固体物理黄昆1.5晶体的对称性1.7晶格对称性

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1、1.5 1.5 晶体的对称性晶体的对称性晶体的宏观物理性质的对称性晶体的宏观物理性质的对称性介电常数可以表示为一个二阶张量：介电常数可以表示为一个二阶张量： 可以证明对于立方对称的晶体：可以证明对于立方对称的晶体： 对角张量对角张量 介电常数可以看成一个简单的标量。介电常数可以看成一个简单的标量。 在六角对称的晶体中，如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于在六角对称的晶体中，如果将坐标轴选取在六角轴和垂直于六角轴的平面内六角轴的平面内 介电常数有如此形式：介电常数有如此形式：对于平行六角轴的分量对于平行六角轴的分量 ：对于垂直六角轴的分量对于垂直六角轴的分量 ：正是由于六角晶体的各向异性，而具有光的

2、折射现象。而立正是由于六角晶体的各向异性，而具有光的折射现象。而立方晶体的光学性质则是各向同性的。方晶体的光学性质则是各向同性的。 原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同的宏观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？观对称性，怎样描述晶体的宏观对称性？ 一、对称性与对称操作一、对称性与对称操作对称性：对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。对称操作：对称操作： 使晶体自身重合的动作。使晶体自身重合的动作。对称操作所依赖的对称操作所依赖的几何要素。对称素：对称素：1、几何图形的对称性、几何图形的对

3、称性旋转：绕中心轴转旋转：绕中心轴转02 任意角。任意角。反射：以任意直径反射都不改变。反射：以任意直径反射都不改变。A圆圆旋转：绕中心轴转旋转：绕中心轴转 /2, /2, ,3 ,3 /2 /2。反演：以中心线、对角线作反射不变。反演：以中心线、对角线作反射不变。旋转：绕中心轴转旋转：绕中心轴转2，相当于不动。相当于不动。反演：以对边中心的连线作反射不变。反演：以对边中心的连线作反射不变。除除2 外的任何旋转都不能保持不变，外的任何旋转都不能保持不变，不存在反演不变的线。不存在反演不变的线。正方形正方形等腰梯形等腰梯形不规则四边形不规则四边形2.2.几何变换均为正交变换（保持两点距离不变）几

4、何变换均为正交变换（保持两点距离不变） 经过某一对称操作，把晶体中任一点经过某一对称操作，把晶体中任一点 变为变为 可以用线性变换来表示。可以用线性变换来表示。 操作前后，两点间的距离保持不变，操作前后，两点间的距离保持不变，Ox1 1x3 3x2 2O点和点和X点间距与点间距与O点和点和 点间距相等点间距相等。I为单位矩阵，即：为单位矩阵，即：或者说或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式为正交矩阵，其矩阵行列式 。A正交变换，正交矩阵。正交变换，正交矩阵。3、简单对称操作(旋转对称、中心反演、镜象、旋转反演对称)(1)(1)旋转对称旋转对称( (Cn, ,对称素为线对称素为线) ) 若晶体绕某一固

5、定轴转若晶体绕某一固定轴转 以及整数倍后自身重合，则以及整数倍后自身重合，则此轴称为此轴称为n次次( (度度) )旋转对称轴（旋转对称轴（ n重轴）重轴）。下面我们计算与转动对应的变换矩阵。下面我们计算与转动对应的变换矩阵。旋转对称：中心反演：镜象：镜面反射。旋转反演：旋转反演。 当当OX绕绕Ox1转动角度转动角度 时，图中时，图中若若OX在在Ox2x3平面上投影的长度为平面上投影的长度为R，则则Ox1x3x2 晶体中允许有几度旋转对称轴呢晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设设B1ABA1是晶体中某一晶面上的是晶体中某一晶面上的一个晶列，一个晶列，AB为这一晶列上相邻为这一晶列上相邻的两个格点的

