流体力学2011-第一章B

《流体力学2011-第一章B》由会员分享，可在线阅读，更多相关《流体力学2011-第一章B（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST第四节速度分解刚体运动：速度场运动学规律流体与刚体不同，具有流动性的特点流体运动要远比刚体的运动复杂流点运动位置变化形状大小变化流点自身还可以滚动旋转。速度分析仅用流体的速度场能不能反映流点的运动学特征？如不能，需要引进哪些必要的物理量?Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST为了分析流体运动，从流场中任意小流体微团出发（注意：流团与流点有差别，流体微团是由大量的流体质点所组成的具有线性尺度效应的微小流体块），这就是所谓的微元分析法。Tailor展开的简单回顾：?Ch

2、en HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST选择参考点 及邻近一点Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST将 以参考点速度 作Tailor展开：(x方向为例)Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST定义:Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTy方向作类似处理：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTz

3、方向作类似处理：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST流体旋转角速度Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST流体的形变率Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST形变张量矩阵Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTChen HaishanChen Hais

4、hanNIM NUISTNIM NUIST于是，可将速度写为:亥姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可分解为平动速度、转动线速度和变形运动引起的变形线速度三部分。其中：其中关于流体的旋转角速度和形变张量将在后面详细讨论。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 流点的速度分析不同刚体，它只适用于很靠近的范围，且出现了形变线速度。刚体运动：转动是作为一个整体来进行的； 流体运动：流点的转动角速度仅是一个局地量，流体域内各点可以以不同的角速度转动。 说 明：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST例1-4-1 已

5、知流场： 其中 m为常数，计算坐标原点O 附近点 的转动线速度和形变线速度。解：OChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST对于转动线速度:需要计算：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST形变线速度:Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST第五节 涡度、散度和形变率 亥姆霍兹速度分解定理：流体微团的运动可分解为平动速度、转动线速度和变形运动引起的变形线速度三部分。引进其他的物理量，表征流点在运动过程中的各种特征。涡度、散度和形变率流点运动位置变化形状大小变化流点自

6、身还可以滚动旋转。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST一、涡 度定义涡度矢为矢量微商符 和速度矢 的矢性积，即：涡度的定义Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 为了说明起物理含义，首先引入速度环流的概念。涡度的物理意义物理意义？称为速度环流，记作 。在流体中取任一闭合有向曲线 ，沿闭合曲线 对该闭合曲线上的流速分量求和：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST表示流体沿闭合曲线流动趋势的程度。Chen HaishanChen HaishanNIM NUIS

7、TNIM NUIST应用斯托克斯（Stokes）公式，线积分 曲面积分：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST当闭合曲线l向内无限收缩（闭合曲线所围面积趋向零）：流体某点的涡度矢在单位面元的法向分量单位面积速度环流的极限值，它是度量流体旋转程度的物理量。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST涡度与流体旋转角速度的关系如何理解？Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST二维水平运动：考虑满足以下条件的流体运动无法形变无切形变流体旋转Chen HaishanChen

8、 HaishanNIM NUISTNIM NUISTChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTOABOABABA点移动的距离：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST与涡度有关的几个问题：A 直线有旋运动B 无旋圆周运动C 有旋圆周运动Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST特别说明：流体涡度是一个局地概念；流点作圆周运动相当于围绕原点的“公转”；而流体涡度反映的则是流点自身的“自转”。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUI

9、ST二、散度定义散度为矢量微商符 和速度矢 的数性积，即：散度散度的定义Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST为了说明散度的概念及意义，引入流体通量F应用奥高公式，将以上曲面积分转化为体积分，则有：散度的物理意义流体中的任一封闭曲面Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST流体散度即为单位体积的流体通量。当曲面面元向内无限收缩时，即体积元趋向于零：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST流体净流出 源(辐散)流体净流入 汇（辐合）场的观点流体中的任一封闭曲面为几何

10、面时：封闭曲面向外膨胀 封闭曲面向内收缩流体中的任一封闭曲面为流点组成的物质面时：流体体积的变化流点的体积膨胀或收缩的速度Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 取体积为 的小正方体，其单位体积的体积变率（体胀速度）：体胀速度变换可得：体胀速度可见，散度也是度量流点体积膨胀或收缩的一个量，反映单位体积的流点体胀速度。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST三、形变率 流点可以看作既大又小的流体微团，它不但会转动和发生体积的膨胀、收缩，而且还会发生形变。流体的形变包括： 法形变（轴形变）和切形变（剪形变）。

