《高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.3 导数的综合应用课件(理).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.3 导数的综合应用课件(理).ppt（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三课时导数的综合应用考向一考向一利用导数研究函数的零点或方程的根利用导数研究函数的零点或方程的根【典例【典例1 1】(2015(2015全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)= g(x)=-lnx.f(x)= g(x)=-lnx.(1)(1)当当a a为何值时，为何值时，x x轴为曲线轴为曲线y=f(x)y=f(x)的切线的切线. .(2)(2)用用minm,nminm,n表示表示m m，n n中的最小值，设函数中的最小值，设函数h(x)=h(x)=minf(x),g(x)(x0)minf(x),g(x)(x0)，讨论，讨论h(x)h(x)零点的个数零点的个数. .【解题导引】【解题导引】(
2、1)(1)利用导数的几何意义利用导数的几何意义, ,设切点为设切点为(x(x0 0,0),0),利用利用f(xf(x0 0)=0,f(x)=0,f(x0 0)=0)=0列出方程组求解列出方程组求解. .(2)(2)首先理解首先理解minm,nminm,n表示表示m,nm,n中的最小值中的最小值, ,然后按然后按x(1,+),x=1,x(0,1)x(1,+),x=1,x(0,1)进行分类讨论进行分类讨论, ,确定确定h(x)h(x)零零点的个数点的个数. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)设曲线设曲线y=f(x)y=f(x)与与x x轴相切于点轴相切于点(x(x0 0,0),0)，则，则f(
3、xf(x0 0)=0)=0，f(xf(x0 0)=0)=0，即，即解得解得因此，当因此，当 时，时，x x轴为曲线轴为曲线y=f(x)y=f(x)的切线的切线. .(2)(2)当当x(1,+)x(1,+)时，时，g(x)=-ln x0,g(x)=-ln x0,从而从而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故故h(x)h(x)在在(1,+)(1,+)上无零点上无零点. .当当x=1x=1时，若时，若 则则f(1)= 0,f(1)= 0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,h(1)=minf(1),g(1)=g(1)=0,故故x=
4、1x=1是是h(x)h(x)的零点；的零点；若若 则则f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0,f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0.g(x)=-ln x0.所以只需考虑所以只需考虑f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上的零点个数上的零点个数. .(i)(i)若若a-3a-3或或a0,a0,则则f(x)=3xf(x)=3x2 2+a+a在在(0,1)(0,1)上无零点上无零点, ,故故f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上单调上单调. .而而所以当所以当a-3a-3时，时，f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上有一个零点；当上有一个零点；当a
5、0a0时，时，f(x)f(x)在在(0,1)(0,1)上没有零点上没有零点. .(ii)(ii)若若-3a0,-3a0.k0.(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间和极值的单调区间和极值. .(2)(2)证明若证明若f(x)f(x)有零点，则有零点，则f(x)f(x)在区间在区间 上仅有一上仅有一个零点个零点. .【解析】【解析】(1)f(x)(1)f(x)的定义域为的定义域为(0,+)(0,+)，f(x)=f(x)=因为因为k0k0，所以令，所以令f(x)=0f(x)=0得得 列表如下：列表如下：x xf(x)f(x)- -0 0+ +f(x)f(x)极小值极小值减区间为减区间为 增区间
6、为增区间为当当x= x= 时，取得极小值时，取得极小值(2)(2)当当 1, 1,即即0k10k1时，时，f(x)f(x)在在 上单调递增，上单调递增，f(1)= f(1)= 所以所以f(x)f(x)在区间在区间上没有零点上没有零点. .当当 即即1ke1k0).a(a0).当当x x变化时变化时f(x)f(x)与与f(x)f(x)的变化情况如表的变化情况如表: : x x(-,-1)(-,-1)-1-1(-1,a)(-1,a)a a(a,+)(a,+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)单调递单调递增增极大值极大值单调递单调递减减极小值极小值单调递单调递增增故函数故
