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1、第六章 群、环、域 6.5 环环一、环的定义一、环的定义二、环的性质二、环的性质三、环的同态与同构三、环的同态与同构一、环的定义的定义定义定义6.6.1设设R是一个非空集合，其中有加法乘法两种是一个非空集合，其中有加法乘法两种二元代数运算，二元代数运算，R叫做一个环，如果叫做一个环，如果1)a+b=b+a，2)a+(b+c)=(a+b)+c，3)R中有一个元素中有一个元素0，适合，适合a+0=a，4)对于对于R中任意中任意a,有有-a,适合适合a+(-a)=0，5)a(bc)=(ab)c，6)a(b+c)=ab+ac，(a+b)c=ac+bc。注意：环与群一样都可以只由一个元素构成注意：环与群
2、一样都可以只由一个元素构成。一、环的定义的定义例例1 1（1 1）所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫做所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫做整整数环数环。0,1,0,1,n-1,n-1在模在模n n加法与乘法下也作成环，叫做加法与乘法下也作成环，叫做模模n n整数环整数环。 （2 2）所有）所有n n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环，叫做阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环，叫做矩阵环矩阵环。（3 3）实数域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一）实数域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一个环，叫做个环，叫做多项式环多项式环。（4 4）整数模）整数模n n的所有剩余类集
3、合的所有剩余类集合0,1,0,1,n-1,n-1在剩余类加法在剩余类加法与乘法下作成一个环。叫做与乘法下作成一个环。叫做模模n n剩余类环剩余类环。（5 5）所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法和乘法）所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法和乘法下都可作成环。下都可作成环。二、环的性质性质性质6.6.1用数学归纳法，分配律可以推广如下：用数学归纳法，分配律可以推广如下：a（b1+bn）=ab1+abn，（a1+am）b=a1b+amb，如果环中乘法满足除分配律以外的其他算律，就得如果环中乘法满足除分配律以外的其他算律，就得到一些特殊的环，我们将逐步介绍。到一些特殊的环，我们将逐步介绍。二
4、、环的性质性质性质6.6.2a(c-b)=ac-ab，(c-b)a=ca-ba。证明：由证明：由a(c-b)+ab=a(c-b+b)=ac，得得a(c-b)=ac-ab。同理，。同理，(c-b)a=ca-ba。证明：由性质证明：由性质2，令，令b=c=0，得，得a0=a（0-0）=a0-a0=0，0a=（0-0）a=0a-0a=0，即即a0=0，0a=0。性质性质6.6.4a(-b)=-(ab)，(-a)b=-(ab)，(-a)(-b)=ab。证明：由性质证明：由性质2，令，令c=0，即得，即得a(-b)=a(0-b)=a0-ab=-(ab)，(-a)b=(0-a)b=0b-ab=-（ab）。
5、）。因此，因此，(-a)(-b)=-(a(-b)=-(-(ab)=ab。性质性质6.6.5对任意整数对任意整数m，都有，都有a(mb)=(ma)b=m(ab)。性质性质6.6.6am+n=aman，(am)n=amn。性质性质6.6.3a0=0，0a=0。二、环的性质定义定义6.6.2设设R为环，如果为环，如果R的乘法适合交换律的乘法适合交换律ab=ba，则称，则称R为交换环。为交换环。例例3 3整数环、多项式环都是交换环，整数环、多项式环都是交换环，矩阵环不是交换环。矩阵环不是交换环。性质性质6.6.8在交换环中二项式定理成立：在交换环中二项式定理成立：(a+b)n=an+nan-1b+an
