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1、第第2节用样本估计总体节用样本估计总体基 础 梳 理 1作频率分布直方图的步骤质疑探究1：频率分布直方图中纵轴表示什么含义？小长方形的面积表示什么？各小长方形面积之和等于多少？2频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的_，就得频率分布折线图(2)总体密度曲线随着_的增加，作图时所分的组数增加，_减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线样本容量中点组距3茎叶图定义是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数画法对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数
2、字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶样本数据为小数时做类似处理对于样本数据较少，且分布较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎优缺点用茎叶图表示数据的优点是：(1)所有的信息都可以从茎叶图中得到；(2)便于记录和读取，能够展示数据的分布情况缺点是：当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便4.样本的数字特征质疑探究2：怎样利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数？提示：在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方
3、形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和质疑探究3：平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？提示：平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定1(2014潍坊一模)某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出100名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示其中成绩分组区间是40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100则成绩在80,100上的人数为()A70B60C35 D30解析：由题知成绩在80,100的人数为(0.025100.00510)10030
4、.故选D.答案：D2(2012年高考陕西卷)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A46,45,56 B46,45,53C47,45,56 D45,47,53解析：由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34, 38,39, 5,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为681256.故选A.答案：A3对于样本频率分布折线图与总体密度曲线的关系，下列说法中正确的是()A频率分布
5、折线图与总体密度曲线无关B频率分布折线图就是总体密度曲线C样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线D如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线解析：总体密度曲线是频率分布折线图在样本容量无限大，组距无限小时一个理想曲线，是有关系的，故选项A错误；由选项A解释知道，频率分布折线图只能无限趋近于总体密度曲线，但不能说就是总体密度曲线，所以选项B错误；同理选项C也错误；如果样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑的曲线，这条光滑的曲线就是总体密度曲线，故选D.答案：D4(2013年高考湖北卷)某学员在一次射击测试中
6、射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_答案：(1)7(2)2考 点 突 破 例1某市某年4月1日4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)作出频率分布表；(2)作出频率分布直方图；(3)根据国家标准，污染指数在050之间时，空气质量为优；在51100之间时，为良；在101150之间时，为轻微污染；在151
7、200之间时，为轻度污染频率分布直方图的画法及应用 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价思维导引频率分布表和频率分布直方图由样本决定，因此它们会随样本的改变而改变频率分布直方图具有以下特点：(1)能清楚地看出数据分布的总体趋势；(2)看不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的数据信息被抹掉了解(1)频率分布表.(2)频率分布直方图：即时突破1 (2012年高考山东卷)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5,26.5，样本数据的分组为20.5,21.5)，21.5,22.5)，22.5,23.5)
8、，23.5,24.5)，24.5,25.5)，25.5,26.5已知样本中平均气温低于22.5 的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 的城市个数为_解析：结合直方图和样本数据的特点求解最左边两个矩形面积之和为0.1010.1210.22，总城市数为110.2250，最右面矩形面积为0.1810.18，500.189.答案：9例2某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412, 414,415,421,4
9、23,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395, 397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 茎叶图的画法及应用(1)作出茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论思维导引根据数据画出茎叶图，然后根据数据分布特点进行推断和估计解(1)(2)结合茎叶图可知：品种A的亩产平均数比品种B高；品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差 (1)茎
10、叶图中保留了原始数据，便于记录和表示(2)当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，而样本数据较多时，则不方便记录例3 (2012年高考湖南卷)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_思维导引从茎叶图中求出运动员在五场比赛中的分数，结合方差公式求解 用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)由茎叶图由小到大排列可以找到中间一个数或中间两个数，由此得到中位数，由其数据可以得到众数(2)由数据集中情况可以估计平均数大小，再根据其分散程度可以估测方差大小即时突破3 (2012江西八校联考)已知数据x1，x2，x3，xn分别是江西省普通职工
11、n(n3，nN*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn1，则这n1个数据中，下列说法正确的是()A年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变解析：由于世界首富的年收入xn1较大，故平均数一定会增大，差距会拉大，因此方差也会变大，选B.统计图表为载体的综合问题典例(13分)(2012年高考广东卷，文17)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是50,
12、60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得表：10分于是数学成绩在50,90)之外的人数为100(5204025)10.13分分数段50,60)60,70)70,80)80,90)x5403020xy11213445y5204025
