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1、2.4.1 平面向量数量积的平面向量数量积的物理背景及其含义物理背景及其含义 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a的的积积是一个是一个向向量量，记作，记作a，它的它的长度长度和和方向方向规定如下：规定如下：(1) |a|=| |a|(2) 当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相同；方向相同； 当当0时时,a 的方向与的方向与a方向相反；方向相反； 特别地，当特别地，当=0或或a=0时时, a=0 设设a,b为任意向量，为任意向量，,为为任意实数任意实数，则有：，则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=a+b向量的夹角向量的夹角OABOABOAB已知已知两个非零向量两个非零
2、向量 和和 ，作，作 ， ，则，则 叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角OAB问问 题题sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，那么力那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？为此，我们引入向量为此，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。 功是一个功是一个标量标量，它由力和位移两个向量来确定，它由力和位移两个向量来确定.这给这给我们一种启示，能否把我们一种启示，能否把“功功”看成是这两个向量的一种运看成是这两个向量的一种运算的结果呢？算的结果呢？其中其中是是 F 与与 s 的夹角的夹角 .W = |F|s| cos问题：如果我们将公式中的力与
3、位移类比推广到两个一问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 （1）两向量的数量积是一个）两向量的数量积是一个数量数量，而不是向量，符号由夹角决定，而不是向量，符号由夹角决定. （3） 在运用在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角
4、的范围是范围是 0，180说明说明： 已知非零向量已知非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作 ，即规定，即规定 （2） a b中间的中间的“ ”在向量的运算中不能省略，也在向量的运算中不能省略，也不能写不能写 成成ab ，ab 表示向量的另一种运算（外积）表示向量的另一种运算（外积）思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？时候为正，什么时候为负？当当0 90时时 为正；为正；当当90 180时时 为负。为负。当当 =90时时 为零。为零。数量积符号由数量积符号由cos
5、的符号所决定的符号所决定问题：问题：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？结果有什么不同？实数同向量积的实数同向量积的线性运算的性运算的结果是果是向量向量两向量的数量积是一个实数，是一个两向量的数量积是一个实数，是一个数量数量当当a与与b同向时，同向时，abab；当当a与与b反向时，反向时，abab；aaa2a2或或a .问题：设问题：设a与与b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，则，则ab等于多少？等于多少？反之成立吗？反之成立吗？ ab ab0问题：当问题：当a与与b同向时，同向时，ab等于什么？当等于什么？当a与与b反向时，
6、反向时，ab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aa等于什么？等于什么？ 问题：问题：ab与与ab的大小关系如何？为什么的大小关系如何？为什么？ abab 问题：对于向量问题：对于向量a，b，如何求它们的夹角，如何求它们的夹角？ 向量数量积的性质向量数量积的性质例例 、在、在ABCABC中中， 求求练习练习: :例例 、已知、已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，求求abab a a与与b b的夹角的夹角=120=120平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义向量向量a在在b方向上的投影方向上的投影是什么？是什么？ 投影一定是正数吗？投影一定是正数吗？| b | cos叫向量
7、叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影OABab，过点，过点B作作垂直于直线垂直于直线OA，垂足为垂足为 ，则，则| b | cosacos说明：说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABab为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0当当 = 0 时投影为时投影为|b|当当 = 180 时投影为时投影为-|b|.问题：根据投影的概念，数量积问题：根据投影的概念，数量积ab=a| |bcos的几何意义是什么？的几何意义是什么？ 数量积数量积ab等于等于a
8、的模与的模与b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘积，或等于的乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘积的乘积. .交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：数量积的运算律数量积的运算律下面我们证明运算律（下面我们证明运算律（3）：）：分配律：分配律：.OCAA1BB1想一想：想一想： 向量向量数量积数量积不满足不满足结合律结合律 .向量的数量积满足结合律吗？说明：说明：即：即：成立吗？成立吗？应用举例、 、 常用公式例、练习1、练习1、利用平面向量数量积求解利用平面向量数量积求解长度长度问题问题变式：变式：利用平面向量数量积求解利用平
9、面向量数量积求解夹角夹角问题问题 例： 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角课堂小结：1、向量的数量积的定义、向量的数量积的定义已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把我们把数量数量 叫做叫做 与与 的数量（或内积的数量（或内积,点乘），即点乘），即规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 02 2、向量数量积的几何意义、向量数量积的几何意义3、数量积运算律、数量积运算律（交换律）（交换律）（数乘结合律）（数乘结合律）（分配律）（分配律）课堂小结：4、向量数量积的性质
10、、向量数量积的性质5. 常用常用a 求向量的求向量的模模.常用求向量的常用求向量的夹角夹角.1、有四个式子：有四个式子：其中正确的个数为（其中正确的个数为（ ）A A、4 4个个B B、3 3个个C C、2 2个个D D、1 1个个2、已知、都是单位向量，下列结论正确的是（已知、都是单位向量，下列结论正确的是（ ）A A、B B、C C、 D D、3、有下列四个关系式：有下列四个关系式：，其中正确的个数是（），其中正确的个数是（）A A、1 1B B、2 2C C、3 3D D、4 4D DB BA A作业作业4.判断下列命题正确与否：（1）若 a =0 ，则对任一向量 b ，有有 ab=0 。 （2）若 a 0 ，则对任一非零向量 b ，有有 ab0。（3）若 a 0 ，ab = 0 ，则 b = 0 。（4）若 ab = 0 ，则 a、b 中至少有一个为0 。（5）若 a 0 ，ab= ac ，则 b = c 。（6）若 ab= ac ，则 bc， 当且仅当a =0 时成立。（7）对任意向量 a，有有 a2 = |a|2。（）（X）（X）（X）（X）（X）（）
