《高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修22（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2反证法 主题反证法主题反证法1.1.鲁迅先生在论证鲁迅先生在论证“作文没有秘诀作文没有秘诀”时叙述时叙述: :如果作文如果作文有秘诀有秘诀, ,则就有许多祖传作家则就有许多祖传作家, ,由于不存在许多祖传作由于不存在许多祖传作家家, ,所以所以, ,作文没有秘诀作文没有秘诀. .鲁迅先生运用的是数学中的哪鲁迅先生运用的是数学中的哪种思想种思想? ?提示提示: :运用的是反证法的思想运用的是反证法的思想. .2.2.用反证法证明命题用反证法证明命题“若若p,p,则则q q”的第一步是什么的第一步是什么? ?提示提示: :第一步是否定结论第一步是否定结论, ,即若即若p,p,则则q.q.
2、结论结论: :1.1.反证法的定义反证法的定义假设原命题假设原命题_(_(即在原命题的条件下即在原命题的条件下,_,_不成不成立立),),经过正确的推理经过正确的推理, ,最后得出矛盾最后得出矛盾, ,因此说明假设错因此说明假设错误误, ,从而证明了从而证明了_成立成立, ,这样的证明方法叫做反证这样的证明方法叫做反证法法. .不成立不成立结论结论原命题原命题2.2.反证法常见矛盾类型反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾. .这个矛盾这个矛盾可以是与可以是与_矛盾矛盾, ,或与或与_矛盾矛盾, ,或与或与_、_、_、_矛盾等矛盾等. .已知
3、条件已知条件假设假设定义定义定理定理公理公理事实事实【微思考微思考】1.1.我们常说我们常说“否定之否定即为肯定否定之否定即为肯定”, ,你能说明反证法你能说明反证法中的否定之否定的两个否定分别是指什么吗中的否定之否定的两个否定分别是指什么吗? ?提示提示: :第一个否定是指第一个否定是指“否定结论否定结论”即假设即假设, ,第二个否第二个否定是指定是指“逻辑推理结果否定了假设逻辑推理结果否定了假设”. .2.2.反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗思路有关吗? ?提示提示: :有关有关, ,反证法的原理为反证法的原理为“互为逆否命
4、题的两个命互为逆否命题的两个命题真假一致题真假一致”, ,即即: :“P PQ Q”“Q QP P”. .【预习自测预习自测】1.1.下列命题不适合用反证法证明的是下列命题不适合用反证法证明的是( () )A.A.同一平面内同一平面内, ,分别与两条相交直线垂直的两条直线必分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交相交B.B.两个不相等的角不是对顶角两个不相等的角不是对顶角C.C.平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分D.D.已知已知x,yRx,yR, ,且且x+yx+y2,2,求证求证: :x,yx,y中至少有一个大于中至少有一个大于1 1【解析解析】选选C.AC.A中命题条件较少
5、中命题条件较少, ,不足以正面证明不足以正面证明;B;B中中命题是否定性命题命题是否定性命题, ,其反设是显而易见的定理其反设是显而易见的定理;D;D中命题中命题是是“至少型至少型”命题命题, ,其结论包含多个结论其结论包含多个结论, ,而反设只有而反设只有一个结论一个结论. .2.2.“自然数自然数a,b,ca,b,c中恰有一个偶数中恰有一个偶数”的否定正确的为的否定正确的为( () )A.a,b,cA.a,b,c都是奇数都是奇数B.a,b,cB.a,b,c都是偶数都是偶数C.a,b,cC.a,b,c中至少有两个偶数中至少有两个偶数D.a,b,cD.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数中都是