7、函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(-(-，-1)-1)，(a(a，+)+)；单调递减区间是单调递减区间是(-1(-1，a).a).可知函数可知函数f(x)f(x)在区间在区间(-2(-2，-1)-1)内单调递增；在区间内单调递增；在区间(-1,0)(-1,0)内单调递减内单调递减. .从而函数从而函数f(x)f(x)在区间在区间(-2,0)(-2,0)内恰有两个零点，内恰有两个零点，当且仅当当且仅当 解得解得所以所以a a的取值范围是的取值范围是2.2.已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x2 2+xsinx+cosx+xsinx+cosx的的图象与直象与直线y=by=b
8、有两有两个不同的交点个不同的交点, ,则b b的取的取值范范围是是. .【解析】【解析】设设g(x)=f(x)-b=xg(x)=f(x)-b=x2 2+xsinx+cosx-b.+xsinx+cosx-b.令令g(x)=f(x)-0=x(2+cosx)=0,g(x)=f(x)-0=x(2+cosx)=0,得得x=0.x=0. 当当x x变化时变化时,g(x),g(x),g(x),g(x)的变化情况如表的变化情况如表: : x x(-,0)(-,0)0 0(0,+)(0,+)g(x)g(x)- -0 0+ +g(x)g(x)单调递减单调递减1-b1-b单调递增单调递增所以函数所以函数g(x)g(
9、x)在区间在区间(-,0)(-,0)上单调递减上单调递减, ,在区间在区间(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,且且g(x)g(x)的最小值为的最小值为g(0)=1-b.g(0)=1-b.当当1-b01-b0时时, ,即即b1b1时时,g(x)=0,g(x)=0至多有一个实根至多有一个实根, ,曲线曲线y=f(x)y=f(x)与与y=by=b最多有一个交点最多有一个交点, ,不合题意不合题意. .当当1-b01-b1b1时时, ,有有g(0)=1-b0,g(0)=1-b4b-2b-1-b0.+2bsin2b+cos2b-b4b-2b-1-b0.所以所以y=g(x)y=g(x)在在(0,
10、2b)(0,2b)内存在零点内存在零点. .又又y=g(x)y=g(x)在在R R上是偶函数上是偶函数, ,且且g(x)g(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,所以所以y=g(x)y=g(x)在在(0,+)(0,+)上有唯一零点上有唯一零点, ,在在(-,0)(-,0)也有唯也有唯一零点一零点. .故当故当b1b1时时,y=g(x),y=g(x)在在R R上有两个零点上有两个零点, ,则曲线则曲线y=f(x)y=f(x)与直线与直线y=by=b有两个不同交点有两个不同交点. .综上可知综上可知, ,如果曲线如果曲线y=f(x)y=f(x)与直线与直线y=by=b有两个不同交点
11、有两个不同交点, ,那么那么b b的取值范围是的取值范围是(1,+).(1,+).答案答案: :(1,+)(1,+) 3.3.已知函数已知函数f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a.f(x)=(2-a)x-2(1+ln x)+a.(1)(1)当当a=1a=1时，求，求f(x)f(x)的的单调区区间. .(2)(2)若函数若函数f(x)f(x)在区在区间 上无零点，求上无零点，求a a的最小的最小值. .【解析】【解析】(1)(1)当当a=1a=1时，时，f(x)=x-1-2ln xf(x)=x-1-2ln x，则则f(x)= f(x)= 定义域定义域x(0x(0，+).+).由由f(x
12、)f(x)0 0，得，得x x2 2，由，由f(x)f(x)0 0，得，得0 0x x2 2，故故f(x)f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,2)(0,2)，单调递增区间为，单调递增区间为(2(2，+).+).(2)f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x(2)f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x，令令m(x)=(2-a)(x-1)m(x)=(2-a)(x-1)，x x0 0；h(x)=2ln xh(x)=2ln x，x x0 0，则则f(x)=m(x)-h(x).f(x)=m(x)-h(x).当当a a2 2时，时，m(x)m(x)在在 上为增函数，上为增函数，h(x)h(
