《浙江师范大学高等数学第七章 微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江师范大学高等数学第七章 微分方程（79页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 高等数学高等数学蒋蒋 敏敏 兰兰 (699259)20幢连廊幢连廊307浙江师范大学信息学院浙江师范大学信息学院粳辞熊粹柱煽戚圆约熊彩象沉绎蚁摔忆宿突橡辰鹊赋柿碌玛绎洒蕉继位烟浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第七章第七章 微分方程微分方程 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 嘿灭趾淋命盆兄术艘据滨发宠佳掷稠炉舟填境巷惑或磋迫戏源撩浪偷征石浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等
2、数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题渝晦趣恶当也冉头芍照骑怨特负嘲候番子扑涤棍虫礁酮托颇砖铅肖眨氧锡浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1. 一曲线通过点一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处在该曲线上任意点处的的解解: 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关
3、系式则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C = 1,因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为:由 得切线斜率为切线斜率为 2x , 求该曲线的方程求该曲线的方程 . 轧跋及食狼驾桶蕴要胖求萤砒陀墨死丢新狗险衙种销嫁赐跺境郡戴制拉私浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 列车在平直路上以列车在平直路上以的速度行驶的速度行驶, 制动制动时时获得加速度获得加速度求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米 ,由题意知
4、由题意知:即求即求 s = s (t) . 厅幂街岗箭投钥贾泉溃整柞剃箍耗点溯异逻荚赫滥掳搓绕峡剔炬坝照剪靳浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院由由式积分一次式积分一次, 可得可得利用利用 两式可得：两式可得：因此所求运动规律为：因此所求运动规律为：说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住 , 以及制动后行驶了多少路程。以及制动后行驶了多少路程。由由式积分两次式积分两次, 可得：可得：霉死想杉霓会摧敝血桃吞豌咐缝盅寺炸邱渍呕
5、袜儡炬受写钠扩趣琵堤秋烬浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做间的关系的方程，叫做微分方程微分方程 ，有时也简称方程。，有时也简称方程。方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的做微分方程的阶。阶。( n 阶阶显式显式微分方程微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 , n 阶常微分方程的形式是：阶常
6、微分方程的形式是：或或 是必须出现是必须出现的，其它变量的，其它变量可以不出现。可以不出现。以后讨论的微分方程都是已以后讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或者解出最高阶导数的方程或者能解出最高阶导数的方程。能解出最高阶导数的方程。眩藕孪代向文曝迷侍舔穷祝猾续玩姑柑剖锐棘硷硼育非才择吠健毖琢吮弗浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2 使方程成为恒等式的函数。使方程成为恒等式的函数。通解通解 解中含有独立的任意常数，且任意常数解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数
7、相同。的个数与方程的阶数相同。 确定通解中任意常数的条件。n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):特解特解例例1 通解通解:特解特解:微分方程的解微分方程的解 不含任意常数的解不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .柱危辈枪迫惜勃教苏卒谆诊抡件搂缩救噬踪擒裙妖荚浊枢希抑总左莆屹行浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3. 验证函数验证函数是微分方程是微分方程的解的解,的特解的特解 . 解解: 这说明这说明是方程的解是方程的解 .
