《随机数学课件：2-3节 连续型随机变量及其分布密度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机数学课件：2-3节 连续型随机变量及其分布密度（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 连续型随机变量连续型随机变量 及其概率分布及其概率分布定义 设设 X 是随机变量是随机变量, 若存在一个非负若存在一个非负 可积函数可积函数 f ( x ), 使得使得其中其中F ( x )是它的分布函数是它的分布函数则称则称 X 是是 连续型随机变量连续型随机变量 ，f ( x )是它的是它的概概率密度函数，率密度函数，简记为简记为概率密度。概率密度。记为记为连续型连续型 随机变量的概念随机变量的概念xf ( x)xF ( x )分布函数与密度函数 几何意义 f ( x )的性质：的性质：性质性质1常利用这两个性质检验一个函数能否作为常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的概
2、率密度。连续性随机变量的概率密度。在在 f ( x ) 的连续点处，的连续点处，性质性质2性质性质3 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：=f(x) 对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:f ( x ) 描述了描述了X 在在 x 附近单位长度的附近单位长度的区间内取值的概率区间内取值的概率 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度相当于线密度. 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函
3、数 f (x)在某点处在某点处a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，这但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度映了概率集中在该点附近的程度. f (x)xo注意注意: 对于连续型对于连续型随机变量随机变量X , P(X = a) = 0其中其中 a 是随机变量是随机变量 X 的一个可能的取值的一个可能的取值强调强调 概率为概率为0 (1) 的事件未必不发生的事件未必不发生(发生发生)事实上事实上设设X为为连续型随机变量连续型随机
4、变量 ，X=a 是不可能是不可能事件事件,则有则有若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量, 注意注意连连续续型型离离散散型型对于连续型对于连续型 随机变量随机变量Xxbf ( x)a性质性质4连续型随机变量的概率与区间的开闭无关连续型随机变量的概率与区间的开闭无关特别说明：特别说明： 连续型随机变量的分布函数一定连续，连续型随机变量的分布函数一定连续，而分布密度不一定连续。而分布密度不一定连续。解解例例1例例2(习题课教程习题课教程P348例例14）故有故有解解 (1) 因为因为 X 是连续型随机变量是连续型随机变量,(1) 均匀分布均匀分布常见的连续性随机变量的分布常见的连续性随机变量的
5、分布若若 X 的的 概率密度概率密度 为为则称则称 X 服从区间服从区间( a , b)上的上的均匀分布均匀分布或称或称 X 服从参数为服从参数为 a , b的的均匀分布均匀分布. 记作记作X 的分布函数为的分布函数为xf ( x)abxF( x)ba即即 X 落在落在(a,b)内任何长为内任何长为 d c 的小区间的的小区间的概率与小区间的位置无关概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正只与其长度成正比比. 这正是几何概型的情形这正是几何概型的情形.均匀分布的概率意义：均匀分布的概率意义： 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等
6、车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差；点后某一位小数引入的误差；应用场合应用场合 例例3 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起，每时起，每15分钟来分钟来一班车，即一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是是7:00 到到 7:30 之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量, 试求他候车试求他候车时间少于时间少于5 分钟的概率分钟的概率.解：解：依
7、题意，依题意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00为为起点起点0，以分为单位，以分为单位 为使候车时间为使候车时间X少于少于 5 分钟，乘客必须在分钟，乘客必须在 7:10 到到 7:15 之间，或在之间，或在7:25 到到 7:30 之间到之间到达车站达车站.所求概率为：所求概率为：从上午从上午7时起，每时起，每15分钟来一班车，即分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5 分钟的概率是分钟的概率是1/3.例例4 设随机变量设随机变量 X 在在 2, 5 上服从均匀分布上服从均匀分布, 现现对对