6、两个格点。A1ABB1 若晶体绕通过格点若晶体绕通过格点A并垂直于纸面并垂直于纸面的的u轴逆时针转轴逆时针转 角后能自身重合，角后能自身重合，则由于晶体的周期性，通过格点则由于晶体的周期性，通过格点B也也有一转轴有一转轴u，顺时针转过顺时针转过 角。角。是是 的整数倍，的整数倍， A1ABB1处正好有格点，在同一晶面上。处正好有格点，在同一晶面上。m=-1,0,1,2,3.12346晶体中允许的旋转对称轴只能是晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。度轴。正五边形沿竖直轴每旋转正五边形沿竖直轴每旋转720恢复原恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面状，但它不能重复排列充满一个平面而

7、不出现空隙。因此晶体的旋转对称而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度度旋转对称轴旋转对称轴。(2)(2)中心反映中心反映( (i，对称素为点对称素为点) ) 取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点取中心为原点，经过中心反映后，图形中任一点变为变为(3)镜象镜象(m，对称素为面对称素为面)如以如以x3= =0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点面作为对称面，镜象是将图形的任何一点变为变为(4)(4)旋转旋转- -反演对称反演对称 若晶体绕某一固定轴转若晶体绕某一固定轴转 以后，以后，再经过中心反演, ,晶体自晶体自身重合，则此轴称为身

8、重合，则此轴称为n次(度)旋转-反演对称轴。 旋转-反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。旋转旋转-反演对称轴用反演对称轴用 表示。表示。旋转旋转-反演对称轴并反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：独立的基本对称素。如：1212345612ABDCEFGH正四面体既无四正四面体既无四度轴也无对称心度轴也无对称心6=3+m123456612341 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋转对称操作。度旋转对称操作。 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6度旋转反演对称操作。度旋转反演对称操作。(3)(3)中心反映：中心反映：i。(4)(4)镜象反映：镜象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C

9、6S1，S2，S3，S4，S6点对称操作：点对称操作：(2)(2)旋转反演对称操作：旋转反演对称操作：(1)(1)旋转对称操作：旋转对称操作： 独立的对称操作有8种, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 三维实例：立方晶格三维实例：立方晶格( (a)a)绕立方轴绕立方轴C4： 3 3个立方轴；个立方轴；共共9 9个对称操作。个对称操作。(b)体对角线体对角线C3： 4个个3度轴；度轴； 8个对称操作。个对称操作。(c)面对角线面对角线C2：6个个2度轴；有度轴；有6个对称操作。个对称操作。（d）不动，不动，

10、一个对称操一个对称操作。作。中心反演操作（24个）48个对称操作。共共24个旋转对称操作。个旋转对称操作。正四面体正四面体ABDCEFGH( (a)a)绕立方轴绕立方轴C2： 3 3个立方轴；个立方轴；共共3 3个对称操作。个对称操作。(b)体对角线体对角线C3： 4个个3度轴；度轴； 8个对称操作。个对称操作。(e)面对角线转面对角线转，并反演，并反演 有有6个对称操作。个对称操作。（c）不动，一不动，一个对称操作。个对称操作。( (d)d)绕三个立方轴绕三个立方轴转转并中心反演，共并中心反演，共6 6个对称操作。个对称操作。共共24个旋转对称操作。个旋转对称操作。对称素：对称素：为简洁明了

11、地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对称操作，而是描述它所具有的称操作，而是描述它所具有的“对称素对称素”。对称素就是一个物。对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转反演轴。体的旋转轴，以及旋转反演轴。一个物体绕某一个转轴转动，以及其倍数不变时，称该轴为一个物体绕某一个转轴转动，以及其倍数不变时，称该轴为物体物体n重旋转轴，计为重旋转轴，计为n。 一个物体绕某一个转轴转动加上中心反演的联合操作，以及其一个物体绕某一个转轴转动加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时，称该轴为物体联合操作的倍数不变时，称该轴为物体n重旋转反演轴，计

