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1、四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征考试内容考试内容（一）随机变量的数学期望（一）随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望（均值）设X的分布律为(级数 绝对收敛)则2.连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则（ 绝对收敛）3.随机变量函数的数学期望（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.离散型：连续型：(2)(X,Y)为二维随机变量, z=g(x,y)为x,y的二元函数.离散型：连续型：4.数学期望的性质(1) E(C)=C;(2) E(aX+b)= aE(X)+b;(3) E(X1+ X2+Xn)=E(X1)+ E(X2)+E(Xn);(4)
2、 若X1, X2,Xn相互独立,则 E(X1 X2Xn)=E(X1) E(X2)E(Xn);(5)（二）方差（二）方差1.定义 D(X)=EX-E(X)2均方差或标准差：2.计算(1) 离散型：(2)连续型：(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).3. 方差的性质(1) D(X)=E(X2)-E2(X)， E2(X)=D(X)+E(X2)(2) D(C)=0;(3) E(aX+b)= a2D(X);(4) D(XY)=D(X)+ D(Y) 2Cov(X,Y);若X, Y相互独立,则 D(XY)=D(X) +D(Y).(5) D(X)=0 P(X=C)=1.（三）协方差、协方差矩
3、阵与相关系数（三）协方差、协方差矩阵与相关系数Cov(X,Y)= EX-E(X) Y-E(Y)1.协方差2.相关系数用来表征随机变量X,Y之间线性关系的紧密程度.当 较大时，说明X,Y 线性关系程度较强；当 较小时，说明X,Y 线性关系程度较弱；当 时，称X与Y不相关（线性）.3.协方差矩阵设(X1, X2,Xn)是n维随机变量,若cij=Cov(Xi,Yj),存在，则称矩阵为n维随机变量(X1, X2,Xn)的协方差矩阵.4.协方差及相关系数的性质(1)Cov(X,X)=D(X); (2) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y);(2)(3)Cov(X,Y)= Cov(Y,X）;(
4、3)(4)Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y);(4)(5)Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y);(5)(6) (6)(7) X与Y以概率1线性相关,即存在a,b,且a0,使(8)（四）矩与混合矩1.随机变量X的k阶原点矩：随机变量X的k阶中心矩：2. 设(X,Y)为二维随机变量,X和Y 的k+l 阶混合原点矩为：X和Y 的k+l 阶混合中心矩为： 数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩，数学期望是一阶原点矩；方差是二阶中心矩，协方差是协方差是1+1阶混合中心矩阶混合中心矩.（五）常见分布的数学期望与方差（五）常见分布的数学期望与方差 分布数学期
5、望 方差0-1分布B(1,p) pp(1-p)二项分布B(1,p) npnp(1-p)泊松分布几何分布 G(p)(1-p)/p2超几何分布H(N,M,n)均匀分布正态分布指数分布（六）重要结论（六）重要结论5个等价条件：注意：X,Y相互独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件.考点与例题分析考点与例题分析考点一：数学期望和方差的计算考点二：随机变量函数的数学期望与方差考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性考点一：数学期望和方差的计算考点一：数学期望和方差的计算1 .对 分 布 已 知 的 情 形 ， 按 定 义 求 ；2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布，再按定义计算；
6、3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和方差计算；4.对较复杂的随机变量 ,将其分解为简单随机变量 ,特别是分解 为(0,1)分布的随机变量和进行计算 .例1 一台设备由三大部件构成 ,在设备运转中各部件需要调试整的概率相应为 0.1,0.2,0.3,假设各部件的状态相互独立 ,以X表示同时需要调整的部件数 , 试求 X 的E ( X ) 和D ( X ) .解法1 先求出分布律：设事件Ak=第k个部件要调整 （k=1,2,3),则即X具有的分布律为：从而有E(X)=0.6，D(X)= E(X2)- E2(X)=0.46.解法2 用分解法：引进随机变量X0-1分布，且X=X1+X2+X3，