13、x)在在上为增函数，上为增函数，若若f(x)f(x)在在 上无零点，则上无零点，则即即 所以所以a2-4ln 2a2-4ln 2，所以所以2-4ln 2a2.2-4ln 2a2.当当a2a2时，在时，在 上上m(x)0m(x)0，h(x)h(x)0 0，所以所以f(x)f(x)0 0，所以，所以f(x)f(x)在在 上无零点上无零点. .由由得得a2-4ln 2a2-4ln 2，所以，所以a aminmin=2-4ln 2. =2-4ln 2. 4.(20144.(2014全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2+ax+2,+ax+2,曲曲线y=f(x)y
14、=f(x)在点在点(0,2)(0,2)处的切的切线与与x x轴交点的横坐交点的横坐标为-2.-2.(1)(1)求求a.a.(2)(2)证明明: :当当k1k1时, ,曲曲线y=f(x)y=f(x)与直与直线y=kx-2y=kx-2只有一个只有一个交点交点. .【解析】【解析】(1)(1)因为因为f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2+ax+2+ax+2，所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 2-6x+a-6x+a，f(0)=af(0)=a，设切点设切点A(0,2)A(0,2)，切线与，切线与x x轴交点为轴交点为B(-2,0),B(-2,0),则则k kABAB=f(0),=f(0
15、),即即所以所以a=1.a=1.(2)(2)当当k1k1时，令时，令f(x)-kx+2=xf(x)-kx+2=x3 3-3x-3x2 2+x-kx+4=0.+x-kx+4=0.则则令令则则g(x)=g(x)=令令h(x)=2xh(x)=2x3 3-3x-3x2 2-4-4，则，则h(x)=6xh(x)=6x2 2-6x=6x(x-1),-6x=6x(x-1),所以当所以当x(0,1)x(0,1)时，时，h(x)0,h(x)h(x)0,h(x)h(x)0,h(x)递增；递增；且且h(0)0,h(2)=0.h(0)0,h(2)=0.所以当所以当x2x2时，时，h(x)0,g(x)0,g(x)h(x
16、)0,g(x)2x2时，时，h(x)0,g(x)0,g(x)h(x)0,g(x)0,g(x)在在(2(2，+)+)上递增；上递增；所以当所以当x(0,2)(2x(0,2)(2，+)+)时，时，g(x)g(2)=1g(x)g(2)=1，当当x(-x(-，0)0)时，单调递减，且时，单调递减，且g(x)(-,+).g(x)(-,+).所以当所以当k1k1时，时，g(x)=kg(x)=k仅有一个根仅有一个根, ,图象如图所示图象如图所示, ,所以当所以当k1k0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增; ;当当x(0,+)x(0,+)时时,f(x)0,f(x),f(x)0x0时时,f(x)0
17、,g(x)01.,f(x)0,g(x)01.当当-1x0-1x0时时,g(x)1,g(x)x.f(x)x.设设h(x)=f(x)-x,h(x)=f(x)-x,则则h(x)=-xeh(x)=-xex x-1.-1.当当x(-1,0)x(-1,0)时时,0-x1,0e,0-x1,0ex x1,1,则则0-xe0-xex x1,1,从而当从而当x(-1,0)x(-1,0)时时,h(x)0,h(x),h(x)0,h(x)在在(-1,0)(-1,0)上单调递上单调递减减. .当当-1x0-1xh(0)=0,h(x)h(0)=0,即即g(x)1.g(x)1.综上综上, ,总有总有g(x)1.g(x)f(x
18、)(3)(3)设实数设实数k k使得使得f(x) f(x) 对对x(0,1)x(0,1)恒成立，恒成立，求求k k的最大值的最大值. .【解题导引】【解题导引】(1)(1)求出切点求出切点(0,f(0)(0,f(0)，导数，导数f(0)f(0)，代入得到切线方程代入得到切线方程. .(2)(2)构造函数构造函数F(x)=ln(1+x)-ln(1-x)- F(x)=ln(1+x)-ln(1-x)- 证明最证明最小值大于小值大于0.0.(3)(3)构造函数构造函数t(x)= x(0,1)t(x)= x(0,1)，求导，求导, ,讨论讨论k k的取值情况从而确定的取值情况从而确定k k的最大值的最大
19、值. .【规范解答】【规范解答】(1)f(x)= x(-1,1),f(x)=(1)f(x)= x(-1,1),f(x)= f(0)=2,f(0)=0 f(0)=2,f(0)=0，所以切线方程为，所以切线方程为y=2x.y=2x.(2)(2)原命题等价于任意原命题等价于任意x(0,1),x(0,1),设函数设函数F(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-F(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-F(x)=F(x)=当当x(0,1)x(0,1)时，时，F(x)0F(x)0，函数，函数F(x)F(x)在在x(0,1)x(0,1)上是上是单调递增函数单调递增函数.F(x)F(0)=0.F(x)F(0)