6、奇数或至少有两个偶数【解析解析】选选D.D.自然数自然数a,b,ca,b,c的奇偶性共有四种情形的奇偶性共有四种情形:(1)3:(1)3个都是奇数个都是奇数;(2)2;(2)2个奇数个奇数,1,1个偶数个偶数;(3)1;(3)1个奇数个奇数,2,2个偶数个偶数;(4)3;(4)3个都是偶数个都是偶数, ,所以否定正确的是所以否定正确的是a,b,ca,b,c中都中都是奇数或至少有两个偶数是奇数或至少有两个偶数. .3.3.用反证法证明某命题时用反证法证明某命题时, ,对某结论对某结论: :“自然数自然数a,b,ca,b,c中中无偶数无偶数”, ,正确的假设为正确的假设为_._.【解析解析】a,b
7、,ca,b,c中无偶数中无偶数, ,即即a,b,ca,b,c都是奇数都是奇数, ,反设应是反设应是“a,b,ca,b,c中至少有一个偶数中至少有一个偶数”. .答案答案: :a,b,ca,b,c中至少有一个偶数中至少有一个偶数4.4.用反证法证明命题用反证法证明命题“x x2 2-(a+b)x+ab0,-(a+b)x+ab0,则则xaxa且且xbxb”时应假设为时应假设为_._.【解析解析】将结论否定将结论否定. .“xaxa且且xbxb”的否定是的否定是“x=ax=a或或x=bx=b”. .答案答案: :x=ax=a或或x=bx=b5.5.已知三个正数已知三个正数a,b,ca,b,c成等比数
8、列成等比数列, ,但不成等差数列但不成等差数列, ,求求证证: : 不成等差数列不成等差数列. .【证明证明】假设假设 成等差数列成等差数列, ,则则类型一类型一用反证法证明否定性命题用反证法证明否定性命题【典例典例1 1】设设aan n 是公比为是公比为q(q0)q(q0)的等比数列的等比数列, ,S Sn n是它是它的前的前n n项和项和, ,求证求证: :数列数列 S Sn n 不是等比数列不是等比数列. .【解题指南解题指南】本题为否定性命题本题为否定性命题, ,可以考虑用反证法证可以考虑用反证法证明明. .【方法总结方法总结】反证法常用结论的反设词反证法常用结论的反设词结结结结论论论
9、论词词词词= = = = 是是是是都是都是都是都是至至至至多多多多一一一一个个个个至至至至少少少少一一一一个个个个任任任任意意意意至少至少至少至少n n n n个个个个至多至多至多至多n n n n个个个个反反反反设设设设词词词词 不是不是不是不是不都是不都是不都是不都是至至至至少少少少两两两两个个个个一一一一个个个个也也也也没没没没有有有有某某某某个个个个至多至多至多至多n-1n-1n-1n-1个个个个至少至少至少至少n+1n+1n+1n+1个个个个【拓展延伸拓展延伸】反证法的适用范围反证法的适用范围(1)(1)否定性命题否定性命题. .(2)(2)命题的结论中出现命题的结论中出现“至少至少
10、”“”“至多至多”“”“唯一唯一”等词等词语的语的. .(3)(3)当命题成立非常明显当命题成立非常明显, ,而要直接证明所用的理论太而要直接证明所用的理论太少少, ,且不容易说明的且不容易说明的. .(4)(4)要讨论的情况多或者复杂要讨论的情况多或者复杂, ,而反面情况少或者简单而反面情况少或者简单的的. .(5)(5)问题共有问题共有n n种情况种情况, ,现要证明其中有一种情况成立时现要证明其中有一种情况成立时, ,可以想到用反证法把其他的可以想到用反证法把其他的(n-1)(n-1)种情况都排除种情况都排除, ,从而从而肯定这种情况成立肯定这种情况成立. .【巩固训练巩固训练】求证求证
11、: :对于直线对于直线l:y:y=kx+1,=kx+1,不存在这样的实不存在这样的实数数k,k,使得使得l与双曲线与双曲线C:3xC:3x2 2-y-y2 2=1=1的交点的交点A,BA,B关于直线关于直线y=y=axax(a(a为常数为常数) )对称对称. .【证明证明】假设存在实数假设存在实数k,k,使得使得A,BA,B关于直线关于直线y=y=ax(aax(a为常为常数数) )对称对称, ,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则有则有(1)(1)直线直线l:y:y=kx+1=kx+1与与直线直线y=axy=ax垂直垂直. .(2)(2)点点A