7、 E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3) =0.6 D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.46注注:1.将一个“复杂”的随机变量分解成若干个“简单”的随机变量之和 是研究随机变量的一种基本方法，但必须注意：求方差时，应先判断Xi 是否相互独立.若独立,则D(X)易求(和),否则不易求出.2. 求离散型随机变量的期望和方差时,会用到无穷级数求和，如下例:例2 对某目标连续射击,直到命中n次为止,设每次射击的命中率为p，求消耗子弹的数学期望.解 设Xi表示第i-1次命中至第i 次命中之间所消耗的子弹数(含第i次命中不含第i-1次命中),则于是有故例3 设随机变量的概率密度求数学
8、期望和方差.解 注注：若已知分布函数，则需先求出密度函数.例4 设X的密度函数则E(X)_, D(X)_.考点二：随机变量函数的数学期望与方差考点二：随机变量函数的数学期望与方差1.先求概率密度或分布函数,再按期望定义计算,如2.直接利用函数期望的公式计算：3.利用数学期望、方差的性质以及常见分布的数学期望与方差计算.例5 设XE(1),则数学期望解 先利用期望的线性性质，再用随机变量函数的期望公式求得.因XE(1),于是E(X)=1,而且X的密度函数为指数分布例6 设X的密度函数求解 直接利用函数期望的公式计算注注：在求多个随机变量函数的数学期望时,若直接用公式计算,则需求多重积分.故不如先
9、求出随机变量函数的概率分布,再用定义计算期望,例如 设随机变量X1, X2, Xn独立同分布,其密度函数试求 的数学期望和方差.为常数（自行完成）例7 设是两个相互独立且均服从正态分布 的随机变量，则解 令Z=X-Y，则E(Z)=0, D(Z)=1,即故积分，得注注：利用正态分布的性质、随机变量函数的期望公式例8 一工厂生产的某种设备的寿命X（年）服从指数分布,概率密度函数为规定出售的设备若在售出一年内损坏可予以调换,若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备赢利的数学期望.解 设出售一台赢利为Y,则Y的所有可能取值为100,-200.因分析：先求出赢
10、利的分布.Y的分布律为Y 100 -200所以，注注：Y是X的函数.X是连续型的,而Y是离散型的.考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性1.协方差、相关系数的计算实际上是随机变量函数的期望的计算，方法见考点二；X,Y相互独立若(X,Y)服从二维正态分布，则X,Y相互独立2.独立性与相关性的关系例9 将一枚硬币重复掷n次,以X,Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数为_. 解 因X+Y=n,即Y=n-X.法1 用定义求：D(Y)=D(n-X)=D(X)因此，法2 用性质(7)：因Y=n-X，Y是X的线性函数,且X的系数为-10,故X和Y的
11、相关系数为-1.例10 设 其中且(1)求E(Z), D(Z)；（2）求X,Z的相关系数；（3） X与Z是否相互独立？为什么？解（1）由期望和方差的性质有（3）X,Y均服从正态分布,但不独立,故不能认为Z服从正态分布，从而二维随机变量(X,Y)不一定服从二维正态分布,故尽管X与Z不相关, X与Z仍不一定相互独立.（2）故注注： X与Z 均服从正态分布，且X与Z 相互独立，则(X,Z)服从二维正态分布.例11.(08)设随机变量且 则考查：相关系数的性质：存在a,b,使以及正态分布数字特征的性质.解 选D. 由正态分布有 EX=0,DX=1, EY=1,DY=4,故存在a,b,使从而EY=aEX
12、+b,得b=1.而考研题及练习题考研题及练习题1. 设随机变量(X,Y)在区域D:0x1,-xyx内服从均匀分布，求Z=2X+1的方差.(两种方法)答案：E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.2.(08）设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX=EX2_.考查：泊松分布的数字特征及其概率分布.参数为1的泊松分布的EX =DX=1,从而EX2 =DX+(EX)2=2, PX=EX2=Px=2=1/2e.3.(04134) 设随机变量X服从参数为 的指数分布,则4.(041)设随机变量X1, X2, Xn独立同分布,且其方差为 令 则提示：用方差和协方差的运算性质直接计算即可,注意到利用独立性有：
13、5.（0634）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c Y X-1 0 1其中a,b,c为常数，且X的数学期望EX=-0.2，记Z=X+Y，求（1） a,b,c的值； （2）Z的概率分布；（3）P(X=Z).答案: (1) a=0.2,b=0.1,c=0.1(2) -2 -1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) P(X=Z)=P(Y=0)=0.2.6.（04134）设A,B为随机事件,且令发生,不发生,发生,不发生,求(1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布； (2) X,Y 的相关系数(3) Z=X2+Y2 的概率分布.提示：关键是求出(X,Y)的概率分布.将(X,Y)的各取值对转化为随机事件A,B表示即可.二维随机变量(X,Y)的概率分布答案：(1)(3) Z=X2+Y2 的概率分布:
