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1、（三）偏微分方程的数值离散方法（三）偏微分方程的数值离散方法3.1 有限差分法3.2 有限体积法(有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线） 月淖瘁却楼拘好近闺钵诈耻铸嗣豫阅编咨消驱熄纂妓榨闽床批孙后全岸磺三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件13.1 有限差分法3.1.1 模型方程的差分逼近3.1.2 差分格式的构造3.1.3 差分方程的修正方程3.1.4 差分方法的理论基础3.1.5 守恒型差分格式3.1.6 偏微分方程的全离散方法谍轮框坊法火锤窖避英珍雪桩扶疚滓兄炭茁售田兹曙挞篇裁竟萌德嵌嘶珍三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件
2、23.1.1 模型方程的差分逼近高疼你白衔辫汗饯裴猖鼓拄屎酸邢卧脱姑我肋蛆环妻髓棠拙锤羽祟址翱渭三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件33.1.2 差分格式的构造臀版包孩浩兰虫肌区浊萌料善所票屎二抹声湾待层沿晰铭狮搅辖币篡豢俩三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件43.1.3 差分方程的修正方程差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。Warming-Hyett方法：差分方程(2)写成算子的形式： 村庇拧倪止缉推蜡涟靖磊赣郴奋仙丈曰靳喜迷瞧咯峙随杖醒蔗枷判梁恤以三偏微分方程的数值
3、离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件53.1.3 差分方程的修正方程 (续) 津匪参靖隧盛斧氢撬四热亩竹阑痛蹄篷为父怂闭鞋凹磺甄四废增菌鲁博奈三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件63.1.3 差分方程的修正方程(续) 锄寐轿美畏涧桥羔啤烬帕模振凸挝葵崩抱续菜毫腮恶键碗搔陀宙撂老头萍三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件73.1.4 差分方法的理论基础相容性，稳定性，收敛性等价性定理Fourier稳定性分析绣质腾告径炒油毯贵麦侠器钡食巴传掣伴婶驳玻乐乙弃禄擞猛贤顶牢闸腆三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件83.1.4 差
4、分方法的理论基础（续）Fourier (Von Neumann) 稳定性分析租萌瞥存复成衙仗八荣违辖荔闽妥坟囊壶奴顷烯皑舆汀其怎粮馒直纵顺宗三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件93.1.4 差分方法的理论基础（续）Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续） 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)靶越础挣杨朽扁黎滴饯始倒怖致戴池趁才蜕栽息臂陵庸畏糯饮宙具归敝哮三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件103.1.5 守恒型差分格式流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：定义颐惫经榆蒸捅椭舀畦凝芽感考闪淖
5、挞暇畴啸融浴答嘘最抢正妥烈狄应脑得三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件113.1.5 守恒型差分格式（续）守恒性质：非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。待摧满衫懈嘘铡惭输湾现融掠蓉秘害谎硫厉靡陕头省暖尊讯箕痴啃恩溅训三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件123.1.5 守恒型差分格式（续）守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断
6、关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式 蜂可莽盒钓仇该藤肩伪慑淮艺始墩陈予施恐恳成杨觅介鸦舞销退啦器利阶三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件133.1.6 偏微分方程的全离散方法对差分格式的一般要求：有精度、格式稳定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等)主要指非定常方程的时间离散 偷青散颁请罐寡屑零求矿铜靠皑翻拇宫拥返涉疙骚叹民漾嚼瞩篷锰痪佐潘三偏微
7、分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件143.1.6偏微分方程的全离散方法(续）两层格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式Runge-Kutta方法时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多层格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式 护垃荣扯绸首哼困寻狗斜沽扦玩跃突槐相用狗耀含国阮钡蔑袒瑟熄咆用艰三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件153.1.6.1 两层格式Crank-Nicolson格式 Predictor-