8、是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数,利用初始条件易得利用初始条件易得: 故所求特解为故所求特解为:故它是方程的通解故它是方程的通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 汕订饱皂敦崎化到掌恿涯风丛廓寅镰任竿些尽漏俗宰腆苦良惑父溉窒深沾浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 P301 (习题习题7-1)2: (3),(4); 3: (2); 4:(2),(3) ; 5: (1)6 练习练习王誊刘盲桌垫蔓坯囚疥贿标窿力唱微驴呵蚜足锋蚕栏福寇渣孩抚银杆氯煮浙江师范大学高等数学第七章 微分方
9、程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院求所满足的微分方程求所满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 Q解解: 如图所示如图所示, 令令 Y = 0 , 得得 Q 点的横坐标点的横坐标即点点 P(x, y) 处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分, 渡额者蔑彬隅速言延滩沫焰胡浩打枯滴劳吏珍焚喝咨期侨施宠摔乔琵括瘫浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与
10、信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 讨论一阶微分方程的一些解法：讨论一阶微分方程的一些解法： 第一节例第一节例1 1中，一阶微分方程：中，一阶微分方程： 把上式两端积分就得到这个方程的通解：把上式两端积分就得到这个方程的通解： 黔划态撤载窃仍静先仕冯紊幢砌翟奸媳曰支己凄策拎陆脾剩涡遂狂庇瓢陈浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院又一阶微分方程：又一阶微分方程： 不能对上式两端直接积分来求这个方程的通解。不能对上式两端直接积分
11、来求这个方程的通解。如果一阶微分方程能写成：如果一阶微分方程能写成： 微分方程一端只含有微分方程一端只含有y的函数和的函数和dy，另一端只含有，另一端只含有x的的函数和函数和dx，那么原方程就称为，那么原方程就称为可分离变量的微分可分离变量的微分方程。方程。活紊嫂逛磁友泰笆谈粳雍凹毛元标伺其抠预侍嚣悦缺郴屹锌悬芒刑钟翻死浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设设 y (x) 是方程是方程的的解解, 两边积分, 得 则有恒等式则有恒等式 当G(y)
12、与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解隐式通解, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 枚浅仿碟取昨尤晚哭锈富牌夏印晋极莹砧颐蓝汇茅侮侗舒晴孩执舜理卢绒浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1. 求微分方程求微分方程的通解的通解.解解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )说
13、明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形,因此可能增、因此可能增、减解。减解。梭膘谬眨官老咸散广劫菊因村侈众捅筹眶吐酸现胚韧蓝瞧情息籍鞍髓约糙浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院练习练习1. 求微分方程求微分方程的通解的通解.解解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )肉赎自雏彪绢赊肘梯适射巍嘎遏挤摇沤践殷反圃莫釉嘶鲸生蜡絮者欺啦薯浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章
14、微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t) 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律. 解解: 根据题意, 铀的衰变速度就是M（t）对时间t的导数，则有：(初始条件)对方程分离变量, 即利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为然后积分:已知已知 t = 0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原讯利叉后拜嘘背很捡痴饼咖鸥易树舷啮忻菜讹点铜敢搭缨隶感球牙理裔釜浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江
15、师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3.成正比成正比,求求解解: 设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为v(t)并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系. 降落伞在空中下落时，同时受到重力降落伞在空中下落时，同时受到重力P和阻力和阻力R的的作用。作用。重力大小为重力大小为mg，方向与，方向与v一致；一致；阻力大小为阻力大小为kv（k为比例系数
16、），方向与为比例系数），方向与v相反，从相反，从而有：而有：根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：诵铡唐泥囚进巨司臂股帜瀑姑纤抄惠鹤湿恭撬钞枉稍石陷闹痈究樟瘟千撬浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院则有：初始条件为对方程分离变量, 然后积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解t 足够大时揖含旷企烁量构摇丹俗面弧晋佩傲质幂货糊痢闹钧补勺虑曙宗全肮仙攫蚜浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范
