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1、 1 数学期望数学期望1.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望1.3 数学期望的性质数学期望的性质课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习 第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机
2、变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望、方差、协方差和相关系数数学期望、方差、协方差和相关系数1.1 1.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望 概念的引入：概念的引入：我们来看一个引例我们来看一个引例. 引例引例 从某手表厂出厂的产品中，随机抽查从某手表厂出厂的产品中，随机抽查100只，测其日走时误差只，测其日走时误差(X),得到得
3、到以下数据（单位：以下数据（单位：S）：）：日走时误差日走时误差xk- 2 -101234只数只数nk310172821165解解 这这100只手表的平均走时误差为：只手表的平均走时误差为：即即则有（当（当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数废品数X的平均值时，用概率代替的平均值时，用概率代替频率）频率）这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作我们就用这个数作为随机变量为随机变量X 的平均值的平均值 .定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布率是是离散型随机变量，它的分布率是:
4、PX=xk=pk , k=1,2,请注意请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛（保证级数可以换序，极限离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛（保证级数可以换序，极限存在）的级数的和存在）的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。数学期望简称期望，又称为均值。若级数若级数绝对收敛，绝对收敛，则称级数则称级数即的和为随机变量的和为随机变量X的数学期望，记为的数学期望，记为 ,1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望例例1 0 1 2 00.20.8 0 1 20.60.30.1例例3到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/
5、6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望. 例例4 按规定按规定,某车站每天某车站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一辆客车到站都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的但到站时刻是随机的,且两者且两者到站的时间相互独立。其规律为：到站的时间相互独立。其规律为： X 10 30 50 70 90 2. 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则则X落在小区间落在小区间xi, xi+1)的
6、概率是的概率是小区间小区间xi, xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为 由于由于xi与与xi+1很接近很接近, 所以区间所以区间xi, xi+1)中的值可以用中的值可以用xi来近似代替来近似代替.这正是这正是的渐近和式的渐近和式. 近似近似,因此因此X与以概率与以概率取值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数学期望的数学期望是是小区间小区间xi, xi+1)阴影面积近似为阴影面积近似为由此启发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果积分如果积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分值
7、为则称此积分值为X的数学期望的数学期望, 即即请注意请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.例例5则 例例7若将这两个电子装置串联连接组成整机若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机求整机寿命寿命(以小时计以小时计) N 的数学期望的数学期望.的分布函数为的分布函数为1.2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 1. 问题的提出：问题的提出： 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期的某个函数的期望，比如说望，比如说g(X)的期望的期望.
8、那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的的X的分布求出来的分布求出来. 一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计计算出来算出来. 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据的分布而只根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是
9、比较复杂的的分布，一般是比较复杂的 .(1) 当当X为离散型时为离散型时,它的分布率为它的分布率为P(X= xk)=pk ;(2) 当当X为连续型时为连续型时,它它的密度函数为的密度函数为f(x).若若定理定理 设设Y是随机变量是随机变量X的函数的函数:Y=g (X) (g是连续函数是连续函数) 该公式的重要性在于该公式的重要性在于: 当我们求当我们求Eg(X)时时, 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知的分布，而只需知道道X的分布就可以了的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便这给求随机变量函数的期望带来很大方便. 上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两
10、个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。机变量的函数的情况。机变量的函数的情况。机变量的函数的情况。例例例例8 8例例例例9 9 1.3数学期望的性质数学期望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X、Y 相互独立，则相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);（诸（诸Xi相互独立时）相互独立时）请注意请注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 独立独立数学期望性质的应用
11、数学期望性质的应用例例10求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.现在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望 . 可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随机变量的二项分布的随机变量X的数学期望是的数学期望是 n p. XB(n,p), 若设若设则则 X= X1+X2+Xn= npi=1,2，n因为因为 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-p所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功” 次数次数.E(Xi)= = p例例11 把把数数字字
12、1,2,n任任意意地地排排成成一一列列，如如果果数数字字k恰恰好好出出现现在在第第k个个位位置置上上，则则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解解: 设巧合个数为设巧合个数为X, k=1,2, ,n则则故故引入引入例例12 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有10个车站可以下车个车站可以下车,如到达如到达一个车站没有旅客下车就不停车一个车站没有旅客下车就不停车.以以X表示停车的次数，求表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各设每位旅客在各个车站下车是等可能的个车站下车是等
13、可能的,并设各旅客是否下车相互独立并设各旅客是否下车相互独立)按题意按题意按题意按题意 本题是将本题是将本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和分解成数个随机变量之和, ,然后利用随然后利用随然后利用随然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的数学期望的数学期望的数学期望的, ,此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义此方法具有一定的意义. .六、课堂练习六、课堂练习
14、六、课堂练习六、课堂练习1 某某人人的的一一串串钥钥匙匙上上有有n把把钥钥匙匙,其其中中只只有有一一把把能能打打开开自自己己的的家家门门,他他随随意意地地试试用用这这串串钥钥匙匙中中的的某某一一把把去去开开门门,若若每每把把钥钥匙匙试试开开一一次次后后除除去去,求求打打开开门门时时试试开开次次数数的的数学期望数学期望.2 2 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X的概率密度为的概率密度为的概率密度为的概率密度为 解解 1 设试开次数为设试开次数为X,于是于是 E(X) 解解解解 2 2Y Y是随机变量是随机变量是随机变量是随机变量X X的函数的函数的函数的函数, ,P(X=k)=1/n
15、, k=1, 2, , n 3 某种按季节出售的时令商品，每售出一公斤获某种按季节出售的时令商品，每售出一公斤获利润利润6元，如到季节尚有剩余商品，则每公斤净亏损元，如到季节尚有剩余商品，则每公斤净亏损2元设某商店在季节内这种商品的销售量元设某商店在季节内这种商品的销售量X （以公（以公斤计）是一随机变量，在区间上服从均匀分布为斤计）是一随机变量，在区间上服从均匀分布为使商店所或利润最大，使商店所或利润最大， 问商店应进货多少公斤？问商店应进货多少公斤？解解 设表示进货量，易知 进货t所得利润记为 ， 令依该题的实际意义可知，进货14公斤时平均利润最大 故七、小结七、小结 这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征均水平，是随机变量的一个重要的数字特征. 接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：方差方差
