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1、1第七章第七章 微分方程微分方程习题课习题课2基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特
2、征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容31 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 4通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，
3、这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题5(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法(2) 齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换6齐次方程齐次方程（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方
4、程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程7(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法8非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（常数变易法）（常数变易法）(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.9解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程其中其中形如形如(6) 全微分方程全微分方程10注意：注意：
5、解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为11(7) 可化为全微分方程可化为全微分方程形如形如8观察法观察法: :熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子12常见的全微分表达式常见的全微分表达式可选用积分因子可选用积分因子133 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得14特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得、线性微分方程解的结构、
6、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :15（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :1617、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.18特征方程为特征方程为19特征方程为特征方程为特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项推广：推
7、广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法20、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.2122二、典型例题二、典型例题例例1 1解解原方程可化为原方程可化为23代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为24例例2 2解解原式可化为原式可化为原式变为原式变为对应齐方通解为对应齐方通解为一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程25代入非齐方程得代入非齐方程得原方程的通解为原方程的通解为利用常数变易法利用常数变易法26解：将原方程写成 2
8、7例例4 4解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为28例5 已知方程 有三个解 ，求此方程满足初始条件 的特解。 解：由线性微分方程解的结构理论知， 及 是对应齐次方程 的解且它们线性无关， ，所以对应齐次方程的通解故原方程的通解为 所求特解为 29例例6 6解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为30原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为31由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为32例例7 7解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对
9、应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为33由由解得解得34故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即35例例8 设且满足方程求提示提示: 上式两边对 x 求导两次 ：因此问题化为解下列初值问题最后求得36已知 在全平面上与路径无关，其中 具有连续的一阶导数，并且当 是起点在（0，0），终点为（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于 ，试求函数 。解： 37解解例例1010则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得38解此方程得解此方程得代入上式得代入上式得39例例11 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系. 设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用 ,设仪器质量为 m ,体积为B , 海水比重为 , 仪器所受阻力与下沉速度成正阻力与下沉速度成正 比比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . 提示提示: 建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律得重力重力浮力浮力 阻力阻力40初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量 m体积 B41测测 验验 题题4243444546474849测验题答案测验题答案50