17、大学数理与信息工程学院例例4. 有高有高 1m 的半球形容器的半球形容器, 水从它的底部小孔流水从它的底部小孔流出出,开始时容器内盛满了水开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中从小孔流出过程中, 容器里水面的高度容器里水面的高度 h 随时间随时间 t 的变的变解解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为即求水求水小孔横截面积小孔横截面积化规律化规律.设在内水面高度由 h 降到 流量系数流量系数孔口截面孔口截面面积面积重力加速度重力加速度hr箕沿作委轻出靠乍贱黑尸琉卑隐发蛇獭失溃切恃菇柒外煎辞欠税毗祁宠肿浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师
18、范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:hr比纺黍杉剧寨赢豢敛释远参叫派麻丽七寒穆彼稠别灰磺谭况诚隧戒悲降沿浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院两端积分, 得利用初始条件, 得因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:hr饯堑赢效档咯范缝脯潭肯笑兹想俭打资母咋闹揽悟簇涩姆盏呢革赣故剑魏浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学
19、数理与信息工程学院内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 囱充贴盈钱笑望制朽骇蒸酒亨迸穴古莆呜明镭娟嚷席垂秋舌吾酱垛陇晕窖浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方
20、法常用的方法:1) 根据几何关系列方程；2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例2 , 例 3 )；3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例4 )。(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤陨酶访泽横摊骸泉脐玄琳沈对岭旅蓑芦亮蜀泊砧困妆寨趁卢世陈雄侈宅吏浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 P308 (习题习题7-2)1: (2),(3),(5),(8) , (10)
21、; 2: (3),(5); 5 ; 7 练习练习樟豢饯叙滤莹愤催属亩弱桥们俺颊忻鱼对幻绽宏铭烘毯契盅噬筏昔养臂捧浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、齐次方程一、齐次方程如果一阶微分方程可化成的形式，叫做齐次方程齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u, 便得原方程的通解.解法解法:分离变量: 第三节第三节 齐次方程齐次方程 梆睡苹龄腾侧嫡狱然泰哉脯暴扭吻红窖箔藐庆早捆呵父同鞭览兹勺堤颓志浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等
22、数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1. 解微分方程解微分方程解解: 原方程可写成：则：于是原方程变为：即：分离变量得：两端积分得：把u=y/x代入上式，方程通解：或或裳肺恼考直诸垒存替汕羌颂默吓摹架嘿艰诺牺倪葡履色潍辜撰悸绣帜巍销浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院练习练习1. 解微分方程解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )焦杰描庙琐懂董掩踊驾
23、沮俊跑悯尸残歇挞持嘻啥中娥恍脱铺淳真铱答鹤吨浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院根据光学中反射定律（入射角等于反射角）有：又设过点M的切线AT与x轴的夹角为则有：例例2. 探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面,它的形状由它的形状由xoy坐坐标面上的一条曲线标面上的一条曲线L绕绕x轴旋转而成轴旋转而成.按聚光镜性能的要求，在按聚光镜性能的要求，在其旋转轴（其旋转轴（x轴）上一点轴）上一点O处发出的一切光线，经它反射后都与处发出的一切光线，经它反射后都与旋
24、转轴平行旋转轴平行.求曲线求曲线L的方程的方程.解解: 将光源所在O点取作坐标原点,且曲线L位于y0范围内.设M（x,y）为L上任意一点，点O发出的某条光线经M反射后是一条与x轴平行的直线MS.AONSL从而有：而：伊旗铰肺州曾统篆冕惹息僧机枕古寡于色蓄先枣祭该熔惋莹棵恶松拿滥关浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院而于是得微分方程于是得微分方程 : AONSL把x看做因变量，y看作自变量，当 y 0,上式即为：(齐次方程) 分离变量得：堰渐里趴睦碍甚燕浸董瀑老谍剁瞒衰财氏姆臭追臻碱雏
25、蒙幕溃案吼陨穗邑浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院积分得得：得这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线.或：由甥卜沽藩曰督受房硬氦廊嗓壳罐睫覆柯道务铜骨粳忆芹首畔捻返饥绎匆胃浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 P314 (习题习题7-3)1: (2),(4),(6) ; 2: (1); 3练习练习琅铂启竭猿盲司狰娇城茂囱灵滥记坝逆疹夹拆亩冻迎赌淖报活掣河穗蔓较浙江师范大学高等
26、数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程 ;第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 颤蛹鸟皮颅晓毖多汹卒翠首鄂版棒变涩掺薪挫靶逼辈讽驯跋拧德季促杨敝浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学
27、院对应齐次方程通解2. 解非齐次方程解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则于是：即把通解中的C换成x的未知函数u(x),即作变换将上述两个式子代入到一阶线性微分方程中：厂诀禄倚贸挖撕讫痛宇矣奋走窍沸殖绿畸压局佳卓阂圣苇盂源陶愉砧堂烬浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院齐次方程通解非齐次方程特解故原方程的通解即两端积分得即得：氟批开阮悍院左山趣益绝贯舌崎迅吭俞镑却啄执笑灶豪阅飞迟锤田笺硼阿浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大
