：某投资者投资3年，每半年得到一次年，每半年得到一次利率分别是利率分别是452726。另外一个投资者投资另外一个投资者投资1年，每季度得到一年，每季度得到一次利息，利率分别是次利息，利率分别是5743，请问哪个投资收益率更高呢？请问哪个投资收益率更高呢？多周期收益率多周期收益率周期周期1周期周期2周期周期3R1R2R3时刻时刻0时刻时刻1时刻时刻2时刻时刻3P0P1P2P3比较不同投资活动n以利息支付为一个周期，如果不同周期收益率不同首先计算出平均的周
7、期收益率？计算方法是计算几何平均。然后再按照前面的方法，把平均周期收益率年度化。n如何理解平均周期收益率？按照平均收益率每个周期得到利息，投资收入与原投资相同。比较不同的投资活动比较不同的投资活动n例例3：假设：假设P0=1,P1=0.7,P2=1,如果初如果初始投资始投资100，n两个周期后的收入？两个周期后的收入？n每个周期的收益率？每个周期的收益率？n平均周期收益率？平均周期收益率？每个周期收益率每个周期收益率R1=-0.3,R2=0.42857比较不同的投资活动比较不同的投资活动n算术平均算术平均(R1+R2)/2=6.4285%按照该平均收益率计算两个周期后的收入按照该平均收益率计算
8、两个周期后的收入（1+6.4285%)2*100100n几何平均：几何平均：按照该平均收益率计算两个周期后的收入按照该平均收益率计算两个周期后的收入1100100比较不同的投资活动比较不同的投资活动例4：比较两项投资活动n投资1：100元投资2年期债券，半年支付一次利息，利息5，一至持有到期。n投资2：投资债券，半年重新买卖一次，直到2年期末，投资价格为100,110,104.5,112.86,118.503比较不同的投资活动比较不同的投资活动例5：比较下面两个投资活动那个收益率高。n投资1：每3个月一个周期，包括四个周期，收益率分别是5 4 8 2。n投资2：每6个月一个周期，包括两个周期，
9、收益率分别是10 9。为什么计算几何平均为什么计算几何平均n对于一项多周期的投资每个周期收益率对于一项多周期的投资每个周期收益率不同该投资等价于另外一个相同时间长不同该投资等价于另外一个相同时间长度的投资，单新投资每个单周期收益率度的投资，单新投资每个单周期收益率相等，那么这个收益率就是前一个投资相等，那么这个收益率就是前一个投资的平均单周期收益率。的平均单周期收益率。例例6：多周期收益率的计算：多周期收益率的计算时间时间 t -2 t - 1 t t + 1价格价格 200 210 206 2121 + R 1.05 .981 1.031 + R(2) 1.03 1.011 + R(3) 1
10、.061+R1.05 = 210/200.981 = 206/2101.03 = 212/206例题（接上）例题（接上）1+R(2)1.03 = 206/2001.01 = 212/2101+R(3)1.06 = 212/200请自己写出相应的对数收益率请自己写出相应的对数收益率多周期收益率多周期收益率nPt:表示表示t时刻金融资产的价格时刻金融资产的价格nRt:Rt=(Pt/Pt-1)-1简单收益率简单收益率nRt(n)=(Pt/Pt-n)-1,n周期简单收益率周期简单收益率nrt(n)=ln(1+Rt(n)nrt=ln(Pt)ln(Pt1)nrt(n)=ln(Pt)ln(Ptn)多周期收益
11、率与单周期收益率的多周期收益率与单周期收益率的关系关系根据公式容易推断出：根据公式容易推断出：1+Rt(n)=Pt/Pt-n=(Pt/Pt-1)(Pt-1/Pt-2)(Pt-n+1/Pt-n)=(1+Rt)(1+Rt-1)(1+Rt-n+1)多周期对数收益率多周期对数收益率n把前面的关系式求自然对数，下式成立：把前面的关系式求自然对数，下式成立：n几何平均收益率的优点几何平均收益率的优点多周期时，对数收益率进行简单的算术平均，得到的正多周期时，对数收益率进行简单的算术平均，得到的正好是平均的单周期的对数收益率。好是平均的单周期的对数收益率。金融时间序列模型统计基础概率统计概念回顾概率统计概念回
12、顾n什么是随机变量什么是随机变量n什么是随机变量的累积分布函数：什么是随机变量的累积分布函数：F(x)=P(Xx)n正态分布：正态分布：XN( , 2)对数正态分布对数正态分布如如 果果 某某 随随 机机 变变 量量 X取取 自自 然然 对对 数数 之之 后后 服服 从从 正正 态态 分分 布布 LN(X)=zN（ z， z2），那那么么该该随随机机变变量量X服服从从对对数数正正态态分布。记为分布。记为XLNN（ z， z2）。）。对数正态分布的均值：对数正态分布的均值：对数正态分布的形状对数正态分布的形状分布图分布图对数正态分布的计算对数正态分布的计算例例7：计算对数正态分布的概率：计算对数
