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1、第三节 非稳态导热问题的数值解 非稳态导热与稳态导热的主要区别在于控制方程中多了一个非稳态项，而扩散项的离散方法与稳态导热是一样的。因此，本节将重点讨论非稳态项的离散方法以及扩散项离散时所取时间层的不同对计算带来的影响。1一维非稳态导热问题的离散x为空间坐标，将计算区域划分为（N-1）等份，得到N个空间节点；两节点之间的距离为 称为空间步长；为时间坐标，将时间坐标上的计算区域划分为（i-1）等份，得到 i 个时间节点。从一个时间层到下一个时间层的间隔为，称为时间步长。空间网格与时间网格的交点，如（n,i），代表了时间空间区域中一个节点的位置，相应的温度记为 。xn,in+1,in-1,in,i
2、-1n,i+12非稳态项的离散如果将函数t 在节点（n,i+1）对点（n,i）作泰勒展开，可有于是有当 足够小时， 可略而不计，此时非稳态项的差分格式可表示为3非稳态项的三种差分格式向前差分向后差分向中心差分4一维非稳态导热内节点方程的建立控制方程差分方程化简结果5一维非稳态导热内节点方程的建立控制方程差分方程6两种差分格式的比较显式差分格式隐式差分格式7两种差分格式的区别格式的形式不同计算工作量不同 显式格式计算工作量小，隐式格式计算工作量大限制条件不同 显式格式对时间步长和空间步长有相互制约的要求，但隐式格式对时间步长及空间步长之间的关系没有任何要求。8建立非稳态导热问题节点方程的热平衡法
3、将研究区域离散化对各节点所代表的元体建立能量平衡关系式对非稳态导热问题该能量平衡关系式为 从各个方向进入元体的热量之和等于该元体热力学能的变化量整理化简，得到各节点的差分方程9无限大平板换热边界上节点方程的建立左图示出了一无限大平板的右侧面的一部分，其右侧面受到周围流体的冷却，表面传热系数为h，流体温度为边界节点为N节点N 代表宽度为 的元体NN-1N-2x10无限大平板换热边界上节点方程的推导从左侧面进入元体的热量从右侧面进入元体的热量元体自身热力学能的改变量根据能量守恒定律整理后得到11差分方程的进一步演化考察方程中的定义 称为网格傅立叶数定义 称为网格毕渥数差分方程可演化为12一维非问题
4、导热问题的差分方程内节点差分方程换热边界上的差分方程上述方程都是用显式差分格式表示的13数值解求解一维非稳态导热的实例 物理模型：设有一块厚度为2 的无限大平壁，初始温度为 。在初始瞬间将它放置于温度为 的流体中，流体与板面间的表面传热系数h为常数。试用数值解法确定在非稳态导热过程中板内的温度分布。 x14控制方程 解：由于问题的对称性，只要研究一半即可，此时，该问题的控制方程为15区域离散化将所研究平板的一半N等分，共有N+1个节点，其中节点1在平板中心截面上，节点N在平板右侧面上，如图所示两个节点之间的距离为节点-1与节点2换热情况对称，固有相同的温度时间步长取xn=1 2 3 N-1 N
5、-116差分方程 上述问题的差分方程为17方程组的求解利用上述方程组，从初始温度 出发，即可依次求得第二时间层、第三时间层直到 I 时间层上的温度分布。至于空间步长 及时间步长 的选取，原则上步长越小，计算结果越接近于精确解，但是需要的计算机内存及计算时间则大大增加。此外， 与 的关系还受到显式差分格式稳定性的影响。下面，我们从离散方程的结构来分析，说明稳定性限制的物理意义，再通过数值计算实例予以说明。18显式差分格式稳定性分析 由内部节点差分方程可见，在节点n上，i+1时刻的温度是在该点i 时刻温度的基础上考虑了左右相邻两点温度的影响后得出的。现在，假设相邻两点的温度不变，那么合理的情况是:
6、i时刻节点n的温度越高，则其相继时刻（i+1时刻）的温度也越高；反之，i时刻节点n的温度越低，则其相继时刻的温度也越低。所以，在差分方程中要满足这种合理性的条件，则差分方程中 与 前面的系数必须保持同方向变化。由于 的系数大于零，因此 前面的系数也必须大于零 。19显式差分格式稳定性条件内节点差分方程稳定性条件一维非稳态导热，换热边界上节点差分方程稳定性条件20具体计算实例题目：厚 的无限大平板受对称的冷却，初始温度 。在初始瞬间，平板突然被置于温度 的流体中。已知平板的导热系数 ,。试用数值法求解其温度分布。取 。解：区域离散化，取则 采用如图所示的离散方法，计算结果列于下表21计算区域离散
7、图x n=1 2 3 40.01 0.01 0.01 22差分方程 上述问题的差分方程为23计算结果1760.7273.150.667.2648010032200.991.463.284801001002-328.9220.219.2104801001001001550-109.614860100100100100076543210itn24对计算结果的说明 从上表可以看出，从 这一时刻起出现了这样的情况：各点温度随时间作忽高忽低的波动，并且波动幅度越来越大；某点温度越高反而使相继时刻的温度越低。这种现象是违背热力学第二定律的。因为这意味着，在该时间间隔中，从某一时刻起热量将自动地由低温向高温
8、传递。数值计算中出现的这种计算结果忽高忽低的波动现象，数学上称为不稳定性。这个例题表明，在数值计算中避免出现不稳定性是十分重要的。 25出现解的不稳定性的原因不满足解的收敛条件根据内节点的收敛条件根据换热边界节点的收敛条件所以此时最达的时间间隔应为26二维非稳态导热内节点差分方程的建立控制方程差分方程27二维非稳态导热内节点的差分方程m,nm-1,nm+1,nm,n-1m,n+128二维非稳态平直边界上节点方程式m,n-1m,nm-1,nm,n+129本章小结数值计算法包括有限差分法、有限元法和边界元法。本章只讨论有限差分法，用差商代替微商，用内部节点和边界节点的有限差分线性方程组求解节点的温
9、度值，以此代替求解导热微分方程和相应定解条件得到的与时间和空间坐标有关的函数关系式。本章以二维稳态导热和一维非稳态导热为例详细介绍了节点方程式的两种建立方法泰勒级数展开法和热平衡法，并且对非稳态导热的两种差分格式显式差分格式和隐式差分格式进行了讨论，且指出了显式差分格式的稳定性条件。要建立节点方程，首先必须确定节点。因此对研究区域的离散化是必须应该掌握的。 30基本要求1.掌握区域离散化方法，了解向前差分、向后差分和向中心差分。2.会运用热平衡法建立各种节点节点方程式。包括一维和多维、稳态和非稳态、内节点和边界节点、有内热源和没有内热源等各种情况。3.掌握导热问题数值解的基本步骤，会用迭代法求解二维稳态导热问题的节点方程组。4.能用显式差分格式求解一维非稳态导热问题，了解非稳态导热问题有限差分方程的稳定性条件。31