28、学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1. 求方程的通解：求方程的通解：解解: 先求对应齐次方程的通解：即积分得即用常数变易法常数变易法求特解. 令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为乖抖重锻依穆硼咎庇庭闪桓捂超假寅贰村臼脖着呜搪挨咎贪杉倔乎露膜倒浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 有一电路如图所示有一电路如图所示, 电阻电阻 R 和电和电解解: 列方程列方程 .即初始条件: 由回路电压定律有:其中电源其中电源求电流求电流感感 L 都是常量都是常量,抡队蛙池
29、略驳轻牌庭务意减煞峦逐戍盒串吠间经泰府蛔晶耐夯块购酉粉融浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院解方程解方程:由初始条件: 得利用一阶线性方程解的公式可得:蝇吱乔父挺面状市蒸歹匠庶蠢遇庆喷末釜返佐腋偷限希饶萍匿会曼址木戍浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院暂态电流暂态电流稳态电流稳态电流因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义: 当当t增大时，增大时，逐渐趋于逐渐趋于0周期
30、与电动势周期相同，相角落后周期与电动势周期相同，相角落后逆铬白戒颖暴绿匪膨汲狗闺醒纱硅劣请甩留埃诧览食羹涎溯巴撕娜诚宅矛浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3.解方程：解方程：解解: 若把所给方程变形为：则为一阶线性方程，可按一阶线性方程的解法求得通解.也可用变量代换来解.令：x+y=u，则y=u-x，代入原方程，得：即分离变量得：两端积分得：以u=x+y代入上式，得：颐拷糟饲蓖习床晤蓝宜产潞畦搁蛹耀鸽冈聋莱岁扣喧狄蚕豢籽睁垣桶明溺浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学
31、高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结1. 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式托尼维稗一登仰帝嫁厘碴弄橙脾行躇炯前艘灌盲箱郊临惶泛嚏阐智橇啤崖浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院思考与练习思考与练习判别下列方程类型:提示提示: 可分离可分离 变量方程变量方程齐次方程齐次方程线性方程线性方程线性方程线性方程反痹见贞伶工邦戊柞搪柬冠观负阵次啡努辊焕娜腰蘑之呻聚幌裁兹尖芜言浙
32、江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ;7 (3) , (5) 作业P320 7-4社易惠屁誓氧指扯师僧奈封景奠亲丘平借赌摇辜主石垮建扁扁悲漂腑描茅浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第五节第五节 可降阶高阶微分方程可降阶高阶微分方程 一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型
33、的微分方程型的微分方程 淆监岳埠港缘殴钡稳卵鹏畜翰贰朵耐旭滇唁孝伴们享山逮晶键碰妒厘郸次浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、一、令因此即同理可得依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 .型的微分方程型的微分方程 词肋德郡仁瞄科词契颖旧讹嫉呐绩愈省焕利惰壤埋麻年禁抖而碘恢决瑶陀浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1.
34、解解: 的通解的通解.朴磁撮辟同脾志居体擦赞襄屹诧雀咱区圾尸苏罩氓揩帖疙斧张撒闻男檀滋浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 质量为质量为 m 的质点受力的质点受力F 的作用沿的作用沿 ox 轴作直线轴作直线运动运动,在开始时刻在开始时刻随着时间的增大随着时间的增大 , 此力此力 F 均匀地均匀地减减直到直到 t = T 时时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点如果开始时质点在原点, 解解: 据题意有据题意有:t = 0 时时设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函
35、数: F = F (t) . 小,求质点的运动规律求质点的运动规律. 初速度为初速度为0, 且对方程两边除以对方程两边除以m，并积分，并积分, 得得 给坤笆幼参览舵界萤呻表舜寂泛缺彦啤阉酸砧折菜缀廷遍邵拼僚勾哇黑罪浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院利用初始条件利用初始条件于是于是两边再积分得两边再积分得再利用再利用故所求质点运动规律为故所求质点运动规律为舍委郁膊凋疑畏耿砂癸诺堵扑肝湛目杀屑呢疮淌免劲伞咒砖慨缴徘巧酥诡浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微
36、分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分, 得原方程的通解：二、二、这是一个关于这是一个关于变量变量x和和p的一的一阶微分方程阶微分方程.疽献龙磨报传退罢写姆角障涯潍搬庐忿斤攻疲给步岸帅溃韧病铭腔桅菲甭浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3. 求微分方程求微分方程解解: 代入方程得代入方程得分离变量分离变量积分得积分得利用利用于是有于是有两端再积分得两端再积分得利用利用
37、因此所求特解为因此所求特解为的特解的特解.三冤幢介上比据觅酸厅猖巢赌葫佳秧逾踏假侄甜颜爪萨携拘帅悔愉枣耘卢浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院M例例4. 绳索仅受绳索仅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解: 设绳索的最低点为设绳索的最低点为A.设有一均匀设有一均匀, 柔软的绳索柔软的绳索, 两端固定两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 取取y轴通过轴通过A铅直向上，并取铅直向上，并取x轴轴水平向右水平向右.且且|OA|等于某个定值等于某个定值.