13、正态分布的概率如果如果LN(X)N(0,(0.1)2)那么那么P(X0.9)的概率？的概率？P(X0.9)P(LN(X)LN(0.9)P(z0 S中位数 均值3 K3正态分布的峰度3基本的统计概念基本的统计概念n尖峰分布主要强调分布尾部的特点。尾部厚的尖峰分布主要强调分布尾部的特点。尾部厚的含义是尾部比正态分布有更大的概率。含义是尾部比正态分布有更大的概率。n用公式表示为：用公式表示为：PYpXc，c是一个是一个比较小的数。比较小的数。Y代表尖峰分布随机变量，代表尖峰分布随机变量，X代表代表正态分布随机变量。正态分布随机变量。n意义是：如果小概率事件发生的可能性大于正意义是：如果小概率事件发生
14、的可能性大于正态分布所描述的情形，那该变量的分布应用尖态分布所描述的情形，那该变量的分布应用尖峰分布来描述。峰分布来描述。基本的统计概念：描述统计基本的统计概念：描述统计样本均值样本均值Mean收益率的分布收益率的分布基本的统计概念基本的统计概念样本方差样本方差variance收益率的分布收益率的分布基本的统计概念基本的统计概念样本偏度样本偏度(Skewness)收益率的分布收益率的分布基本的统计概念基本的统计概念n样本峰度样本峰度kurtosis收益率的实证性质日收益率收益率的实证性质日收益率证券种类证券种类价值加权指数价值加权指数等权指数等权指数IBMCMC均值均值标准差标准差偏度偏度峰度
15、峰度-30.044%0.89-1.3334.920.0730.76-0.9326.030.0391.42-0.1812.480.1435.240.936.49收益率的实证性质月收益率收益率的实证性质月收益率证券种类证券种类价值加权指数价值加权指数等权指数等权指数IBMCMC均值均值标准差标准差偏度偏度峰度峰度-30.964.33-0.292.421.255.770.074.140.816.18-0.140.831.6417.761.133.33基本的统计概念基本的统计概念1）从从描描述述统统计计可可以以看看到到日日收收益益率率的的峰峰度度远远远远大大于于月月收收益益率率的的峰峰度度。在在日日收
16、收益益率率中中指数的峰度大于单个证券的峰度，指数的峰度大于单个证券的峰度，2）证证券券的的描描述述统统计计指指标标市市值值小小的的股股票票收收益益率率大大。日日收收益益率率几几乎乎等等于于0，月月收收益益率率大大一些。一些。3）指数的标准差小于单个股票的标准差。）指数的标准差小于单个股票的标准差。QQ图图1.把数据减去均值，除以标准差，然后计把数据减去均值，除以标准差，然后计算样本分位数，标在横轴上。算样本分位数，标在横轴上。2.计算标准正态分布的分位数标在纵轴上。计算标准正态分布的分位数标在纵轴上。3.如果图形是直线，说明是正态分布。如果图形是直线，说明是正态分布。尖峰分布的尖峰分布的QQ图
17、图QQ图图分位数分位数如果某个随机变量的累积概率分布函数如果某个随机变量的累积概率分布函数F（x）连续并且严格递增，那么存在逆函连续并且严格递增，那么存在逆函数数F-1。对任意在对任意在0和和1之间的数之间的数q（q q对对应某个概率）应某个概率），F-1( (q)被称为被称为与概率与概率q对对应的应的分位数。分位数。用公式表示如下：用公式表示如下： P(X F-1( (q) ) = q分位数分位数n分位数图示分位数图示样本分位数的计算样本分位数的计算对于一组观测值：对于一组观测值：X1,X2,Xn:令令Pi=(i-0.5)/nPi是一个概率值，是一个概率值，i1，n与与Pi对应的分位数是对应
18、的分位数是x(i)，是把数据从小到是把数据从小到大排列后的第大排列后的第i个数。表示成个数。表示成Q(Pi)=x(i)例题例题例例8：数据为：数据为1.13.10.94.20.7首先从小到大排列首先从小到大排列0.70.91.13.14.2与概率与概率Pi对应的分位数对应的分位数P1=(1-0.5)/5=0.1Q(0.1)=0.7P2=0.3Q(0.3)=0.9P3=0.5Q(0.5)=1.1P4=0.7Q(0.7)=3.1P5=0.9Q(0.9)=4.2分位数分位数如如何何得得到到一一个个连连续续的的曲曲线线呢呢？即即任任何何一一个个概率值对应的分位数是多少？概率值对应的分位数是多少？定义定
