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1、8.5 垂直关系垂直关系 考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考8.5垂垂直直关关系系双基研习双基研习面对高考面对高考1直直线与平面垂直与平面垂直(1)定定义：如如果果一一条条直直线和和一一个个平平面面内内的的_一一条条直直线都垂直，那么称都垂直，那么称这条直条直线和和这个平面垂直个平面垂直双基研习双基研习面对高考面对高考基础梳理基础梳理基础梳理基础梳理任何任何(2)定理：定理：相交直相交直线abA垂直于一垂直于一个平面个平面b2.平面与平面垂直平面与平面垂直(1)定定义：两两个个平平面面相相交交，如如果果所所成成的的二二面面角角是是_，就，就说这两个平面互相垂直两个
2、平面互相垂直(2)定理：定理：直二面角直二面角垂垂线交交线ABABMN思考感悟思考感悟 能否将直线与平面垂直定义中的能否将直线与平面垂直定义中的“任何任何一条直线一条直线”改为改为“无数条直线无数条直线”？能否将直线与平面？能否将直线与平面垂直判定定理中的垂直判定定理中的“相交相交”去掉？去掉？提示：提示：不能，若平面内的直线互相平行，这些直不能，若平面内的直线互相平行，这些直线可能都与该直线垂直，但直线不一定与平面垂线可能都与该直线垂直，但直线不一定与平面垂直直3二面角二面角二面角的定二面角的定义从从一一条条直直线出出发的的_所所组成的成的图形叫作二面角形叫作二面角二面角的度量二面角的度量二
3、面角的二面角的平面角平面角以二面角的棱上任一点以二面角的棱上任一点为端点，在端点，在两个半平面内分两个半平面内分别作作_棱的棱的两条射两条射线，这两条射两条射线所成的角叫所成的角叫作二面角的平面角作二面角的平面角.两个半平面两个半平面垂直于垂直于课前热身课前热身课前热身课前热身1设a、b是是两两条条直直线，、是是两两个个平平面面，则ab的一个充分条件是的一个充分条件是()Aa，b，Ba，b，Ca，b， Da，b，答案：答案：C2.(教教材材习题改改编)如如图所所示示，在在RtABC中中，B90，点点P为ABC所所在在平平面面外外一一点点，PA平平面面ABC，则四四面面体体PABC中中有有()个
4、个直直角角三角形三角形A1 B2C3 D4答案：答案：D3已已知知，表表示示两两个个不不同同的的平平面面，m为平平面面内的一条直内的一条直线，则“m”是是“”的的()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件答案：答案：A4(2011年合肥调研年合肥调研)m，n是空间两条不同直线，是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：是两个不同平面，下面有四个命题：m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中，为真命题的有其中，为真命题的有_(写出所有真命题写出所有真命题的编号的编号)答案：答案：5如图
5、所示，已知矩形如图所示，已知矩形ABCD中，中，AB1，BCa，PA平面平面ABCD，若在，若在BC上只有一个点上只有一个点Q满足满足PQQD，则，则a的值等于的值等于_答案：答案：2考点探究考点探究挑战高考挑战高考考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一垂直关系的基本应用垂直关系的基本应用此类问题经常以选择题的形式在高考中出现，解答此类问题经常以选择题的形式在高考中出现，解答时一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定时一要注意依据定理条件才能得出结论，二是否定时只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进时只需举一个反例，三要会寻找恰当的特殊模型进行筛选行筛选例例例例1 1 (2010年
6、高考浙江卷年高考浙江卷)设设l，m是两条不同的是两条不同的直线，直线，是一个平面，则下列命题正确的是是一个平面，则下列命题正确的是()A若若lm，m，则，则lB若若l，lm，则，则mC若若l，m，则，则lmD若若l，m，则，则lm【思思路路点点拨】根根据据线面面垂垂直直、平平行行的的判判定定和和性性质判断判断【解解析析】根根据据定定理理：两两条条平平行行线中中的的一一条条垂垂直直于于一一个个平平面面，另另一一条条也也垂垂直直于于这个个平平面面知知，B正正确确【答案答案】B【名名师点点评】一一要要注注意意定定理理条条件件都都具具备时才才能能得得出出结论，二二要要会会寻找找恰恰当当的的特特殊殊模模
7、型型进行行筛选变式式训练1(2009年年高高考考浙浙江江卷卷)设，是是两两个个不不同同的的平平面面，l是是一一条条直直线，以以下下命命题正正确确的的是是()A若若l，则l B若若l，则l C若若l，则lD若若l，则l解解析析：选C.对于于A、B、D均均可可能能出出现l，故故选C.考点二考点二直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质证明直线和平面垂直的常用方法有：证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理利用判定定理(2)利用平行线垂直于平面的传递性利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab)(3)利用面面平行的性质利用面面平行的性质(a，a)(4)利用面面垂直的性质利用面面垂
8、直的性质当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直直线，常用来证明线线垂直例例例例2 2【思路点思路点拨】利用线面垂直、线线垂直的判定利用线面垂直、线线垂直的判定与性质可证与性质可证【证明证明】连接连接FG.因为因为EFCG，EFCG1，且，且CE1，CEAC，所以四边形所以四边形CEFG为菱形，所以为菱形，所以CFEG.因为四边形因为四边形ABCD为正方形，所以为正方形，所以BDAC，又因为平面又因为平面ACEF平面平面ABCD，且平面且平面ACEF平面平面ABCDAC，所以所以BD平面平面ACEF.又又CF平面平面ACE
