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1、2024/8/11l 为什么要学数理统计为什么要学数理统计 数理统计数理统计是运用概率论的基础知识，更侧重于应用随是运用概率论的基础知识，更侧重于应用随机现象本身的规律性来考虑资料的收集整理和分析，建机现象本身的规律性来考虑资料的收集整理和分析，建立有效的数学方法，从而找出相应的随机变量的分布律立有效的数学方法，从而找出相应的随机变量的分布律或它的数字特征，对所关心的问题作出估计与检验。或它的数字特征，对所关心的问题作出估计与检验。 概率论中的一个最基本的假设就是：概率论中的一个最基本的假设就是：研究对象的分布研究对象的分布已知。已知。而在实际中，我们往往不知道随机变量，的确切而在实际中，我们
2、往往不知道随机变量，的确切分布，这就是数理统计所讨论问题的应用背景，它需要分布，这就是数理统计所讨论问题的应用背景，它需要用已有的用已有的部分信息部分信息去去推断整体推断整体情况。情况。 数理统计研究内容十分广泛，其中一类重要的问题便数理统计研究内容十分广泛，其中一类重要的问题便是是统计推断统计推断.统计推断是利用试验数据对研究对象的性质统计推断是利用试验数据对研究对象的性质作出推断，其中有两个重要方面：作出推断，其中有两个重要方面：参数估计参数估计和和假设检验假设检验。2024/8/12概括地讲，数理统计研究以有效的方式概括地讲，数理统计研究以有效的方式统计推断：统计推断： 研究如何加工、处
3、理数据，从而研究如何加工、处理数据，从而采集、采集、整理整理察的问题做出察的问题做出推断和预测，推断和预测，直至提供依据和建议直至提供依据和建议. .和分析受到和分析受到随机随机因素影响的数据，因素影响的数据，并对所考并对所考对所考察对象的性质做出对所考察对象的性质做出尽可能精确尽可能精确和和可靠的可靠的推断推断. .2024/8/13第五章数理统计的基本概念总体与样本总体与样本统计量统计量数理统计中几个常用分布数理统计中几个常用分布抽样分布定理抽样分布定理2024/8/14总体总体: : 在数理统计中研究对象的全体在数理统计中研究对象的全体个体个体： 组成总体的每个单元组成总体的每个单元 例
4、如在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的例如在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体。但是全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体。但是在统计里，由于我们关心的不是每个个体的种种具体在统计里，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或某几项数量指标特性，而仅仅是它的某一项或某几项数量指标X和该和该数量指标数量指标X在总体中的分布情况。在上述例子中在总体中的分布情况。在上述例子中X是是表示灯泡的寿命，就此数量指标表示灯泡的寿命，就此数量指标X而言，每个个体所而言，每个个体所取的值是不同的。取的值是不同的。5.1 5.1 总体与样本总体与样
5、本总体与个体总体与个体2024/8/15n样本的定义样本的定义: : 从总体从总体X中，随机地抽取中，随机地抽取n个个体：个个体：随机样本与样本值随机样本与样本值称为总体称为总体X的一个的一个样本样本，记为，记为样本中所包含个体的总数样本中所包含个体的总数n称为称为样本容量样本容量.n样本值样本值: : 每一次抽取所得到的每一次抽取所得到的n个具体数值：个具体数值：称为一个称为一个样本值（观察值）。样本值（观察值）。2024/8/16 由于我们是利用样本观察来对总体的分布进行推由于我们是利用样本观察来对总体的分布进行推断，因而从总体中抽取样本进行观察时必须是随机的。断，因而从总体中抽取样本进行
6、观察时必须是随机的。所以对于随机抽样来说，对其某一次观察结果而论，所以对于随机抽样来说，对其某一次观察结果而论，是完全确定的一组值，但它又是随每次抽样观察而改是完全确定的一组值，但它又是随每次抽样观察而改变的，由于我们要依据这一观察结果进行分析推断，变的，由于我们要依据这一观察结果进行分析推断，并研究比较各种推断方法的好坏，因而一般考虑问题并研究比较各种推断方法的好坏，因而一般考虑问题时，就不能把看为确定的数值，而应该看作为时，就不能把看为确定的数值，而应该看作为随机向随机向量量X= (X1,X2, ,Xn) ，称它为容量是，称它为容量是n的样本，因而的样本，因而对样本也有分布可言。对样本也有
7、分布可言。数理统计的基本任务是：数理统计的基本任务是：根据从总体中抽取的样本，根据从总体中抽取的样本，利用样本的信息推断总体的性质利用样本的信息推断总体的性质. .2024/8/17总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统统计计是是从从已已有有的的资资料料样样本本的的观观察察值值，去去推推断断总体的情况总体的情况总体分布。总体分布。样本是联系两者的桥梁。样本是联系两者的桥梁。总总体体分分布布决决定定了了样样本本取取值值的的概概率率规规律律，可可以以用用样样本观察值去推断总体本观察值去推断总体？2024/8/18 则称
8、则称两个特征：两个特征：获得简单随机样本的抽样方法称为获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样简单随机抽样. .(1) (1) 代表性：代表性：(2) (2) 独立性：独立性：若来自总体若来自总体的样本的样本具有下列具有下列中每一个与总体中每一个与总体有相同的分布有相同的分布. .是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量. .为为n n的简单随机样本的简单随机样本. .n简单随机样本简单随机样本2024/8/19定理：定理：定理：定理：样本的分布样本的分布2024/8/110解解由独立性有由独立性有: 2024/8/111解解P133 例例5.22024/8/112直方图与经验分布函数直方图