6、-2b2+bn。性质性质6.6.7在交换环中，有第三指数律：在交换环中，有第三指数律：(ab)n=anbn。二、环的性质定义定义6.6.3如果如果R不只有一个元素而且有一个元素不只有一个元素而且有一个元素1，对，对任意任意a R都满足都满足1a=a1=a，则称则称R为含壹环。为含壹环。从这个定义可以看出，含壹环至少有两个元素构成。从这个定义可以看出，含壹环至少有两个元素构成。如模如模2的整数环。的整数环。例例4 4整数环为含壹环，所有偶数在数的整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环。加法和乘法下作成的环不是含壹环。性质性质6.6.9含壹环含壹环R的壹是唯一确定的。的壹是唯
7、一确定的。证明：若证明：若1、1为为R的两个壹，则的两个壹，则1=11=1。性质性质6.6.10设环设环R有有1，则，则10。证明：取证明：取a R,且且a0,则则a0=0,而而a1=a,故故10。性质性质6.6.11任意环任意环R均可扩充成一个含壹环均可扩充成一个含壹环R+。证明：令证明：令R+=a m|a R，m Z。规定：。规定：（a m）+（b n）=（a+b） （m+n）;（a m）（）（b n）=（ab+na+mb） mn。则则R+为环，其壹为为环，其壹为0 1。例例5 5设设R= aR= a、b b Z Z ，则，则R R对矩阵的加对矩阵的加法与乘法构成一个环法与乘法构成一个环(
8、R,+,(R,+, ) )。该环对乘法没。该环对乘法没有单位元有单位元1 1，通过扩充，通过扩充R R得到的得到的R R+ +是一个含是一个含1 1环。环。二、环的性质结论：结论：R本身以及本身以及0是是R的两个平凡子环。的两个平凡子环。定义定义6.6.4若若R是环是环,S是是R的非空子集，若的非空子集，若S在在R的加的加法和乘法下仍是环，则称法和乘法下仍是环，则称S是是R的子环。的子环。定理定理6.6.1环环R的子集的子集S作成子环必要而且只要，作成子环必要而且只要，（1）S非空；非空；（2）若）若a S，b S，则，则a-b S;（3）若）若a S，b S，则，则ab S。二、环的性质二、
9、环的性质例例6 6任意域任意域F F上的所有上的所有n(1)n(1)阶方阵做成的环，有壹阶方阵做成的环，有壹其中，所有如下形式的其中，所有如下形式的n n阶方阵阶方阵 ，a a F F作成一个子环，有壹作成一个子环，有壹 。定理定理6.6.1环环R的子集的子集S作成子环必要而且只要，作成子环必要而且只要，（1）S非空；非空；（2）若）若a S，b S，则，则a-b S;（3）若）若a S，b S，则，则ab S。二、环的性质环的壹未必也是子环的壹。环的壹未必也是子环的壹。二、环的性质定义定义6.6.5若若R是环，是环，a、b R，如果，如果a0、b0，但，但ab=0，则称，则称a、b为零因子。
10、为零因子。如果如果R没有这样的元素，则说没有这样的元素，则说R无零因子。无零因子。无零因子的环称为消去环。无零因子的环称为消去环。二、环的性质例例7 7整数环是消去环；矩阵环不是消去环，有整数环是消去环；矩阵环不是消去环，有零因子，比如，零因子，比如，二、环的性质例例8 8证明在模证明在模p p下的整数环下的整数环(Z(Zp p,+,*),+,*)是无零因子环当是无零因子环当且仅当且仅当p p为质数。为质数。证明：已知整数环证明：已知整数环Z Zp p=0,1,2,=0,1,2,p-1,p-1。（必要性）用反证法。假设（必要性）用反证法。假设p p不是质数不是质数p=st,1p=st,1 s,
11、t s,t p p。再想到。再想到p p是模，则有是模，则有st(mod p)=0st(mod p)=0，则，则s s、t t就是就是Z Zp p中的零因子，矛盾。故中的零因子，矛盾。故p p为质数。为质数。（充分性）若（充分性）若p p为质数，从为质数，从Z Zp p中任取中任取a a、b b，若有，若有ab=0ab=0，不妨设，不妨设a a 0 0，从从Z Zp p的定义可推出的定义可推出p p abab，而，而p p为质数为质数且且a a p p，故，故p p只能整除只能整除b b，但，但b b p p，因此，因此b b只能为只能为0 0，所，所以以Z Zp p为无零因子环。为无零因子环
12、。二、环的性质性质性质6.6.12R是消去环是消去环iffR中消去律成立。中消去律成立。证明：证明：必要性必要性。如果。如果a0且且ab=ac,那么那么ab-ac=0,即即a（b-c）=0。因环。因环R中无零因子，而中无零因子，而a0,故必有故必有b-c=0，即，即b=c，因此，消去律成立。，因此，消去律成立。充分性充分性。设消去律成立，即由。设消去律成立，即由a0且且ab=ac可推出可推出b=c。若。若ab=0,而而a0,则则ab=a0,因而由消去律可得因而由消去律可得b=0。故。故R无零因子，无零因子，R是消去环。是消去环。性质性质6.6.13在消去环在消去环R中，不为中，不为0的元素在加
