《高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 文.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 文.ppt（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5讲直线、平面垂直的判定与性质考纲要求考点分布考情风向标1.理解以下判定定理.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.2.理解以下性质定理，并能够证明.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题2011 年大纲卷第 8 题考查直二面角的有关计算；2011 年新课标卷第 18 题(1)以四棱锥为背景，证明线线垂直；2012 年新课标卷第 19 题(1)以三棱柱为背景，证明面面垂直
2、；2013 年大纲卷第 11 题考查线面所成的角；2013 年新课标卷第 18 题考查直线与平面的位置关系；2013 年新课标卷第 19 题(1)以三棱柱为背景，证明线线垂直；2014 年新课标卷第 19 题(1)以三棱柱为背景，证明线线垂直；(2)考查线面位置判定定理、性质定理及求三棱柱的高；2015 年新课标卷第 18 题(1)以四棱锥为背景，证明面面垂直1.垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点.纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：基础知识，基本方法，基本能力.2.要重视和研究数学思想、数学方法.在本节中“化
3、归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口项目图形条件结论判定ab，b(b 为内的任意直线)aam，an，m，n，mnOaab，ab1.直线与平面垂直项目图形条件结论性质a，baba，bab(续表)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面2.平面与平面垂直3.直线与平面所成的角(1)如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所成的角等于 0.(2)如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等于90.(
4、3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.4.二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.1.垂直于同一条直线的两条直线一定()DCA.平行C.异面B.相交D.以上都有可能2.给定空间中的直线 l 及平面，条件“直线 l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面垂直”的()A.充要条件C.必要非充分条件B.充分非必要
5、条件D.既非充分又非必要条件3.如图851，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论中正确的个数是()D图 851BD1AC；BD1A1C1；BD1B1C.A.0 个C.2 个B.1 个D.3 个4.(2013 年新课标)已知 m，n 为异面直线，m平面，n 平面.直线 l 满足 lm，ln，l，l，则()A.，且 lB.，且 lC.与相交，且交线垂直于 lD.与相交，且交线平行于 l解析：根据所给的已知条件作图，如图D45.由图可知与相交，且交线平行于 l.故选 D.图 D45答案：D考点 1 直线与平面垂直的判定与性质例1：(2014 年山东)如图852，在四棱锥 PABCD 中，AP
6、E，F 分别为线段 AD，PC 的中点.(1)求证：AP平面 BEF；(2)求证：BE平面 PAC.图 852证明：(1)如图 D46，图 D46设 ACBEO，连接 OF，EC.由于 E 为 AD 的中点，AE BC.四边形 ABCE 为平行四边形.又 AEAB，则ABCE 为菱形.O 为 AC 的中点.又 F 是 PC 的中点，在PAC 中，PA OF.平面BEF，OF平面 BEF，且PAAP平面 BEF.(2)由题意知，EDBC，EDBC，四边形 BCDE 为平行四边形.因此 BECD.又 AP平面 PCD，APCD.因此 APBE.四边形 ABCE 为菱形，BEAC.又 APACA，A
7、P，AC平面 PAC ，BE平面 PAC .【规律方法】直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直，通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角.【互动探究】C1.如图 853，PA O 所在的平面，AB 是O 的直径，C是O 上的一点，E，F 分别是 A 在 PB，PC 上的射影，则下列)结论中正确命题的个数是(AFPB；EFPC；AFBC；AE平面 PBC.A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析：正确，又AF平面PBC，假设AE平面PBC，
8、AFAE，显然不成立，故错误.考点 2 平面与平面垂直的判定与性质例 2：(2015 年山东)如图 854，三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点.(1)求证：BD平面 FGH；(2)若 CFBC，ABBC，求证：平面 BCD平面 EGH.图 854(1)证法一：如图D47，连接DG，CD.设CDGFM，连接MH，在三棱台DEFABC 中，AB2DE，G 为AC 的中点，可得DFGC，DFGC.图 D47所以四边形 DFCG 是平行四边形，则 M 为 CD 的中点.又 H 为 BC 的中点，所以 HMBD.又 HM平面 FGH，BD 平面FGH，所以 BD平面
