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1、斐波那契数列斐波那契数列实验一实验一斐波那契，意大利数学家列昂纳多斐波那契，意大利数学家列昂纳多斐波那斐波那契（契（Leonardo Fibonacci，1170-1240，籍贯大概是比萨）。他被人称作籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的比萨的列昂纳多列昂纳多”。1202年，他撰写了年，他撰写了珠算原珠算原理理（Liber Abacci）一书。他是第一个）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列
2、昂纳多因此得以在一个阿拉伯亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。学。一、实验目的一、实验目的认识认识Fibonacci数列，数列，体验发现其通项公式的过程。体验发现其通项公式的过程。 了解了解matlab软件中，软件中，进行数据显示与数据拟合的方式。进行数据显示与数据拟合的方式。 提高对数据进行分析与处理的能力。提高对数据进行分析与处理的能力。 二、问题描述二、问题描述意大利斐波那契意大利斐波那契(Fibonacci)，1202年年 一般而言，兔子在
3、出生两个月后，一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？殖多少对兔子？三、问题分析三、问题分析称为称为Fibonacci数列数列。递推公式：递推公式：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，兔子对的兔子对的数目数目依次如下：依次如下： 所求答案所求答案：Fibonacci数列的第数列的第12项。项。Fibonacci数列的数列的一般规律一般规律是什么？是什么？四、背景知识四、背景知识plot(y)或plot(x,y)
4、：画一条或多条折线图。画一条或多条折线图。 x-点列的横坐标，点列的横坐标，y-点列的竖坐标点列的竖坐标。 polyfit (x,y,n) ：多项式曲线拟合。多项式曲线拟合。(x,y)-点列的坐标，点列的坐标，n-多项式的阶多项式的阶。例例:x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4;拟合：拟合：p=polyfit (x,y,2); 结果：结果：0.2676 -3.6053 13.4597数值数值：f = polyval(p,x);五、实验过程五、实验过程1. 观察数据间的大概函数关系观察数据间的大概函数关系 2. 进一步验证上一步得到的结论进一步验证上
5、一步得到的结论 3. 获得数据的近似函数关系式获得数据的近似函数关系式 4. 观察拟合数据与原始数据的吻合程度观察拟合数据与原始数据的吻合程度 5. 猜测猜测Fibonacci数列的通项公式数列的通项公式 6. 证明证明Fibonacci数列的通项公式数列的通项公式 1. 观察数据间的大概函数关系观察数据间的大概函数关系将以下点列显示在平面坐标系中： 观察其中蕴涵的函数关系 结论：曲线的形状象指数函数的曲线 查看代码2. 进一步验证上一步得到的结论进一步验证上一步得到的结论再将以下点列显示在平面坐标系中： 观察其中蕴涵的函数关系 结论：曲线的形状确实象一条直线 查看代码3. 获得数据的近似函数
6、关系式获得数据的近似函数关系式Fibonacci数列的数据关系是指数函数，取对数后是线性函数，即一阶多项式， 用一阶多项式拟合出取对数后的函数关系式 得到Fibonacci数列通项公式的近似表达式： 查看代码4. 观察拟合数据与原始数据的吻合程度观察拟合数据与原始数据的吻合程度紅点： 蓝线：查看代码查看代码5. 猜测猜测Fibonacci数列的通项公式数列的通项公式将上式代入递推公式中得：考虑到该数列趋向无穷，故通项公式取为：考虑到该数列趋向无穷，故通项公式取为：然而然而,上式并不满足：上式并不满足：进一步修正进一步修正这样，得到这样，得到Fibonacci数列通项的新猜测：数列通项的新猜测：
7、这样，得到这样，得到Fibonacci数列通项：数列通项：称为称为比内公式比内公式。(Binet，法国，法国，1843年发现年发现)6. 推导推导Fibonacci数列的通项公式数列的通项公式Fibonacci数列具有如下递推关系 这是一个二阶常系数线性齐次差分方程 仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解 特征方程 两个特征根 差分方程的通解 取n=1和n=2代入上面的公式中，解得 从而得到 六、结论与应用六、结论与应用1. Fibonacci数列的阶数列的阶 2. Fibonacci数列与黄金分割数的关系数列与黄金分割数的关系 可以验证 1 -1 0 0 0 01 1 -1 0 0 00 1
8、1 -1 0 0 0 0 0 0 1 13. Fibonacci数列通项公式的其它形式数列通项公式的其它形式 4. 自然界中的自然界中的Fibonacci数列数列 花瓣的数量，一般都是Fibonacci数 斐波那契螺旋如果顺时针与逆时针螺旋的数目，是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋 计算机绘制的斐波那契螺旋 斐波那契螺旋与黄金矩型 5. 应用应用 Fibonacci数列在纯粹数学、运筹优化、计算机科学等领域具有重大的应用价值 本实验所采用的方法，可以用来进行一般的数据处理与分析 。显示Fibonacci数列前n项function plotfibo(n) %显示F
9、ibonacci数列前n项fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来返回显示取对数后的前n项function plotlnfibo(n) %显示取对数后的前n项fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束fn=log(fn) %将原来的数据取对数plot(fn) %将装有数列
10、前n项的数组显示出来返回根据取对数后的数据，拟合出线性表达式 function fitlnfibo(n) %先取对数，再拟合fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束xn=1:n; %定义横坐标fn=log(fn) %将原来的数据取对数polyfit(xn,fn,1) %拟合装有数列前n项的数组返回显示拟合数据与原始数据的前n项function plotfibo2(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=; %装拟合数据的数组for i=1:n %fn
11、1的第1项到第n项 fn1=fn1,0.4476*1.618i; %将第i项添加到数组fn1中end fn2=1,1; %装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中for i=3:n %fn2的第3项到第n项 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %将第i项添加到数组fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,r*) %显示, fn1兰线，fn2红星返回显示取对数后的拟合数据与原始数据function plotfibo3(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=; %装拟合数据的数组for i=1:n %fn1的第1项到第n项 fn1=fn1,-0.8039+0.4812*i; %将第i项添加到数组fn1中end fn2=1,1; %装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中for i=3:n %fn2的第3项到第n项 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %将第i项添加到数组fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,log(fn2),r*) %显示, fn1兰线，fn2红星返回