20、=0，因此任意因此任意x(0,1),f(x)x(0,1),f(x)(3) x(0,1)(3) x(0,1)t(x)=t(x)=x(0,1).x(0,1).当当kk0,20,2，t(x)0t(x)0，函数，函数t(x)t(x)单调递增，单调递增，t(x)t(0)=0t(x)t(0)=0显然成立显然成立. .当当k2k2时，令时，令t(xt(x0 0)=0)=0得得 (0,1) (0,1)，t(x)t(x)的变化情况列表如下：的变化情况列表如下： x x(0,x(0,x0 0) )x x0 0(x(x0 0,1),1)t(x)t(x)- -0 0+ +t(x)t(x)极小值极小值t(xt(x0 0
21、)t(0)=0,)t(0)=0,显然不成立显然不成立. .当当k0k0时时, ,显然显然k k取不到最大值取不到最大值. .综上可知综上可知,k,k的最大值为的最大值为2.2.【技法感悟】【技法感悟】1.1.利用利用导数数证明不等式的方法明不等式的方法证明明f(x)g(x),x(a,b),f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数可以构造函数F(x)=f(x)-F(x)=f(x)-g(x),g(x),如果如果F(x)0,F(x)0,则F(x)F(x)在在(a,b)(a,b)上是减函数上是减函数, ,同同时若若F(a)0,F(a)0,由减函数的定由减函数的定义可知可知,x(a,b),x(a,b
22、)时, ,有有F(x)0,F(x)0,即即证明了明了f(x)g(x).f(x)g(x).2.2.利用利用导数解决不等式的恒成立数解决不等式的恒成立问题的策略的策略(1)(1)首先要构造函数首先要构造函数, ,利用利用导数研究函数的数研究函数的单调性性, ,求出求出最最值, ,进而得出相而得出相应的含参不等式的含参不等式, ,从而求出参数的取从而求出参数的取值范范围. .(2)(2)也可分离也可分离变量量, ,构造函数构造函数, ,直接把直接把问题转化化为函数的函数的最最值问题. .【题组通关】通关】1.(20161.(2016贵阳模阳模拟) )若关于若关于x x的不等式的不等式x x3 3-3
23、x-3x2 2-9x+2m-9x+2m对任意任意x-2,2x-2,2恒成立恒成立, ,则m m的取的取值范范围是是( () )A.(-,7 B.(-,-20A.(-,7 B.(-,-20C.(-,0 D.-12,7C.(-,0 D.-12,7【解析】【解析】选选B.B.令令f(x)=xf(x)=x3 3-3x-3x2 2-9x+2,-9x+2,则则f(x)=3xf(x)=3x2 2-6x-6x-9,9,令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=-1x=-1或或3(3(舍去舍去).).因为因为f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20.所以所
24、以f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(2)=-20,f(2)=-20,故故m-20.m-20.2.(20162.(2016石家庄模石家庄模拟) )设函数函数f(x)=axf(x)=ax3 3-3x+1(xR),-3x+1(xR),若若对于任意于任意x-1,1,x-1,1,都有都有f(x)0f(x)0成立成立, ,则实数数a a的的值为. .【解析】【解析】若若x=0x=0，则不论，则不论a a取何值，取何值，f(x)0f(x)0显然成立显然成立. .当当x x0 0，即，即x(0,1x(0,1时，时，f(x)=axf(x)=ax3 3-3x+10-3x+10，可化为可化为设设g(x)= g
25、(x)= 则则g(x)=g(x)=所以所以g(x)g(x)在区间在区间 上单调递增，在区间上单调递增，在区间 上单调上单调递减，递减，因此因此g(x)g(x)maxmax= = 从而从而a4.a4.当当x x0 0，即，即xx-1,0-1,0时，同理，时，同理，g(x)g(x)在区间在区间-1,0-1,0上单调递增，上单调递增，所以所以g(x)g(x)minmin=g(-1)=4=g(-1)=4，从而，从而a4a4，综上，可知，综上，可知a=4.a=4.答案：答案：4 43.(20163.(2016长沙模拟长沙模拟) )已知已知f(x)=xln xf(x)=xln x，g(x)=-xg(x)=
26、-x2 2+ax-3.+ax-3.(1)(1)对一切对一切x(0x(0，+)+)，2f(x)g(x)2f(x)g(x)恒成立，求实数恒成立，求实数a a的取值范围的取值范围. .(2)(2)证明：对一切证明：对一切x(0x(0，+)+)， 恒成立恒成立. .【解析】【解析】(1)(1)由题意知由题意知2xln x-x2xln x-x2 2+ax-3+ax-3对一切对一切x(0x(0，+)+)恒成立，恒成立，则则设设h(x)=h(x)=则则h(x)=h(x)=当当x(0,1)x(0,1)时，时，h(x)0h(x)0，h(x)h(x)单调递减单调递减. .当当x(1x(1，+)+)时，时，h(x)