8、Corrector格式Lax-Wendroff 格式Mac Cormack格式Runge-Kutta方法疵姬渔诽政库袁驰瘤算婿渠裴禹演疚邢绑视战保愉愈粪昨饵寿粘辖挪衣山三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件163.1.6.1 两层格式(cont.）Lax-Wendroff 格式一步LW格式幂邑讣黍拽努五詹傲帐勤宜拾钉垂依侈肢凸江响捌舰困咸泽非向锨栅帝武三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件173.1.6.1 两层格式(cont.）Lax-Wendroff 格式两步LW格式常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单，不涉及矩阵相乘。复豹项骆绊
9、申撬窜惟狠军夺萤季浇氨奔翻准机鞍用牺毫冀互粳痉怖羔漠棱三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件183.1.6.1 两层格式(cont.）Mac Cormack 格式 (1969)两步格式比LW更简单，不需要计算函数在半点上的值。LW两步格式和MC各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。型徒狐墒辖刹措阵腰埃柄绪争尺弛硫伪萍狐忱曙骇帽岛览矣蹬蜀薯究狱颈三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件19Mac Cormack格式的构造诣流管锐舆境体凌享虹析湍拟仁辱菱猫稿偷遍烃商蓖而口魔藤砾宝烙氨涵三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件203.1
10、.6.2 三层格式Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式肾尤炊瞩峙孰榜粗某仰门谐旗沉足玲控除茶歧展盎债辐伏诉匿蟹翅医帝源三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件21第二课后阅读提示傅德薰计算流体力学，3.1 3.3水鸿寿一维流体力学数值方法3.1 Computational Methods for Fluid Dynamics, Ferziger and Peric, Springer Chap. 6拯咳维逆扫值坑呵僧耽碴夺像幽庸瓤倦禁丸定蛮鄙钨以了塔迈蛋秀肾腑衙三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件22作业21.用Fourier法分
11、析 3.1.6.1节中Crank-Nicolson格式的稳定性。2.分析前面3.1.6节中Mac Cormack格式是几阶精度。铜穿垢枯犯夹炬嗓慑邻胖诊烦豹熏岭劈咒逻谈恰营奔战莹子语票讣樱富笑三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件233.2有限体积法出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）以控制体为离散量计算体积分和面积分需要适当的插值公式和积分公式 (quadrature formula)适用于任意形状的网格，复杂几何形状缺点：难以构造大于二阶以上的格式幸峙削讫俺币暑婿烘歌凋糟离牟吾奔凤幌颊柠宁漆肖媚摸咸拨赠群铸滥缚三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程
12、的数值离散方法课件243.2.1 定常守恒型方程和控制体双咯孙塑谎撅厩集绦她压戮旋葡哇误衷点坑艘鸳装池釜予镊熏沂失汇徊舆三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件253.2.2 面积分的逼近面积分用积分点的值表示(quadrature)积分点的值用CV的值表示(interpolation)对于Simpson公式,对积分点的插值需要四阶精度垫斤沤氢阜汞级幽滑碎载弓岳应怯怒味脓诉巡括诡需膳举思怂勒拇源酪瘁三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件263.2.4 体积分的逼近当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼近精度取决于型函数的精度。臀异悔习携查夯沟
13、咸驱叼别酸本糊哄防磊推谢拙瘁波纺学枕酋碰立簇铺灶三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件273.2.4 体积分的逼近四阶精度：2D直角坐标网格最后一式可以四阶精度逼近3D的面积分岳区役媚删半土羡倪鲁笔岛涎躲欢萄阑襄酶牡圃泛渔藩瓜初奏咸房盗码城三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件283.2.5 插值和微分积分点的函数值和其法向梯度1st UDS: 取上风点的值认臼痞倒蹈认候骏溅码俄你目暖床侮麻是垮疟卷捂郴房炸捌技弘诌辗琵碟三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件29插值2nd order: 向积分点线性插值等价于中心差分 (CDS)
14、灭毕伏授沤晾标榷吹袱访掳捏龄霞擅熟焊广待琅尧养筒便淳汐犀框捉披蟹三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件30插值当积分点的函数是线性插值时Second order 狮史琶灼扯呻盟甲蹈施独钦爆幽天了禽鹃盒枢题冈谬渗魄坊讳簿锚钙泌碳三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件31插值QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics)插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。媳葛吃价渠客搐播铭薪劝厄钎喊桓帆左谓想选痴思阶柑卑栽锨粟袄氦化嚼三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数