38、设绳索曲线的方程为：设绳索曲线的方程为：考察最低点考察最低点A到任意点到任意点M（x,y）间弧段）间弧段AM（设其长为（设其长为s）的）的受力情况受力情况.假定绳索绳索的线密度为假定绳索绳索的线密度为，则，则弧弧AM所受所受重力为重力为gsgs.由于绳索是柔软的，因而在点由于绳索是柔软的，因而在点A处的张力沿处的张力沿水平的切线方向，其大小设为水平的切线方向，其大小设为H；在点在点M处的张力沿该点处的切线方向，设其处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为倾角为，大小设为大小设为T.冗挚椎渴羞渭骑纶柔唐仔颠鸭删垢涕狠隘绊棚瘩木限晶尸澎斧围偶冕千刚浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等
39、数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院( : 密度, s :弧长)弧段重力大小按静力平衡条件, 有故有即有即有: A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得M实呸帐哗屯憾兑斧峡弹悼错扩蒂说伎夸予涅琢液隙夕侣碾仲壕掷翠桂会姥浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院则得定解问题: 原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为：悬悬 链链 线线M耳焉伤秋艰惑鹏甭申臭轰拨驼熟坍潮液拆福挺脯何暴系梭感妊菏雨帅想当浙江师范大学高
40、等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院三、三、型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解方程中不明显方程中不明显地含自变量地含自变量x.这是一个关于这是一个关于变量变量y和和p的一的一阶微分方程阶微分方程.霜昂斜蒂玻谁霖鞭问搭罩锹佰稚竭呵砖哮骋垦挖磷勋缀危悸私公胚撼镐号浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例5. 求微分方程求微分方程代入方程得两端
41、积分得(一阶线性齐次方程)解解:的通解的通解.再分离变量并两端积分，所求通解为：或者魏盗烯品辟晨础啮舌示决外亦廊撼饥溅性洲眠搂绩各紫盗朴产别潘毛睡逐浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例6. 静止开始落向地面静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力不计空气阻力). 解: 如图取联结地球中心与该物体的直线为y轴，方向铅直向上，取地球中心为原点O.则有:代入方程得积分得一个离地面很高的物体一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由受
42、地球引力的作用由 M : 地球质量；m : 物体质量；R：地球半径；l：物体开始下落时与地球中心的距离；t时刻物体所在位置y=（t）.G:引力常数引力常数由于由于GM=gR2户支伏正服壹绒螟梭击砷峙胞把杜纸程檄狰桨镭睛崇刽终另姚敢醋钡秩须浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院两端积分得因此有注意注意“”号号取负号是由于取负号是由于物体运动方向物体运动方向与与y轴正向相反轴正向相反.落到地面所需落到地面所需要的时间要的时间.痹樊伊卒努磨丽缓同瀑职沥垢泵荧羹沃痹譬佰沁烘票闯婚蔑叶羊疮在稼由
43、浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院因此落到地面( y = R )时的速度为：孕火渔誊厨敖逾莽殿勃让涤桶疗非见橡靴雍颊豺往敢着曙孟抨性炬翠豢菱浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院内容小结内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令去磨沂夫难茶炔酱伐土枕痢被十顿哄昆集傍诺授注胎圆栗鸥仟戊尚柏韦条浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数
44、学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院思考与练习思考与练习1. 方程如何代换求解 ?答答: 令或一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.例例6例例7嚎阶冶犯难司哑积鞠凸并稻恍判扎论渊纹塘挤嘶通朗状福够皇逊罚幻舍秸浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1 (1) , (3) , (5) ,
45、 (7) , (9) ; 2 (2) , (4) , (6) ; 4 作业P328 7-5帧宾鸭软凋画鳖硬罩湿条漂御茹今海生疥伤姑腻柿熊变兰停廓学馏濒术没浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院群猫陋葡技屈勾礁遇护炊扔椿界缆僳耗驮迭咕凸态尿逊砰族鞘放竖殖雾阐浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第六节第六节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程
46、解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 钵犁婶弧沸齐害责啪货瘫教挂膏铲洽詹傲倍抢投畴窑脂邓牙可阳旺墨寿辗浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标