8、X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率. X 的分布密度函数为的分布密度函数为设设 A 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 的次数的次数”,解解即即 A= X 3 .（教材（教材P63第第15题）题）因而有因而有设设Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则(2) 指数分布指数分布若若 X 的概率密度密度的概率密度密度 为为则称则称 X 服从服从 参数为参数为 的的指数分布指数分布记作记作X 的分布函数为的分布函数为 0 为常数为常数1xF( x)0xf ( x)0对于任意的对于
9、任意的 0 a b, 应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电元件的寿命动物的寿命动物的寿命 指数分布指数分布常作为各种常作为各种“寿命寿命” 分布的近似分布的近似若若 X ( ),则则故又把指数分布称为故又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布事实上事实上命题指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.例例5 5 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为服从参数为=2000的指数分布的指数分布(单位单位:小时小
10、时)(1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1000小时以小时以上的概率上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以小时以上上,求还能使用求还能使用1000小时以上的概率小时以上的概率. X 的分布函数为的分布函数为解解（教材（教材P64（B)第第5题）题）解解 (1)例例6 6 假定一大型设备在任何长为假定一大型设备在任何长为 t 的时间内的时间内发生故障的次数发生故障的次数 N( t ) ( t), 求求(1)相继两次故障的时间间隔相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布的概率分布;(2)设备已正常运行小时的情况下设备
11、已正常运行小时的情况下,再正常再正常(3) 运行运行 10 小时的概率小时的概率.即(2)由指数分布的由指数分布的“无记忆性无记忆性”(3) 正态分布正态分布若若X 的的 概率密度概率密度 为为则称则称 X 服从参数为服从参数为 , 2 的的正态分布正态分布记作记作 X N ( , 2 )为常数为常数， 亦称高斯亦称高斯(Gauss)分布分布N (-3 , 1.2 )f (x) 的性质的性质：q 图形关于直线图形关于直线 x = 对称对称, 即即在在 x = 时时, f (x) 取得最大值取得最大值在在 x = 时时, 曲线曲线 y = f (x) 在对应的在对应的点处有拐点点处有拐点曲线曲线
12、 y = f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线曲线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状的图形呈单峰状f ( + x) = f ( - x) q f ( x) 的两个参数：的两个参数： 位置参数位置参数即固定即固定 , 对于不同的对于不同的 , 对应的对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同的形状不变化，只是位置不同 形状参数形状参数固定固定 ，对于不同的，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同的形状不同.若若 1 2 则则比比x= 2 所对应的拐点更靠近直线所对应的拐点更靠近直线 x= 附近值的概率更大附近值的概率更大. x = 1 所对应的所对应的拐点拐点前者取前者取 大小几何
13、意义几何意义 大小与曲线陡峭程度成反比大小与曲线陡峭程度成反比数据意义数据意义 大小与数据分散程度成正比大小与数据分散程度成正比正态变量的条件 若 随机变量 X 受众多相互独立的随机因素影响受众多相互独立的随机因素影响 每一因素的影响都是微小的每一因素的影响都是微小的 且这些正、负影响可以叠加且这些正、负影响可以叠加则称则称 X 为正态随机变量为正态随机变量可用正态变量描述的实例极多：各种测量的误差；各种测量的误差； 人体的生理特征；人体的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；金属线抗拉强度；热噪声电流强度
14、；热噪声电流强度； 学生的考试成绩；学生的考试成绩；一种重要的正态分布一种重要的正态分布是偶函数，是偶函数，分布函数记为分布函数记为其值有专门的表其值有专门的表（教材（教材P338附表附表1）供查供查. 标准正态分布标准正态分布N (0,1)密度函数密度函数说明：说明：P338附表附表1最后一行从左至右分别表示最后一行从左至右分别表示教材教材P55公式：公式： 附附证：证：证明证明证明证明对一般的正态分布对一般的正态分布 ：X N ( , 2) 其分布函数其分布函数作变量代换作变量代换教材教材P55公式（公式（4）：）：例例7 7 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解解P338 附表附表1例例8 8 已知且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解一解二解二 图解法图解法0.2由图0.3例例9 9 “3 原理原理”设 X N ( , 2), 求解解一次试验中一次试验中, X 落入区间落入区间( - 3 , +3 )的概率为的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小而超出此区间可能性很小由由3 原理知原理知，当当标准正态分布的标准正态分布的上上 分位数分位数 u 设设 X N (0,1) , 0 3 故至少要进行故至少要进行 4 次独立测量才能满足次独立测量才能满足要求要求.
