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1、a2 b2平方差公式平方差公式 回顾回顾 & 思考思考(a+b)(ab)=练习：练习：1.( x + 2y )( x 2y) = _2.(mn 3)(mn +3)= _3.( 2x+y)(2x+y)= _x2 4y2m2n2 9y2 4x2多项式的乘法多项式的乘法 (a+b)(c+d)acadbc bd=+做一做做一做a一块边长为一块边长为a米的正方形实验田，米的正方形实验田，因需要将其边长增加因需要将其边长增加 b 米。米。 形成新的形成新的形成新的形成新的实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种( (如图如图如图如图). ).
2、你能用你能用你能用你能用不同的形式表示实验田不同的形式表示实验田的总面积的总面积, 并进行比较吗？并进行比较吗？abb法法法法一一一一 直直直直接接接接求求求求总面积总面积总面积总面积=(a+ +b)2 法二法二法二法二间间间间接接接接求求求求总面积总面积总面积总面积=a2+ +ab+ +ab+ +b2(a+ +b)2=a2+ +ab + + b2你发现了什么你发现了什么你发现了什么你发现了什么? ? 探索探索: : 2等式等式:(a+b)(a+b)abba=+ababa2b 2a2b2a2=abbab 2+2ab=+a2b2(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它你能用多项式的乘法法则来说明它
3、成立吗成立吗? ?+他们是怎么想的他们是怎么想的? ?想法对吗？你会如何解决这个问想法对吗？你会如何解决这个问题？题？利用两数和的利用两数和的平方平方 推证推证(ab)2= = a+ +(b)2= + + + + a22a (b)(b)2= a22 2a ab bb2.+ +(2)有两位同学对两数差的平方有不同的看法有两位同学对两数差的平方有不同的看法: :乙乙:(ab)2动脑筋动脑筋想一想想一想想一想想一想(a+ +b)2= =a2+ +2ab+ +b2 ;a2 2ab+ +b2.(ab)2= = = a 2 + 2a(b) + (b) 2甲甲:(ab)2= = a 2b 2初识初识 完全平
4、方公式完全平方公式(a+b)2 = a2+2ab+b2 .(ab)2 = a22ab+b2 .结构特征结构特征结构特征结构特征: :左边是左边是的平方的平方;右边是右边是两数和两数和 (差差)两数的平方和两数的平方和加上加上(减去减去) 这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍. .用自己的语用自己的语言叙述上面言叙述上面的公式的公式语言表述语言表述语言表述语言表述: :两数和两数和 的平方的平方, 等于这两数的平方和等于这两数的平方和, 加上加上 这两数积的这两数积的2 2倍倍. .( (差差) )(减去减去)注意：注意：注意：注意：1. 1.完全平方公式和平方差完全平方公式和平方差公式的区别！公式
5、的区别！2. (a + b )2. (a + b )2 2aa2 2 + b+ b2 2 (a b ) (a b )2 2 aa2 2 b b2 2 (a + b ) (a b ) (a + b ) (a b ) a a2 2 b b2 222a+baba2 +b2a2 +b2+2ab2ab=x 2 +2 x 2y +(2y)2解：解：(1) (x+2y)2 例例例例3 3 利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：(1) (1) (x+2y)(x+2y)2 2 ； (2) (2) (2a-5)(2a-5)2 2 ; (3) (-2s+t); (3
6、) (-2s+t)2 2. . 注意注意注意注意先明确用哪个先明确用哪个完全平方公式完全平方公式再把计算的式子与完全平方公式对照再把计算的式子与完全平方公式对照, 明确明确哪哪个是个是 a , , 哪个是哪个是 b.x2= =+4xy + 4y2 .(2) (2a-5 )2= (2a)2 - 2 2a 5 + 52=4a2 - 20a +25.(3) ( -2s+t )2= t2 - 2 t t 2s + (2s)2= t2 - 4ts + 4s2 .= ( t -2s )2随堂练习（一）说出下列各式中的错误，并加以改正：说出下列各式中的错误，并加以改正：(1) (2a1)22a22a+1;(
7、2) (2a+1)24a2 +1；(3) ( a1)2 a22a1.解解: : (1)(2a 1)2 (2a)2 22a1 +1=4a2 4a +1(2)(2a+1)2 (2a)2+22a1 +1=4a2 + 4a +1(3)( a1)2( a)22 ( a) 1 + 1=a2 + 2a + 1 学一学学一学利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算：(1) 0.982 (2) 10012解：解：(1) 原式原式 = （ 1 0.02）2= = 12 2 10.02 + 0.022= 1 0.04 + 0.0004= 0.9604（2）原式）原式 = （ 1000 + 1 ）2= 10002