19、义PiP5.99）=0.05。假设步骤假设步骤2计算出的计算出的JB135.99，所以拒绝零所以拒绝零假设。假设。多个随机变量的统计概念多个随机变量的统计概念如何度量两个随机变量之间的关系？如何度量两个随机变量之间的关系？n什么是联合分布什么是联合分布FX，Y(x,y)n什么是边际分布什么是边际分布F(x)F(y)n什么是条件分布：给定一个随机变量什么是条件分布：给定一个随机变量X的取值的取值后，另外一个随机变量后，另外一个随机变量Y的分布的分布,记为：记为：F(y|X=x)n条件期望给定条件期望给定X的取值时，的取值时，Y的期望的期望n条件方差给定条件方差给定 X的取值时，的取值时，Y的方差
20、的方差条件期望的累期望法则E(Y)=EE(Y|X)中条件期望根据Y基于X的条件分布计算出来；外的期望是根据X的边际分布计算出来的。条件期望E(Y|X)是随机变量，随着X等于不同的数值，条件期望也可以不同。多个随机变量的统计概念多个随机变量的统计概念n独立独立如果如果FX，Y(x,y)FX(x)FY(y)那么这两个随机变量是相互独立的。那么这两个随机变量是相互独立的。协方差和相关系数协方差和相关系数协方差：协方差：COV(X,Y)=E(X- X)(Y- Y)相关系数：相关系数：如果如果COV(X,Y)=0，称称X与与Y不相关不相关它们衡量的是随机变量间的线性关系它们衡量的是随机变量间的线性关系几
21、个不同自相关系数图形几个不同自相关系数图形独立与不相关n如果两个随机变量相互独立则它们一定如果两个随机变量相互独立则它们一定不相关。不相关。n如果两个随机变量不相关，它们不一定如果两个随机变量不相关，它们不一定是相互独立的。是相互独立的。n证明证明X与与Y不相关不相关Y=X21，XN(0,1)多个随机变量的统计性质多个随机变量的统计性质N个随机变量的线性组合的一些性质个随机变量的线性组合的一些性质X1,X2,XN是一些随机变量，是一些随机变量，考虑它的一个线性组合考虑它的一个线性组合多个随机变量的统计性质多个随机变量的统计性质该该组合的期望组合的期望值值 方差基本的统计概念基本的统计概念用用矩
22、阵表示前面的运算，定义随机向量矩阵表示前面的运算，定义随机向量（X1,X2,XN）的协方差阵的协方差阵COV(X)基本的统计概念基本的统计概念该组合的方差用矩阵表示：该组合的方差用矩阵表示：wCOV(X)w,其中其中w是权数向量是权数向量w=(w1,w2,wn)例如有三个随机变量例如有三个随机变量X1,X2,X3，它们的方它们的方差分别为差分别为2，3，5，X1与与X2的相关系数的相关系数0.6,X1，X2与与X3独立，那么独立，那么0.3X1+0.2X2+0.5X3的方差是多少的方差是多少基本的统计概念基本的统计概念协方差阵协方差阵权数向量W=(0.3 0.2 0.5)基本的统计概念基本的统
23、计概念方差方差资产组合的收益率资产组合的收益率按简单收益率计算按简单收益率计算, ,包括三种资产的资产组合的包括三种资产的资产组合的收益率收益率资产组合的收益率资产组合的收益率n所以资产组合预期收益率和方差等于所以资产组合预期收益率和方差等于资产组合收益率资产组合收益率n方差计算公式方差计算公式n在实践当中可以随机选择资产构造资产在实践当中可以随机选择资产构造资产组合来降低资产组合的风险。组合来降低资产组合的风险。样本协方差的计算样本协方差的计算计算两个不同股票的样本协方差计算两个不同股票的样本协方差见见ch1-covariance.exl协方差相关命令协方差相关命令均值：均值：“averag
24、e”方差计算命令：方差计算命令：“var”总体方差的命令总体方差的命令“varp”协方差命令协方差命令”covar”相关系数命令相关系数命令“=correl”有效资产组合有效资产组合n可行资产组合集合可行资产组合集合n可行资产组合边界可行资产组合边界n有效资产组合集合有效资产组合集合有效资产组合有效资产组合有效资产组合有效资产组合两个资产组合两个资产组合A,B.如果有如果有E(RA) E(RB)和和var(RA) var(RB)那么资产组合那么资产组合A是有效资产组合。是有效资产组合。有效资产组合有效资产组合如何计算有效资产组合的权如何计算有效资产组合的权有效资产组合有效资产组合计算权的方法计算权的方法n首先计算出首先计算出zn然后把然后把z规范化，使得各分量和等于规范化，使得各分量和等于1