9、F，所以所以CFBD.又又BDEGG，所以所以CF平面平面BDE.【名名师点点评】证明明空空间线面面位位置置关关系系的的基基本本思思想想是是转化化与与化化归，根根据据线面面平平行行、垂垂直直关关系系的的判判定定和和性性质，进行行相相互互转化化，如如本本题是是证明明线面面垂垂直直，要要通通过证明明线线垂垂直直达达到到证明明线面面垂垂直直的的目目的的解解决决这类问题时要要注注意意推推理理严谨，使使用用定定理理时找足条件，找足条件，书写写规范等范等考点三考点三 平面与平面垂直的判定和性质平面与平面垂直的判定和性质要证面面垂直，一般要转化为线面垂直，即考虑证要证面面垂直，一般要转化为线面垂直，即考虑证
10、明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，然后明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，然后进一步转化为线线垂直，为此要熟练掌握进一步转化为线线垂直，为此要熟练掌握“线线垂线线垂直直”、“线面垂直线面垂直”、“面面垂直面面垂直”之间的相互转化关之间的相互转化关系特别地，若已知两个平面垂直时，一般要用性系特别地，若已知两个平面垂直时，一般要用性质定理，将其转化为线面垂直进行应用质定理，将其转化为线面垂直进行应用例例例例3 3【思思路路点点拨】(1)利利用用面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理(2)【误区警示误区警示】在在(2)中，误认为中，误认为PD为四棱锥的为四棱锥的高，导致体积求错，产生这一错误
11、的原因是空高，导致体积求错，产生这一错误的原因是空间想象能力不强，思维定势，没有从题目条件间想象能力不强，思维定势，没有从题目条件出发出发考点四考点四二面角的求法二面角的求法有许多涉及求角与距离的问题可直接利用有许多涉及求角与距离的问题可直接利用 来研究，并来研究，并在研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方在研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方法对于求二面角通常是求其平面角的大小，而二法对于求二面角通常是求其平面角的大小，而二面角的平面角的作法有定义法、垂直法、三垂线呈面角的平面角的作法有定义法、垂直法、三垂线呈现法等等现法等等例例例例4 4【思思路路点点拨】(1)由由AFED可可得
12、得CED为异异面面直直线CE与与AF所所成成角角由由RtCED中中的的边角角关关系系可可求求其其大大小小；(2)利利用用线面面垂垂直直的的判判定定定定理理可可证；(3)利利用用“垂垂线法法”，即即在在平平面面ABCD内内作作AD的的垂垂线，过垂垂足足作作棱棱EF的的垂垂线，连结可可得二面角的平面角得二面角的平面角【规律小律小结】确定二面角平面角的方法：确定二面角平面角的方法：(1)定定义法法：在在二二面面角角的的棱棱上上找找一一特特殊殊点点，在在两两个个半半平面内分平面内分别作垂直于棱的射作垂直于棱的射线(2)垂垂面面法法：过棱棱上上一一点点作作与与棱棱垂垂直直的的平平面面，该平平面面与与二二
13、面面角角的的两两个个半半平平面面产生生交交线，这两两条条交交线所所成成的角，即的角，即为二面角的平面角二面角的平面角(3)垂垂线法法：过二二面面角角的的一一个个面面内内一一点点作作另另一一个个平平面面的的垂垂线，过垂垂足足作作棱棱的的垂垂线，利利用用线面面垂垂直直可可找找到到二二面面角角的的平平面面角角或或其其补角角，此此种种方方法法通通用用于于求求二二面面角的所有角的所有题目，具体步目，具体步骤为：一找，二：一找，二证，三求，三求方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1在在解解决决直直线与与平平面面垂垂直直问题过程程中中，要要注注意意直直线与与平平面面垂垂直直的的定定义，判判定定定
14、定理理和和性性质定定理理的的联合合交交替替使使用用，即即注注意意线线垂垂直直和和线面面垂垂直直的的互互相相转化化(如例如例2)2面面面面垂垂直直的的性性质定定理理是是作作辅助助线的的一一个个重重要要依依据据我我们要要作作一一个个平平面面的的一一条条垂垂线，通通常常是是先先找找这个个平平面面的的一一个个垂垂面面，在在这个个垂垂面面中中，作作交交线的的垂垂线即可即可(如例如例3)3(1)对于二面角问题多数情况下要作出二面角的对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角平平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相面角所在的平
15、面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的垂直的(2)二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视的平面角，对于这种方法应引起足够的重视(3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的计对于直线和平面所
16、成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据的性质定理也是最重要的作图理论依据(如例如例3)失误防范失误防范1直线和平面垂直直线和平面垂直(1)判定定理可以简单地记为判定定理可以简单地记为“线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直”，定理中的关键词语是，定理中的关键词语是“平面内两条相交直线平面内两条相交直线”和和“都垂直都垂直”证题时常常是定义和判定定理反复使证题时常常是定义和判定定理反复使用，使线线垂直与线面垂直的关系相互转化用