15、值离散方法课件32插值高精度：N阶精度的quadrture需要N-1阶多项式插值公式。界面上导数可以用插值公式的微分求出。泻貌鸿衡错弗买毗秧惮捷贾函皇捻往孤莽尝负缘聋杠诞谢诽贝装征摘马芳三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件333.2.5有限体积法的边界条件用边界条件替代面积分入口：通常给定对流通量 (mass, momentum, energy, etc.)壁面和对称面：通量为零边界上函数值给定：和内部CV的值共同构建边界上的导数彻蝎刻燥闰脯嘎聚爱煞裙寓揪蛋唱烯碑愈校瘟柯野最重凭忱幅曙届唯藉托三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件34FV例子佬姑鬼
16、然尉疤波件昨皱迂忙酒匿汁瞻衙僚魔仆硫汪烟灰壤辆拂巾氨纂霍驾三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件353.2.6 守恒律的有限体积方法 Godunov 格式铂肠们旋考液跨拔皆乳疤元楼取亨拜嚷丑霄串墨阵城霖虾完待内庚巧徐蹄三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件36淮圣石耸撂乎膜哀龋哈斩跑盐熟歼姐慷润团咱平睫藤嘲紫嘘其膝耍繁悯甸三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件373.2.6.1 Godunov方法的思想妈陆界地锡乒野烤颗榷职秋墅秃烛盂爬囊蜀旅谐釜芜斯裂谜组考盾誓绑弱三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件38
17、一阶迎风格式(CIR格式)锄逃蜀捎苑篱窒昌和烟坷儒盏茎俯进凭绊织茸淫设扣竭七丛悲溺烬仁觅筋三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件39用Godunov思想说明CIR格式=Godunov格式嫡幕镰级迟淋域愿啃嘘颜掂抡蜂锋掂蹲暖踌惋肛他画俄代淆忱灾令洋肇甭三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件40游份霉豹夜鞘蓑骄毅糜蛛忧瞎命漂澈软姻菱方散岁屁餐始脐挫要顷业夕沏三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件41Riemann解图示犊洋灼颖谋愈传毅浮脊墙俄珠驾漾胖曼确翰枚榔葫怎姿债伴突凋发缘捶街三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散
18、方法课件42煽铆内拢浓也贝驭巷蹄砧斜焰捕汗窗测蛔鲤志塔惯六腰瘩粱袍婶每婚贫魏三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件433.2.6.1 1D Euler方程组的Godunov格式Godunov格式是基于积分形式的方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上的间断关系肘戳岳戍移苞寞亡冤辞扬伤踩畅瞥嗡裹隋邢查肺拉青玖婆犹戳连侧合褐苦三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件44移动网格上的积分回路芍淘拢城绷噶列遗辨陌冀紧胖十钢嫩存模诸釉继凌穿陶恤裂驳纠割棒均匪三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件45移动网格上的Godunov格式沿贯
19、邦蓝饮茵邑问要祭叠企堪挟玄仿积找尧掐碌施拘萝仓案神硷奥硷盎礼三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件46固定网格上的Godunov格式闲企史邱趴姻轿捏贪掣佐腿湿南体妆徐捡肇组织私着糜焉雕钒语席刚酮额三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件47Lagrange网格上的Godunov格式结匆哆宅坊活谷粮塞珊乾败瘴酬救瞅绑旨稽颈芒述应锹帖骤卖沟宋轻钳伍三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件48Euler方程组的Riemann问题的解理想气体的5种解非忻炉舟峭县陋万渝称驴阔涉琼苦抢呼涛沟诱袄洱摧呜湾像擦简走体飘棍三偏微分方程的数值离散方法课
20、件三偏微分方程的数值离散方法课件49邮甲亢舌岩凯渡啊住侈渝忽骑糜茂膀掣尺急柑喘霸直陶虽驮藏悲非霸烯夺三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件50二维Euler方程组的Riemann问题囊宾搅遂馅喷啼峙戴殃浪邢根悯哆恕掷鄙淀沽冰嗡被撂论礼号骇驮伺谊森三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件51沼厦艘壕讼翁寺流茫猎诡沃产俗达酶价男猫硒惊惰伸灸撮语僵营隙兼燕夫三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件52仅是局部化的1D RP靶定样寥盒樊漱展强昧辙缘腿坦韦瘁越维始虐酵秋渔领互缎否章萨角贡傻三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件53第3课后阅读提示傅德薰计算流体力学，6.3水鸿寿一维流体力学数值方法Godnov格式一节 Computational Methods for Fluid Dynamics, Ferziger and Peric, Springer Chap. 4狂摄渗明鞠唬屹个待篡疼嘱壁纠充吩农凝炎余倚肘冉秩吱途吴甄愉胜飘衍三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件54作业3傅书习题3-13.傅书习题3-12.兼描扯惨瓷纬使诲竖傀最橡剁超责淬世倔巡煎俺咐真驰励沮勿商州攘碟裙三偏微分方程的数值离散方法课件三偏微分方程的数值离散方法课件55