13、法下的的元素在加法下的周期相同。周期相同。证明：（证明：（1）若不为）若不为0的元素在加法下的周期都为的元素在加法下的周期都为0，则得证。则得证。（2）否则，任取）否则，任取R中非零元素中非零元素a，b，设，设a的周期为的周期为m，b的周期为的周期为n，故，故ma=0，nb=0。则：。则：一方面，一方面，a(mb)=(ma)b=0b=0，又由，又由a0，且且R无零因子知，无零因子知，mb=0。而。而b的周期为的周期为n，故，故n|m。另一方面，另一方面，(na)b=a(nb)=a0=0，又由，又由b0,且且R无零因子知，无零因子知，na=0。而。而a的周期为的周期为m,故故m|n。因此，因此，
14、m=n。性质性质6.6.14在消去环在消去环R中，不为中，不为0的元素在加法下的的元素在加法下的周期或为周期或为0或为质数。或为质数。证明：设证明：设a R，a0，且，且a的周期为的周期为n，故，故na=0。（1）若）若n=0，则得证。，则得证。（2）否则，只需证）否则，只需证n是质数。是质数。用反证法。设用反证法。设n不是质数，则不是质数，则n=n1n2，且，且n11，n21。故。故1n1n，1n2n。显然，。显然，n1a、n2a R，由由a的周期为的周期为n知，知，n1a0，n2a0。而。而(n1a)(n2a)=(n1n2)(aa)=(na)a=0a=0，故故n1a、n2a为零因子，与为零
15、因子，与R无零因子矛盾。无零因子矛盾。因此，原假设不对，因此，原假设不对，n是质数。是质数。二、环的性质定义定义6.6.6 有壹无零因子的交换环称为整区。有壹无零因子的交换环称为整区。定义定义6.6.8交换体称为域。交换体称为域。在域中，在域中，ab-1可以写成可以写成。定义定义6.6.7 如果去掉如果去掉0，R的其余元素作成一个乘法群，的其余元素作成一个乘法群，则称环则称环R为体。为体。结论：体有壹而且无零因子，任意非零元素有逆。结论：体有壹而且无零因子，任意非零元素有逆。例例9 9所有有理数、所有实数、所有复数在数的加所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法和乘法下都可作成环、整区、体、域
16、。法和乘法下都可作成环、整区、体、域。所有整数在数的加法和乘法下都可作成环、整区，所有整数在数的加法和乘法下都可作成环、整区，但不能作成体、域。但不能作成体、域。二、环的性质例例1010下述集合在规定运算下是环、整区、体、域吗？下述集合在规定运算下是环、整区、体、域吗？（1 1）a+b a+b a,ba,b ZZ关于数的加法和乘法；关于数的加法和乘法；（2 2）a+b a+b a,ba,b QQ关于数的加法和乘法关于数的加法和乘法; ;（3 3）a+b a+b a,ba,b ZZ关于数的加法和乘法；关于数的加法和乘法；（4 4）a+bi a+bi a,ba,b Z,iZ,i2 2=-1=-1关
17、于复数的加法和乘法；关于复数的加法和乘法；（5 5）n n2,2,所有所有n n阶实矩阵集合阶实矩阵集合M Mn n(R)(R)关于矩阵的加法和乘法；关于矩阵的加法和乘法；（6 6）x x的实系数多项式集合关于多项式的加法和乘法；的实系数多项式集合关于多项式的加法和乘法；（7 7）实数集合）实数集合R R关于加法关于加法+ +和乘法和乘法* *，其中，其中+ +是普通加法，是普通加法，* *规规定对定对R R中任意中任意a a、b b，有，有a*b=a*b=a ab b。答：（答：（1 1）是整区，不是体和域；）是整区，不是体和域； （2 2）是整区、体和域；）是整区、体和域； （3 3）不是
18、环；）不是环； （4 4）是整区，不是体和域；）是整区，不是体和域； （5 5）是环，不是整区、体和域；（）是环，不是整区、体和域；（6 6）是整区，不是体和域；）是整区，不是体和域； （7 7）不是环。）不是环。二、环的性质例例1111试试证证：假假定定R R是是无无零零因因子子的的有有限限环环，且且不不只只有有一一个个元元素素，则则R R必是一个体。必是一个体。证明：证明：只需证明环只需证明环R R中所有非零元素可以做成乘法群。中所有非零元素可以做成乘法群。1.1.由由R R中不只有一个元素，知中不只有一个元素，知R R* *=R-0=R-0非空。非空。2.2.任任取取a a、bRbR*