27、h(x)0 0，h(x)h(x)单调递增，单调递增，所以所以h(x)h(x)minmin=h(1)=4=h(1)=4，对一切，对一切x(0x(0，+)+)，2f(x)g(x)2f(x)g(x)恒成立，恒成立，所以所以ah(x)ah(x)minmin=4,=4,即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是(-(-，4 4. .(2)(2)问题等价于证明问题等价于证明 (x(0 (x(0，+).+).又又f(x)=xln xf(x)=xln x，f(x)=ln x+1f(x)=ln x+1，当当x x 时，时，f(x)0f(x)0f(x)0，f(x)f(x)单调递增，单调递增，所以所以设设m(x)=
28、 (x(0m(x)= (x(0，+)+)，则，则m(x)=m(x)=易知易知m(x)m(x)maxmax=m(1)=m(1)=从而对一切从而对一切x(0x(0，+)+)， 恒成立恒成立. .考向三考向三利用导数研究生活中的优化问题利用导数研究生活中的优化问题【典例【典例4 4】(2016(2016黄冈模拟黄冈模拟) )某企业拟建造如图所示的某企业拟建造如图所示的容器容器( (不计厚度，长度单位：米不计厚度，长度单位：米) )，其中容器的中间为，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为体积为 立方米立方米. .假设该容器的
29、建造费用仅与其表面假设该容器的建造费用仅与其表面积有关积有关. .已知圆柱形部分每平方米建造费用为已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 3千元千元, ,半半球形部分每平方米建造费用为球形部分每平方米建造费用为4 4千元千元. .设该容器的总建设该容器的总建造费用为造费用为y y千元千元. .(1)(1)将将y y表示成表示成r r的函数的函数f(r),f(r),并求并求该函数的定函数的定义域域. .(2)(2)讨论函数函数f(r)f(r)的的单调性性, ,并确定并确定r r和和l为何何值时, ,该容容器的建造器的建造费用最小用最小, ,并求出最小建造并求出最小建造费用用. .【解题导引】【解题导
30、引】(1)(1)该组合体是由两个半球和一个圆柱体该组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的构成的, ,利用公式求出每部分的表面积利用公式求出每部分的表面积. .(2)(2)利用导数求出函数的最值利用导数求出函数的最值. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为容器的体积为因为容器的体积为 立方米，立方米，所以所以 解得解得所以圆柱的侧面积为所以圆柱的侧面积为2r2rl= =两端两个半球的表面积之和为两端两个半球的表面积之和为4r4r2 2, ,所以所以y=f(r)=y=f(r)=又又所以定义域为所以定义域为(2)(2)因为因为所以令所以令y0,y0,得得 令令y0,y0,得得0r20r0,y0,
31、得得令令y0,y0,得得0r20r0g(x)0，所以，所以 或或x3.x3.又因为又因为x(0,8x(0,8，且，且xNxN+ +，所以函数所以函数g(x)g(x)在区间在区间(0,3)(0,3)和和 上是增函数上是增函数. .同理函数同理函数g(x)g(x)在区间在区间 上是减函数上是减函数. .又又xNxN+ +，且，且g(1)g(6)g(5)g(1)g(6)g(5)，所以所以g(x)g(x)最小值最小值=g(1)=g(1)=所以黄瓜价格的最小值约为所以黄瓜价格的最小值约为 元元/ /千克千克. . 3.3.某食品厂某食品厂进行蘑菇的深加工行蘑菇的深加工, ,每公斤蘑菇的成本每公斤蘑菇的成
32、本为2020元元, ,并且每公斤蘑菇的加工并且每公斤蘑菇的加工费为t t元元(t(t为常数常数, ,且且2t5).2t5).设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x x元元(25x40),(25x40),根据市根据市场调查, ,销售量售量q q公斤与公斤与e ex x成反比成反比, ,当每公斤蘑菇的出厂价当每公斤蘑菇的出厂价为3030元元时, ,日日销售量售量为100100公斤公斤. .(1)(1)求求该工厂的每日利工厂的每日利润y y元与每公斤蘑菇的出厂价元与每公斤蘑菇的出厂价x x元元的函数关系式的函数关系式. .(2)(2)若若t=5,t=5,当每公斤蘑菇的出厂价当每公斤
33、蘑菇的出厂价x x为多少多少时, ,该工厂的工厂的每日利每日利润y y最大最大? ?并求最大并求最大值. .【解析】【解析】(1)(1)设日销量设日销量 则则所以所以k=100ek=100e3030，所以日销量所以日销量所以所以(2)(2)当当t=5t=5时，时，由由y0y0得得x26,x26,由由y0,y0,得得x26,x26,所以所以y y在区间在区间25,2625,26上单调递增上单调递增, ,在区间在区间26,4026,40上单上单调递减调递减, ,所以当所以当x=26x=26时时,y,ymaxmax=100e=100e4 4, ,即当每公斤蘑菇的出厂价为即当每公斤蘑菇的出厂价为2626元时元时, ,该工厂的每日利润该工厂的每日利润最大最大, ,最大值为最大值为100e100e4 4元元. .