12、重旋转反演轴，计为为 。 对称素存在一个对称面对称素存在一个对称面m，镜面，用，镜面，用 表示表示。 立方体：立方体：( (a)a) 立方轴为立方轴为4 4重轴，计为重轴，计为4 4；同时也是；同时也是4 4重旋转重旋转- -反演轴，计为反演轴，计为( (b)b)面对角线为面对角线为2 2重轴，计为重轴，计为2 2；同时也是；同时也是2 2重旋转重旋转- -反演轴，计为反演轴，计为( (c)c)体对角线轴为体对角线轴为3 3重轴，计为重轴，计为3 3；同时也是；同时也是3 3重旋重旋转转- -反演轴，计为反演轴，计为正四面体：正四面体：( (a)a) 立方轴是立方轴是4 4重旋转重旋转- -反

13、演轴，不是反演轴，不是4 4重轴；重轴；( (b)b)面对角线是面对角线是2 2重旋转重旋转- -反演轴，不是反演轴，不是2 2重轴；重轴；( (c)c)体对角线轴是体对角线轴是3 3重轴，不是重轴，不是3 3重旋转重旋转- -反演轴。反演轴。 1.6 点群点群1）点群：任何晶体，其宏观对称性只具有下列几种对称素：）点群：任何晶体，其宏观对称性只具有下列几种对称素：点群：在此十种对称素基础上组成的对称操作群称为点群。点群：在此十种对称素基础上组成的对称操作群称为点群。群的性质：封闭性；结合性；单位元存在；逆操作存在。群的性质：封闭性；结合性；单位元存在；逆操作存在。群代表一组群代表一组“元素元

14、素”的集合，的集合，GE,A,B,C,D这些这些“元素元素”被赋予一定的被赋予一定的“乘法法则乘法法则”，满足下列性质，满足下列性质 1) 集合集合G中任意两个元素的中任意两个元素的“乘积乘积”仍为集合内的元素，即，仍为集合内的元素，即，若若 A, B G, 则则AB=C G. 叫做群的封闭性。叫做群的封闭性。 2) 存在单位元素存在单位元素E, 使得所有元素满足：使得所有元素满足：AE = A 3) 对于任意元素对于任意元素A, 存在逆元素存在逆元素A-1, 有：有：AA-1=E 4) 元素间的元素间的“乘法运算乘法运算”满足结合律：满足结合律：A(BC)=(AB)C 单位元素：不动操作单位

15、元素：不动操作 任意元素的逆元素：绕转轴角度，其逆操作为绕转轴反方向任意元素的逆元素：绕转轴角度，其逆操作为绕转轴反方向转相同角度；中心反演的逆操作仍是中心反演；转相同角度；中心反演的逆操作仍是中心反演； 连续进行连续进行A和和B操作，相对于操作，相对于C操作。操作。 A操作：绕操作：绕OA轴转动轴转动 /2，S点转到点转到T点；点； B操作：绕操作：绕OC轴转动轴转动 /2，T点转到点转到S点；点； 上述操作中上述操作中S和和O没动，而没动，而T点转动到点转动到T点。点。相当于一个操作相当于一个操作C：绕：绕OS轴转动轴转动2 /3。表示为：表示为：C=BA群的封闭性群的封闭性 可以证明：可

16、以证明：A(BC)=(AB)C满足结合律满足结合律 所有点对称操作都可由这所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转镜象和旋转-反演点对称操作构成的群，称作点群。反演点对称操作构成的群，称作点群。理论证明，所有理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有，即只有32种不同的点对称种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理操作类型。这种对称性在宏观上