9、 FGH.证法二：在三棱台 DEFABC 中，由 BC2EF，H为BC的中点，可得 BHEF，BHEF.所以四边形 HBEF 为平行四边形，可得 BEHF.在ABC 中，G，H 分别为 AC，BC 的中点，所以 GHAB.又 GHHFH，所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD平面 ABED，所以 BD平面 FGH.(2)解：如图 D48，连接HE.因为G，H 分别为AC，BC 的中点，所以 GHAB.由 ABBC，得 GHBC.图 D48又 H 为 BC 的中点，所以 EFHC，EFHC.因此四边形 EFCH 是平行四边形.所以 CFHE.又 CFBC，所以 HEBC.又 HE，GH平面
10、EGH，HEGHH，所以 BC平面 EGH.又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.【规律方法】证明两个平面互相垂直，就是证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，从而将面面垂直的问题转化为线面垂直的问题.2.如图 855，在立体图形 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列结论正确的是()图 855A.平面 ABC平面 ABDB.平面 ABD平面 BDCC.平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED.平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE【互动探究】解析：要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直.因为 A
11、BCB，且 E 是AC 的中点，所以 BEAC，同理有 DEAC，于是AC平面 BDE.因为AC在平面 ABC 内，所以平面 ABC平面 BDE.又由于AC平面ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故选 C.答案：C考点 3 线面所成的角例3：如图856，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角.图 856解：如图856，连接BC1，交B1C于点O，连接A1O，设正方体的棱长为 a.BC1平面A1B1CD.A1O为A1B在平面A1B1CD内的射影.BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角. 【规律方法】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：先判断直线和平面的位
12、置关系；当直线和平面斜交时，常有以下步骤：作作出或找到斜线与平面所成的角；证论证所作或找到的角为所求的角；算常用解三角形的方法求角；结论点明斜线和平面所成角的值.又BA1O为锐角，BA1O30.故A1B与平面A1B1CD所成的角为30.3.(2013年大纲)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )【互动探究】解析：如图D49，连接AC交BD于点O，连接C1O，过点C作CHC1O于点H.图 D49答案：A难点突破立体几何中的探究性问题二例题：已知四棱锥 PABCD 的直观图及三视图如图 857.图 857(1)求四棱锥 PABCD 的体积
13、；(2)若点 E 是侧棱 PC 的中点，求证：PA 平面 BDE；(3)若点 E 是侧棱 PC 上的动点，是否无论点 E 在什么位置，都有 BDAE？并证明你的结论.思维点拨：(1)由直观图三视图确定棱锥的底面和高，再求体积.(2)欲证PA 平面BDE，需找一个经过PA 与平面BDE 相交的平面，结合 E 为 PC 的中点，AC 与BD 的交点为AC 的中点，故取平面 PAC.(3)“无论点 E 在 PC 上的什么位置，都有BDAE”的含义是 BD平面 PAC.(1)解：由四棱锥PABCD 的直观图和三视图知，该四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC2，(2)证明：如
14、图 858，连接AC，交BD于点 F，则 F 为 AC 的中点.又E 为 PC 的中点，PA EF.又PA平面 BDE，EF平面 BDE，PA 平面BDE.图 858(3)解：无论点 E 在什么位置，都有 BDAE.证明如下：四边形 ABCD 是正方形，BDAC.PC底面 ABCD，且 BD平面 ABCD，BDPC.又 ACPCC，BD平面 PAC.无论点 E 在 PC 上什么位置，都有 AE平面 PAC ，无论点 E 在 PC 上什么位置，都有 BDAE.1.证明线面垂直的方法.用线面垂直的定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面；用线面垂直的判定定理：若一直线垂直于平面内两
15、条相交直线，这条直线垂直于该平面；用线面垂直的性质定理：若两平行直线之一垂直于平面，则另一条直线也垂直于该平面；用面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直于另一个平面；如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的交线也垂直于第三个平面.2.判定面面垂直的方法.定义法.首先找二面角的平面角，然后证明其为直角；利用面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线.3.垂直于同一个平面的两条直线平行，是判定两条直线平行的又一重要方法，是实现空间中平行关系和垂直关系在一定条件下相互转化的一种手段.4.几个常用的结论.(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一直线的两个平面互相平行.5.空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.