19、*，即即a0a0、b0b0，由由R R无无零零因因子子，知知ab0ab0，即即abRabR* *。 3.3.由环由环R R对乘法适合结合律知，对乘法适合结合律知，R R* *对乘法亦适合结合律。对乘法亦适合结合律。4.4.由由R R无零因子知，无零因子知，R R* *中消去律成立。中消去律成立。5.5.由由R R有限，知有限，知R R* *有限。有限。 所以环所以环R R中所有非零元素做成乘法群，因而是体。中所有非零元素做成乘法群，因而是体。 二、环的性质例例1212试证：试证：有限整区是域。有限整区是域。证证明明：因因为为有有限限整整区区是是有有限限的的无无零零因因子子、含含壹壹环环，所所以
20、以有有限限整整区区是是体体。再再由由整整区区是是交交换换环环，知知：有有限限整整区区是交换体，因此是域。是交换体，因此是域。二、环的性质有限域的例有限域的例设设R=0,1,2,3,4R=0,1,2,3,4，定义，定义R R上的运算如下：上的运算如下： ab=a+b(mod 5)ab=a+b(mod 5) ab=ab(mod 5) ab=ab(mod 5)则可以证明（则可以证明（R R，）是域。）是域。 1 1，2 2，3 3，4 4的加法周期是？的加法周期是？ 1 1，2 2，3 3，4 4的乘法周期分别是？的乘法周期分别是？二、环的性质 练习题练习题试证试证:(Z:(Zp p,+,*),+,
21、*)是域是域 iff piff p为质数。为质数。二、环的性质证明：证明：据据例例8 8， (Z (Zp p,+,*),+,*)是无零因子环是无零因子环 iff piff p为质数，为质数，而显然而显然(Z(Zp p,+,*),+,*)是含壹、交换环，因此有是含壹、交换环，因此有 (Z(Zp p,+,*),+,*)是整区是整区 iff piff p为质数。为质数。又又(Z(Zp p,+,*),+,*)是有限环，故是有限环，故 (Z (Zp p,+,*),+,*)是有限整区是有限整区 iff piff p为质数。为质数。再据再据例例1212有有 (Z (Zp p,+,*),+,*)是域是域 if
22、f piff p为质数为质数。二、环的性质 练习题练习题试证试证:(Z:(Zp p,+,*),+,*)是域是域 iff piff p为质数。为质数。Zp中非零元的加法周期是？中非零元的加法周期是？二、环的性质例例1313试证有理数域无真子域。试证有理数域无真子域。证明：假设有理数域证明：假设有理数域Q Q存在一个子域存在一个子域S S，看看是否可，看看是否可通过域的性质推出这个子域等于通过域的性质推出这个子域等于Q Q，如果没有好的判，如果没有好的判定定理或方法可供我们直接使用，我们再考虑反证定定理或方法可供我们直接使用，我们再考虑反证法。法。由由S S是域可知是域可知1 1 S S，从而对任
23、意的正整数，从而对任意的正整数p p， p= p= S S，且且-p-p S S。对任意正整数。对任意正整数 q q S S，q q 0 0，则，则q q的逆元的逆元q q-1-1=1/q=1/q S S。根据乘法的封闭性，。根据乘法的封闭性， S S，这就推出，这就推出Q Q S S。二、环的性质定义定义6.6.9体体K的一个子环，若仍为体，则叫子体；的一个子环，若仍为体，则叫子体；若又为域，则叫若又为域，则叫K的子域。同样，对于域的子域。同样，对于域F，也可以，也可以有有F的子环和子域。的子环和子域。二、环的性质四元数体四元数体-是体但不是域的例是体但不是域的例是体但不是域的例是体但不是域
24、的例四元数四元数：取三个符号：取三个符号i、j、k，以实数，以实数a、b、c、d为系数而作形式的线性组合为系数而作形式的线性组合a+bi+cj+dk，称，称为一个四元数。为一个四元数。二、环的性质四元数间运算的规定四元数间运算的规定：（1）加法运算）加法运算(a1+b1i+c1j+d1k)+(a2+b2i+c2j+d2k)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j+(d1+d2)k。（2）乘法运算：）乘法运算：先规定先规定i、j、k之间的乘法：之间的乘法：i2=j2=k2=-1，ij=k，jk=i，ki=j；ji=-k，ik=-j，kj=-i。两个四元数相乘时，只需按分配律展开、再两
25、个四元数相乘时，只需按分配律展开、再计算每个加法项的计算每个加法项的i、j、k之积、最后合并同类加之积、最后合并同类加法项。法项。二、环的性质（a1+b1i+c1j+d1k）（）（a2+b2i+c2j+d2k）= a1a2 + a1b2i + a1c2j + a1d2k+ b1a2i - b1b2 + b1c2k - b1d2j + c1a2j - c1b2k - c1c2 + c1d2i+ d1a2k + d1b2j - d1c2i - d1d2= a1a2 - b1b2 - c1c2 - d1d2 +（a1b2 + b1a2 + c1d2 - d1c2）i+（a1c2 + c1a2 + d