9、与经验分布函数2024/8/1132024/8/1142024/8/115例例 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听听饮料，称得其净重（克）为：饮料，称得其净重（克）为： 351 347 355 344 351x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 351, x(5)= 355分析：分析：这是一个容量为这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本：的样本，经排序可得有序样本：经验分布函数经验分布函数 0 ， x 344 0.2， 344 x 347Fn(x) = 0.4， 347 x 351 0.8， 35
10、1 x 9）0.050，2分布的分布的密度函数为密度函数为2024/8/139 2 分布说明分布说明（1 1） 当随机变量当随机变量 2 2(n) 时，对给定的时，对给定的 (0 1)，称满足称满足P ( 2 2 (n) ) 的的 2 (n) 是自由度为是自由度为 n 的的 2分布的分布的上上 分位数分位数（2 2）分位数）分位数 2 (n) 可从可从附表附表4 查到。查到。分位数分位数 2 (n) 近似公式近似公式2024/8/1402024/8/141 2 2分布密度曲线分布密度曲线（4） 2分布形状取决于参数df 即n： n1，曲线极端左偏，呈反 J 型；随着n 增大，曲线渐趋左右对称。
11、当n 30时， 2 分布趋于正态分布。2024/8/142t分布设随机变量设随机变量X与与Y独立，且独立，且X N(0,1), Y 2(n), , 则，称则，称称 t(n) 为自由度为自由度为n的 t分布，记为t t(n) 1.1. t t 分布定义分布定义 2024/8/143t t( (n n) ) 的概率密度为的概率密度为2024/8/144 （1 1）t t 分布受自由度（分布受自由度（ df =ndf =n）制）制约约，每一个自由度，每一个自由度都有一条都有一条 t t 分布密度曲分布密度曲线线。 （2 2）密度曲）密度曲线线关于关于t=0t=0t=0t=0( (纵轴纵轴) )为对为
12、对称称轴轴，左右，左右对对称，称，且在且在 t t0 0时时，分布密度函数取得最大，分布密度函数取得最大值值。 （3 3）与）与标标准正准正态态分布曲分布曲线线相比，相比，t t分布曲分布曲线线顶顶部略低，部略低，两尾稍高而平两尾稍高而平。df df 越小越小, , 这这种种趋势趋势越明越明显显; ; df df 越大，越越大，越趋趋近于近于标标准正准正态态分布。分布。t分布的特点分布的特点2024/8/145t分布的分位点分布的分位点设Tt(n)，若对 : 0 0，满足P T t (n) = ，则称t (n)为t(n)的上侧分位数2024/8/146例：随机变量t t(n) 时，求分位数 t
13、0.95(10)已知 n=10,=0.05，由于 t0.95(10) = -t10.95(10) = -t 0.05(10) 查附表3：t0.05(10) =1.812 t0.95(10) = - 1.812 P（-1.812 t 1.812）=0.902024/8/147F 分布分布形态随着n,m的增大逐渐趋于对称分布函数图像为： 48西南财经大学出版社西南财经大学出版社定理定理5.75.72024/8/149F F分布计算分布计算2024/8/1502024/8/151从总体到样本抽样分布问题在在统统计计推推断断问问题题中中，经经常常要要利利用用总总体体的的样样本本构构造造合合适适统统计计
14、量量，使使其其服服从从或或渐渐近近服服从从已已知知的的确确定定分分布布。将将这这类类统统计计量量的分布的分布统称统称为为抽样分布抽样分布问题的引入问题的引入问题的引入问题的引入讨论抽样分布的两个途径精确地求出抽样分布，相应统计推断为精确地求出抽样分布，相应统计推断为 小样本统计推断小样本统计推断；先求样本容量趋于无穷时抽样分布的极限分布；然后在样本先求样本容量趋于无穷时抽样分布的极限分布；然后在样本容量充分大时，利用极限分布作为容量充分大时，利用极限分布作为抽样分布近似分布抽样分布近似分布，再对未，再对未知参数进行统计推断。统计推断为知参数进行统计推断。统计推断为 大样本统计推断大样本统计推断
15、5.4 5.4 抽样分布定理抽样分布定理2024/8/152一、正态总体的抽样分布 设设 x1, x2, xn 是来自是来自N( , 2) 的的 样本，样本，样本均值和方差分别为样本均值和方差分别为x = xi /n s2= (xi x)2/(n 1)定理定理5.85.8(2)(1)（一）单正态总体的抽样分布定理（一）单正态总体的抽样分布定理2024/8/153证明证明证证:2024/8/154得证得证U与V独立，t分布定义证（证（3）X与S 2 相互独立；定理定理5.95.9（1 1）定理5.8定理5.9（2）2024/8/155（二）双正（二）双正态总体的抽体的抽样分布分布证明（证明（3）
16、和（）和（4）2024/8/156证明（证明（3）x2 =y2 = 2，2024/8/157证明（证明（4）F( n-1, m-1 )58例例：解：解：2024/8/159 对于非正态总体对于非正态总体X，如果是大样本（，如果是大样本（n50），根据），根据中心极限定理，其和渐进服从正态分布，上述正态总体中心极限定理，其和渐进服从正态分布，上述正态总体的统计量分布对某些非正态总体也近似成立。的统计量分布对某些非正态总体也近似成立。二、一般总体抽样分布的极限分布2024/8/160本章总结本章总结2024/8/161作 业P134 T2P139 T5,T6P144 T5P146 T2,T5P147 T1,T5,T8