17、表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。2 2）空间群）空间群：点群平移空间群。点群平移空间群。螺旋轴和滑移反映面。32种点群种点群n度螺旋轴度螺旋轴：若绕轴旋转若绕轴旋转2 / /n角以后，再角以后，再沿轴方向平移( (T/ /n) ) 晶体能自身重合，则称此轴为晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中度螺旋轴。其中T是轴方向的是轴方向的周期，周期，是小于是小于n的整数。的整数。 n只能取只能取1、2、3、4、6。滑移反映面滑移反映面：若经过某面进行镜象操若经过某面进行镜象操作后，再沿平行于该面的某个方向平作后，

18、再沿平行于该面的某个方向平移移T/ /n后，晶体能自身重合，则称此后，晶体能自身重合，则称此面为滑移反映面。面为滑移反映面。 T是平行方向的是平行方向的周期，周期， n可取可取2或或4。点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有点对称操作加上平移操作构成空间群。全部晶体构有230种空间群，种空间群，即有即有230种对称类型。种对称类型。 1.7 1.7 晶格的对称性晶格的对称性 根据不同的根据不同的点对称性，将晶体分为，将晶体分为7大晶系，14种布拉戈晶格。为布拉戈原胞三个基矢，为布拉戈原胞三个基矢， 分别为分别为取取间的夹角。间的夹角。 7大晶系的特征及布拉戈晶格如下所述：大晶系的特征及

19、布拉戈晶格如下所述：简单三斜简单三斜( (1) )简单单斜简单单斜( (2) )底心单斜底心单斜(3)1.1.三斜晶系：三斜晶系： 2.2.单斜晶系：单斜晶系：3.3.三角晶系：三角晶系：三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：简单正交简单正交( (5) )底心正交底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )面心正交面心正交( (8) )5.5.四角系：四角系：( (正方晶系正方晶系) )体心四角体心四角( (10) )简单四角简单四角( (9) )6.6.六角晶系：六角晶系：六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：简立方简立方( (12) )体心立方体心立方(

20、(13) )面心立方面心立方( (14) )1.1.三斜晶系：三斜晶系： 2.2.单斜晶系：单斜晶系：3.3.三角晶系：三角晶系：简单三斜简单三斜( (1) )简单单斜简单单斜( (2) ) 底心单斜底心单斜( (3) )三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：简单正交简单正交( (5) )，底心正交，底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) )5.5.四角系：四角系：( (正方晶系正方晶系) )简单四角简单四角( (9) )，体心四角，体心四角( (10) )6.6.六角晶系：六角晶系：六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：简

21、立方简立方( (12) )，体心立方，体心立方( (13) )，面心立方，面心立方( (14) )C1:不动操作，只含有一个元素。不动操作，只含有一个元素。Cn:只含有一个旋转轴的点群，只含有一个旋转轴的点群， C2 ，C3 ，C4 ，C6 共四个。共四个。Dn:只含有一个只含有一个n重旋转轴和重旋转轴和n个与之垂直的二重轴的点群，个与之垂直的二重轴的点群， D2 ，D3 ，D4 ，D6 共四个。共四个。Ci: C1加中心反演。加中心反演。Cs: C1加反演面。加反演面。Cnh: Cn加与之垂直的反演面。加与之垂直的反演面。Cnv: Cn加含有加含有n重轴的反演面。重轴的反演面。Dnh: Dn加与加与n重轴垂直的反演面。重轴垂直的反演面。Dnd: Dn加通过加通过n重轴及两根二重轴角平分线的反演面。重轴及两根二重轴角平分线的反演面。Sn:只含有旋转反演轴的点群，只含有旋转反演轴的点群， S1=Ci， S2=Cs， S3=C3h，只有只有S4，S6。Oh:立方点群（含立方点群（含48个对称操作）。个对称操作）。Td: 正四面体点群（含正四面体点群（含24个对称操作）。个对称操作）。O群群: 立方点群中的立方点群中的24个纯转动操作。个纯转动操作。T: 正四面体点群中的正四面体点群中的12个纯对称操作。个纯对称操作。Th: T群加上中心反演。群加上中心反演。