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1、直线的方向向量和直线的方向向量和平面的法向量平面的法向量研究立体几何问题立体几何问题 OP ABPPO例例1 如图如图,在正方形在正方形ABCD-A1B1C1D1中中,M,N分别是分别是C1C、B1C1的中点的中点,求证求证:MN平面平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法法1:法法2:即即 可用可用 与与 线性表示线性表示,故故 与与 是共面向量是共面向量,MN平面平面A1BD 如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在直线垂的有向线段所在直线垂直于平面直于平面 ，则称这个向量垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记记作作 ，如果，如果 ，那么向量，那么向量 叫做平面叫做平面 的的法向量法向
2、量.二、平面的法向量二、平面的法向量(1)(1)定义定义(2)理解理解1.1.平面的法向量是平面的法向量是非零向量非零向量; ;2.2.一个平面的法向量一个平面的法向量不是唯一的不是唯一的，其所，其所有法向量都互相平行有法向量都互相平行; ;二、平面的法向量二、平面的法向量3.3.向量向量 是平面是平面 的法向量，的法向量， 若若 ，则有，则有A 给定一点给定一点A A和一个向量和一个向量 , ,那那么过点么过点A A以向量以向量 为法向量的平面为法向量的平面是完全确定的是完全确定的. .二、平面的法向量二、平面的法向量(3)(3)法向量确定平面的位置法向量确定平面的位置二、平面的法向量二、平
3、面的法向量(4)(4)求法求法 步骤：步骤：A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F例例2.2.在正方体在正方体中，中，E、F分分别是是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位正交为单位正交 基底，建立如图所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：所以所以三、用方向向量和法向量判定位置关系三、用方向向量和法向量判定位置关系三、用方向向量和法向量判定位置关系三、用方向向量和法向量判定位置关系例例1 如图如图,在正方形在正方形ABCD-A1B1C1D1中中,M,N分别是分别是C1C、B1C1的中点的中点,求证
4、求证:MN平面平面A1BDDNMABCD!B!C!A!法法3:建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.xzy设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,则可求得则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是于是 设平面设平面A1BD的法向量是的法向量是则则 得得取取x=1,得得y=-1,z=-1, 练习一1.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据根据下下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.平行平行垂直垂直平行平行练习二1.设设 分别是平面分别是平面,的的法向量法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.垂直垂直平行平行相交相交练习三1、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量的法向量为为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若若 则则 k= 。2、已知已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m= .4-5-84一、平行关系：一、平行关系：课时小结课时小结二、垂直关系：二、垂直关系：