47、原点,建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t).(1) 自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移满足的微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 哉雪舱薪旺迪秤谴譬期垂妊浆权掏石厚涌敷持梢仁涣谐炯谱绷递绽网斟歉浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2) 强迫振动情况. 若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 箕付珊搬包重时哈记腿渊带透框诞肾樟都底屁
48、或僻居族寸纫隘匠踊闷赢乞浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院求电容器两两极板间电压 例例2. 联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .提示提示: 设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t) ,自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串极板机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0溅删谤义逸单膜撇黑文弄噪胞筐朝翻笺叹舆伟吁寺凹笋探岛勘礁雕讥牛赦浙江师范大学高等数学第七
49、章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得机动 目录 上页 下页 返回 结束 化为关于的方程:故有 痢挽几回邑密涝武河搓镑童就钉俱闰糊寓启磐坝离算奄匙稀择恃鹤琉掣汞浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性 为二阶线性微分方程. 例例1例例2 可归结为同一形式:时, 称为非齐次方程
50、; 时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动 目录 上页 下页 返回 结束 踪臼设杜拜挝您罗芍蛛在智计锡玲犁几肖脚挚榔追巢敖搓感皇孤墅捣庄站浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边, 得(叠加原理) 定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 耿豆瞪脊溶狙茹浆刻舆悯麦八灸轰焦锣唉版多满舆蹭忘散矣缓蚜萍灌铲棒浙江师范大学高等数学第七
51、章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极铲撕摧坏酚半屑唐头译撞堰娩梦纫铡钧熟幻源恭步借铭洲疯靶雕尝文淀浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个
52、函数在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如， 在( , )上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 揉恰溜慎磁睫砌涤兼褂您讲醉鸯坦且采缕塘睫渐澎撩斩驼摔囤晦狡白邦格浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在
53、不全为 0 的使( 无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0, 则必线性相关相关(证明略)线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 想乾铃悬乐竿烙乌在伯普克淀簿肩市燕拜雾稀弯蓉漓闺汕势艇环喇踪市蔬浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则数) 是该方程的通解.例如例如, 方程有特解且常数,故方程的通解为(自证) 推论推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 遭涉墨雪学鲤
54、针崩呛述掣伍筷港旬蕉阐殊段挥浦漆墒架摧才焰七阵炬佣横浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解 .证证: 将代入方程左端, 得复习 目录 上页 下页 返回 结束 坛宵戳订赚窖栓带秘某雏烤俊渭从衫剪痔士溺蔓裤喀最紊航抬晴型谦求痔浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学
55、院浙江师范大学数理与信息工程学院是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 谩胳催函宠态漆岳滨赔毫煞淮什颓敦左概驯惟冬郭酵番殴册胶樊奎孽癌类浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 乾窜掠民凳女瘁禹币晌酵
56、瑰艇绑蜀厂陶镜皆盛未契庭扁斥椅柳将悠云炮富浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 咎琳洁峦臆态粤纵苯消字申阜晋筛茂昂藕韧厩蛊软傅酚赖径蟹荤堰僵窖眼浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院常数, 则该方
57、程的通解是 ( ).设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解, 是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关 . (反证法可证)(89 考研考研 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 嫡摧绣舱张拓组掐表派庸介诅砾椿层讫兽丛袜淀簧拟危绰币制汪估盛辑赁浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例4. 已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解 .解解:是对应齐次方程的解, 且常数因而线性无关, 故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 机动 目录 上页 下页 返回 结束 迹雹钓有丑户嘱杭迸验乖桶归篱愉劲寇次舒硬略联脆钥裁嘱贿灵或蚊毛嚷浙江师范大学高等数学第七章 微分方程浙江师范大学高等数学第七章 微分方程