26、1b2 - b1d2）j+（a1d2 + d1a2 + b1c2 - c1b2）k二、环的性质在上面加法和乘法运算下，所有四元数作成一个环。在上面加法和乘法运算下，所有四元数作成一个环。有壹：有壹： 1+0i+0j+0k任意非任意非0四元数有逆：四元数有逆：设四元数设四元数u=a+bi+cj+dk，定义其共轭四元数为，定义其共轭四元数为=abicjdk。则则u=a2+b2+c2+d2。可知，若。可知，若u0（即若（即若u0+0i+0j+0k），则），则u0，而，而u-1=。所以此环为体，但不是域（所以此环为体，但不是域（ ij=-ji ji ），称为四元数），称为四元数体。体。独异点独异点群群
27、交换群交换群循环群循环群半群半群含一种代数运算含一种代数运算代数系统代数系统域域整区整区体体交换环交换环无零因子环无零因子环含壹环含壹环含两种代数运算含两种代数运算环环环环含含壹壹环环交交换换环环消去环消去环体体域域整区整区域：含壹交换单纯环。域：含壹交换单纯环。有限整区必为域，反之未必有限整区必为域，反之未必1习题习题6.5.4 作业8谢谢一、环的定义的定义真子群（propersubgroup）正规子群（NormalSubgroup，不变子群（InvariantSubgroup）检验结合律（Lightsassociativitytest）轮换（cycle），对换（Transpositions
28、）一、环的定义的定义体（corps，反称域skewfield，除环 divisionring）整区（Integraldomain？）单纯环（simplering）零因子（ zero-divisors ）含壹环（ unital ring,unitary ring,ring with unity,ring with identity ）模格（modulelattice）一、环的定义的定义例例2 2S S4 4的子群的子群R=I,(12),(34),(12)(34)R=I,(12),(34),(12)(34)是个交换是个交换群。群。 将将I,(12),(34),(12)(34)I,(12),(34)
29、,(12)(34)分别记为分别记为0,a,b,c0,a,b,c。规定规定R R的两个运算的两个运算+ +和和* *如下表如下表则可以验证则可以验证(R,+,*)(R,+,*)是一个环。是一个环。0abcca0cbbbc0aacba00cba0+0000c0000b0000a00000cba0*一、环的定义的定义例例2 2S S4 4的子群的子群R=I,(12),(34),(12)(34)R=I,(12),(34),(12)(34)是个交换是个交换群。群。 将将I,(12),(34),(12)(34)I,(12),(34),(12)(34)分别记为分别记为0,a,b,c0,a,b,c。规定规定R
30、 R的两个运算的两个运算+ +和和* *如下表如下表则可以验证则可以验证(R,+,*)(R,+,*)是一个环。是一个环。0abcca0cbbbc0aacba00cba0+00c0c00b0b00a0a00000cba0*一、环的定义的定义例例2 2S S4 4的子群的子群R=I,(12),(34),(12)(34)R=I,(12),(34),(12)(34)是个交换是个交换群。群。 将将I,(12),(34),(12)(34)I,(12),(34),(12)(34)分别记为分别记为0,a,b,c0,a,b,c。规定规定R R的两个运算的两个运算+ +和和* *如下表如下表则可以验证则可以验证(
31、R,+,*)(R,+,*)是一个环。是一个环。0abcca0cbbbc0aacba00cba0+c0c0cb0b0ba0a0a00000cba0*一、环的定义的定义例例2 2S S4 4的子群的子群R=I,(12),(34),(12)(34)R=I,(12),(34),(12)(34)是个交换是个交换群。群。 将将I,(12),(34),(12)(34)I,(12),(34),(12)(34)分别记为分别记为0,a,b,c0,a,b,c。规定规定R R的两个运算的两个运算+ +和和* *如下表如下表则可以验证则可以验证(R,+,*)(R,+,*)是一个环。是一个环。0abcca0cbbbc0aacba00cba0+ccc0cbbb0baaa0a00000cba0*关于有限环的分配律的筹表检验法关于有限环的分配律的筹表检验法对对“有限环分配律的筹表检验法有限环分配律的筹表检验法”的改进的改进关于有限环的分配律的一个检验方法关于有限环的分配律的一个检验方法