11、Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 法形变法形变率（线形变率）：即单位长度的速度变化率（单位长度单位时间内的伸长和缩短率)。 =MOMO同理Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST散度，其实就是一种形变，称为体形变，散度的三个部分，分别表示了沿三个坐标轴伸长和缩短的形变率，称为轴形变或法形变。二维平面流动：二维散度面积形变Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 切形变切形变是指流体质点线间夹角的相向改变率。Chen HaishanChen HaishanN

12、IM NUISTNIM NUIST考虑满足以下条件的流体运动无法形变存在切形变流体无旋转Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTOABOABABChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTOABAB流体质点线间夹角的相向改变率。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 形变张量形变张量对称矩阵Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUISTChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST习题1-5

13、-1已知流体二维速度场为 ，分别计算涡度和散度。习 题习题1-5-2已知流体速度场分别为：分别判断上述流体运动是否有旋、是否有辐散和形变？Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST第六节 速度势函数和流函数 速度势函数 速度流函数 二维流动的表示Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST一、速度势函数 定义（速度势函数的引入及存在条件）流体运动无旋流动涡旋流动否则，则称之为涡旋流动：如果在流体域内涡度为零，即: 无旋流动；Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 据矢

14、量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：对于无旋流动，必定存在一个函数 满足如： 或无旋流动，其速度矢总可以用函数 的梯度来表示，把函数 叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。 通常将无旋流动称为有势流动或势流。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST而引进了势函数后：引入势函数的优点 流速矢描述流体运动 含有三个变量； 需要给定三个变量 刻画流体的运动情况。只要一个变量（势函数）就可以来描述流体运动，大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM

15、NUIST由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，位势梯度小，相应的流速小。用势函数来描述流体运动对于某一固定时刻 =常数为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。上式取不同常数 不同的等位势面 等位势面族。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如 图所示（其中， BChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 势函数的求解 假如流体的散度为： 根据势函数的定义有：

16、其中， 为三维拉普拉斯算子。可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）：（2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最终得到势函数。 （1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST定义及存在条件 二、速度流函数考虑二维无辐散流动，即满足：其流线方程为：无辐散流辐散流流体运动引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：Chen Hai

17、shanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST 根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可知，满足无辐散条件下:流速与该函数满足：矢量形式：Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST积分以上的全微分形式，可以得到： =常数上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数 的等值线。将以上引进的函数 称之为流函数，而流线也就是等流函数线。对某一固定的时刻：一空间曲线流线方程积分曲线。流速与该函数的关系曲线的切线方向与流速矢的方向是相吻合的。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST （2）

18、表征流体通量在流体中任取一条有向曲线A B，顺着该有向曲线流体自右侧向左侧的通量Q：曲线法向方向的单位矢量定义为：而：引入流函数的优点流速在曲线法向方向上的分量（1）减少表征流动的变量ABChen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST引用流函数，并考虑：或表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。 用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程； （

19、2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。（3）表征流体涡度由涡度的定义 ，可得到用流函数来表示的涡度表达式：可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST三、二维流动 一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足： 无辐散涡旋流 无旋辐散流 Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST上式为大气动力学中广泛采用的形式。 Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST

20、习题1-6-1 已知二维流速场为： 分别求势函数和流函数存在的条件。 习题1-6-2 请问是否存在既满足无辐散条件又满足无旋条件的流动？如存在，请举例说明。 课 后 习 题Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST习题1-6-3 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2）等势函数线和等流函数线正交。习题1-6-4 平面流动的流线方程为： ； 由流函数全微分 ； 当取 常值时，也可以得到 试问两式是否等价？请说明理由？Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST本章总

21、结1流体的物理性质和宏观模型 （概念） 流体的主要物理性质：流动性、粘性和压缩性； 流点的概念和流体的宏观模型-连续介质假设。 2流体的速度和加速度 （理解、计算和应用） 描写流体运动的两种观点：Lagrange观点和Euler观点及其差别以及两种变量的相互转换； （理解、计算） 流体的加速度的定义、物理含义、计算； （理解、计算） 微商算符 的物理实质及其应用。 （理解、和应用）Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST3迹线和流线 （概念、理解、计算）迹线和流线的概念、迹线和流线的物理实质； （概念、理解）迹线和流线方程求解的方法； （计算）迹线、流线的差别以及迹线、流线重合的条件 （理解）4速度分解 （理解）亥姆霍兹速度分解定理的主要内容及其有关计算Chen HaishanChen HaishanNIM NUISTNIM NUIST5涡度、散度和形变率 （概念、理解、计算）涡度、散度和形变率的定义，物理含义；涡度、散度和形变率的计算；形变张量的概念。6速度势函数和流函数 （概念、理解）速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；速度势函数、流函数表示二维流动。