17、，使线线垂直与线面垂直的关系相互转化(2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线平行与垂直的相互转化，即线线线线线面面线线线线线线面面2垂直关系的转化垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，般要用
18、性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握垂直故熟练掌握“线线垂直线线垂直”、“面面垂直面面垂直”间间的转化条件是解决这类问题的关键的转化条件是解决这类问题的关键考情分析考情分析考情分析考情分析考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，以及线面角、二面角的求法题型既有选择题、填以及线面角、二面角的求法题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度
19、中等偏高，客观题突出空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题突出“小小而巧而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、二面角的求法，主观题考查较全面，在考查上述知二面角的求法，主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力力以及分析问题、解决问题的能力预测预测2012年高考仍将以线面垂直、面面垂直、年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角、二面角为主要考点，重点考查学生的线面角、二面角为主要考点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力空间想象能力以及逻
20、辑推理能力真题透析真题透析真题透析真题透析例例例例所以异面直线所以异面直线BF与与DE所成的角的大小为所成的角的大小为60.4分分(2)证明：因为证明：因为DCDE且且M为为CE的中点，所以的中点，所以DMCE.连接连接MP，则，则MPCE.又又MPDMM，故，故CE平面平面AMD.而而CE 平面平面CDE，所以平面所以平面AMD平面平面CDE.7分分(3)设设Q为为CD的中点，连接的中点，连接PQ，EQ.因为因为CEDE，所以，所以EQCD.因为因为PCPD，所以，所以PQCD，故故EQP为二面角为二面角A-CD-E的平面角的平面角.10分分【名名师点点评】(1)本题的图形既可以看做是从长方
21、体本题的图形既可以看做是从长方体中截取的一个图形，也可以看做是一个直三棱柱和中截取的一个图形，也可以看做是一个直三棱柱和一个三棱锥组合起来的图形，无论是截取的图形还一个三棱锥组合起来的图形，无论是截取的图形还是组合的图形，都是教材上最基本的空间图形，可是组合的图形，都是教材上最基本的空间图形，可以说本题是对教材基本图形进行改造加工，把教材以说本题是对教材基本图形进行改造加工，把教材上不同部分的主要问题组合起来命制的一道试题上不同部分的主要问题组合起来命制的一道试题(2)解决立体几何问题的一个很重要的技巧就是解决立体几何问题的一个很重要的技巧就是“割补割补”，这个技巧不但在求空间几何体体积时有用
22、，在解，这个技巧不但在求空间几何体体积时有用，在解决其他问题时仍然有重要作用，如本题把图形放到决其他问题时仍然有重要作用，如本题把图形放到一个长方体中，就会发现这个长方体实际上又是由一个长方体中，就会发现这个长方体实际上又是由两个正方体拼接而成，放到这个长方体中去看，所两个正方体拼接而成，放到这个长方体中去看，所有要解决的问题几乎都是明显的结论有要解决的问题几乎都是明显的结论(3)证明面面垂直常用的证明面面垂直常用的2种方法种方法一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直来一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直来证明，即证明其中一个平面经过另一个平面的一证明，即证明其中一个平面经过另一个平面的
23、一条垂线，可以先找到其中一个平面的一条垂线，条垂线，可以先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面的一条垂线垂直；二是利用定义转化为证明二面的一条垂线垂直；二是利用定义转化为证明二面角的平面角为直角，可先作出二面角的平面角，角的平面角为直角，可先作出二面角的平面角，再由条件证明这个平面角是直角即可，虽说这种再由条件证明这个平面角是直角即可，虽说这种证法较为特殊，即通过计算，证明其为直角，但证法较为特殊，即通过计算，证明其为直角，但这也是立体几何中证明问题的一种重要方法这也是立体几何中证明问题的一种重要方法已知斜三棱柱已知斜
24、三棱柱ABC-A1B1C1，BCA90，ACBC2，A1在底面在底面ABC上的射影恰为上的射影恰为AC的中点的中点D，又知，又知BA1AC1.(1)求证：求证：AC1平面平面A1BC；(2)求求CC1到平面到平面A1AB的距离；的距离；(3)求二面角求二面角A-A1B-C的正弦值的正弦值名师预测名师预测名师预测名师预测解：解：(1)A1D平面平面ABC，平面平面AA1C1C平面平面ABC.又又BCAC，BC平面平面AA1C1C，得，得BCAC1，又又BA1AC1，BCBA1B，AC1平面平面A1BC.(2)AC1A1C，四边形四边形AA1C1C为菱形，为菱形，温馨提示：巩固复习效果，检验教学成温馨提示：巩固复习效果，检验教学成果果. .请进入请进入“ “课时闯关课时闯关 决战高考决战高考(53)”(53)”，指导学生每课一练，成功提升成绩指导学生每课一练，成功提升成绩. .本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束点此点此进入入课件目件目录按按ESC键退出全屏播放退出全屏播放谢谢使用使用