8、+ 2 10001 + 12= 1000000 + 2000 + 1=1002001随堂练习（二）随堂练习（二） (1) ( x + 2y)2 ； (2) ( n 3m)2 .2 2、计算：计算：1. 填空填空:(1) ( 2x + y)2 = 4x2 + ( _ ) + y2(2) (x _)2 = x2 (_) + 25y2(3) (_ b )2 = 9 a2 (_) + (_)2(4) x 2 + x +(_) = ( x +_)24 x y5 y10 x y3 ab6 a b0.50.25类似地类似地,当当a=30,a=27时时, 3a+2.25的值分别为的值分别为92.25,83.2
9、5.所以所以4块花苗圃的面积分别增加了块花苗圃的面积分别增加了92.55m2,90.75m2,92.25m2,83.25m2.例例4 一花农有一花农有4块正方形茶花苗圃块正方形茶花苗圃,边长分边长分别为别为30.1m ,29.5m,30m,27m.现将这现将这4块苗块苗圃的边长都增加圃的边长都增加1.5m,求各苗圃的面积分别求各苗圃的面积分别增加了多少增加了多少m2?解答解答: :设原正方形苗圃的边长为设原正方形苗圃的边长为a(m),边长增加边长增加(a+1.5) m则则: (a+1.5)2-a2=a2+3a+2.25-a2=3a+2.25当当a=30.1时时, 3a+2.25=330.1+2
10、.25=92.55当当a=29.5时时, 3a+2.25=329.5+2.25= 90.751.5 m后后,新正方形的边长新正方形的边长为为知识小园地知识小园地利用贾宪三角对完全平方公式进行推广利用贾宪三角对完全平方公式进行推广（a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4贾宪最著名的数学成就，是他创制了一幅数字图式，即“开方作法本源图”。这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此术”。所以过去我国数学界把这幅图称为“杨辉三角”，实际上是不妥当的，应
11、该称为“贾宪三角”才最为恰当。 由于史书没有贾宪的传记，所以我们今天对这位数学家的生平事迹已经无法搞清楚了。只知道他曾经当过宋代”左班殿直”的小官，是当时天文数学家楚衍的学生，还写过两部数学著作，可惜这两部著作现在都失传了。幸亏南宋数学家杨辉在他的书中引述了贾宪的许多数学思想资料，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。 知识小园地（贾宪三角贾宪三角）小组抢答小组抢答1. 下列等式是否成立下列等式是否成立? 说明理由说明理由(1) ( 4a+ +1)2=(14a)2； (2) ( 4a1)2=(4a+ +1)2；(3) (4a1)(14a)(4a1)(4a1)(4a1)2.(1) 由加法交
12、换律由加法交换律 4a+ +ll4a.成立成立理由理由: :(2) 4a1 (4a+1)，成立成立( 4a1)2 (4a+ +1)2(4a+1)2.(3) (14a)( 1+ +4a)不成立不成立即即 (14a) (4a1) (4a1)， (4a1)(14a)(4a1) (4a1) (4a1)(4a1) (4a1)2. . aabba2ababb2(a+ +b)2 =ababaaa ab bb(ab)bb( (a a b b) )2 2a2+ +2ab+ +b2即即 (ab)2 = a22ab+ +b2(ab)2 = a2 ab b(ab)试一试试一试你能由两数和的完全平你能由两数和的完全平方
13、公式的几何意义推想方公式的几何意义推想到两数差的完全平方公到两数差的完全平方公式的几何意义吗？式的几何意义吗？拓拓 展展 练练 习习 (a+b+c) 2可以用完全平方公式进行计算吗可以用完全平方公式进行计算吗？1.思考：思考：试一试：计算试一试：计算试一试：计算试一试：计算 ( m 2n + 3 )2 2.完全平方公式的变形应用：完全平方公式的变形应用：(1) 已知：已知：x +y =3 ; x y =2 求求 x2+y2 ； (x y)2 的值的值.(2)已知：已知：a b =1 ； a2 +b2 =25 求求 ab 的值的值.(3)已知：已知：(x +y )2 =9 ; ( x y)2=
14、5 求求 xy ; x2+y2 的值的值.注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同： 完全平方公式的结果是三项，即完全平方公式的结果是三项，即 (a b)2a2 2ab + b2. 平方差公式的结果是两项，即平方差公式的结果是两项，即 (a+ +b)(ab)a2b2. 有时需要进行变形，使变形后的式子符合应有时需要进行变形，使变形后的式子符合应 用完全平方公式的条件，即为用完全平方公式的条件，即为“两数和两数和( (或或差差) ) 的平方的平方”，然后应用公式计算，然后应用公式计算. . 在解题过程中要准确确定在解题过程中要准确确定a和和b、对照公式原形对照公式原形的两边的两边, 做到不丢项、不弄错符号、做到不丢项、不弄错符号、2ab不少不少乘乘2.
