常数项级数概念与性质

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1、 常数项级数概念与性质常数项级数概念与性质第九章第九章 常数项级数常数项级数正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积引例引例 用圆内接正多边形的面积逼近圆的面积用圆内接正多边形的面积逼近圆的面积. .这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A A . .一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念(2) 物理物理乒乓球自高度为乒乓球自高度为H的地方落下的地方落下, ,每次每次弹回的高度是前次下落高度的弹回的高度是前次下落高度的2/3,则乒乓球跳动的时间为则乒乓球跳动的时间为1. 1. 级数的定义级数的定义则称表达式则称表达式为为常数项无穷级数常数项无穷级数，简称，简称常数项级

2、数常数项级数或或级数级数，给定数列给定数列称为级数的称为级数的通项通项。记作：记作：（常数项）级数（常数项）级数（1 1）的）的前前 n 项之和项之和Sn称为称为级数（级数（1 1）的）的部分和部分和部分和也构成一个数列部分和也构成一个数列 Sn 易见易见故故n越大误差越大误差|S Sn|越越小小. .2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散定义定义(1) 若若则称则称收敛收敛, ,(2) 若若不存在不存在, , 则称级数则称级数发散发散. .(3) 设设则称则称为该级数的为该级数的余项余项, ,记为记为并称并称S S为该级数的为该级数的和和, ,无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：K

3、och雪花雪花. . 给定一个正三角形，在每条边上给定一个正三角形，在每条边上对称地产生边长为原边长的对称地产生边长为原边长的1/31/3的外的外凸小正三角形如此反复操作，可凸小正三角形如此反复操作，可以得到了面积有限而周长无限的图以得到了面积有限而周长无限的图形形“Koch雪花雪花”第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推周长为周长为面积为面积为第第 次分叉：次分叉：于是有于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）例例讨论下列级数的敛散性：讨论下列级数的敛散性：(1) (1) 等比级数等比级数( (几何级数几何级数) )当当|q|1时，由于时，由于 不存在，所以不存在，所以 不不存在存在解解 部分和部分和当当|q|0, N N+, 当当nN时时, p N+, 有有设设则则例例9解解: :所以级数收敛，所以级数收敛，习题习题9.1(P201-202)2(2), 3(2), 5(1)(2)(5), 6, 7, 8(1)