12、,BA,B在直线在直线l:y:y=kx+1=kx+1上上. .当当k k2 2=3=3时时, ,l与双曲线仅有一个交点与双曲线仅有一个交点, ,不合题意不合题意. .由由,得得a(xa(x1 1+x+x2 2)=k(x)=k(x1 1+x+x2 2)+2,)+2,由由知知x x1 1+x+x2 2= ,= ,代入代入, ,整理得整理得akak=3,=3,这与这与矛盾矛盾. .所以假设不成立所以假设不成立, ,故不存在实数故不存在实数k,k,使得使得A,BA,B关于直线关于直线y=y=ax(aax(a为常数为常数) )对称对称. .【补偿训练补偿训练】平面内有四个点平面内有四个点, ,任意三点不
13、共线任意三点不共线. .证明证明: :以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角以任意三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形形. .【证明证明】假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐假设以任意三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形角三角形, ,四个点为四个点为A,B,C,D.A,B,C,D.考虑考虑ABC,ABC,则点则点D D有两种情况有两种情况: :在在ABCABC内部和外部内部和外部. .(1)(1)如果点如果点D D在在ABCABC内部内部( (如图如图(1),(1),根据假设知围绕点根据假设知围绕点D D的三个角的三个角ADB,ADC,BDCADB,ADC,BDC都小于都小于9090,
14、 ,其和小于其和小于270270, ,这与一个周角等于这与一个周角等于360360矛盾矛盾. .(2)(2)如果点如果点D D在在ABCABC外部外部( (如图如图(2),(2),根据假设知根据假设知BAD,BAD,ABC,BCD,ADCABC,BCD,ADC都小于都小于9090, ,即四边形即四边形ABCDABCD的内角的内角和小于和小于360360, ,这与四边形内角和等于这与四边形内角和等于360360矛盾矛盾. .综上所述综上所述, ,可知假设错误可知假设错误, ,题中结论成立题中结论成立. .类型二类型二用反证法证明用反证法证明“至多至多”“”“至少至少”问题问题【典例典例2 2】已
15、知已知a-1,a-1,求证三个方程求证三个方程:x:x2 2+4ax-4a+3=0,+4ax-4a+3=0,x x2 2+(a-1)x+a+(a-1)x+a2 2=0,x=0,x2 2+2ax-2a=0+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数中至少有一个方程有实数解解. .【解题指南解题指南】假设三个方程都没有实根假设三个方程都没有实根, ,从而三个判别从而三个判别式都小于式都小于0,0,求出求出a a的范围的范围, ,这与已知这与已知a a-1-1矛盾矛盾, ,从而否从而否定假设定假设, ,肯定结论肯定结论. .【证明证明】假设三个方程都没有实根假设三个方程都没有实根, ,则三个方程中则三个
16、方程中: :它它们的判别式都小于们的判别式都小于0,0,即即: :- a-1,- a0,0,且且x+yx+y2.2.求证求证: : 中至少有一个小于中至少有一个小于2.2.【证明证明】假设假设 都不小于都不小于2,2,即即 2, 2.2, 2.因为因为x,yx,y0,0,所以所以1+x2y,1+y2x.1+x2y,1+y2x.所以所以2+x+y2(x+y),2+x+y2(x+y),即即x+y2x+y2与已知与已知x+yx+y22矛盾矛盾. .所以所以 中至少有一个小于中至少有一个小于2.2.2.2.已知已知a,b,ca,b,c是互不相等的实数是互不相等的实数, ,求证求证: :由由y=axy=
17、ax2 2+2bx+c,y=bx+2bx+c,y=bx2 2+2cx+a,y=cx+2cx+a,y=cx2 2+2ax+b+2ax+b确定的三条抛确定的三条抛物线中至少有一条与物线中至少有一条与x x轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点. .【解题指南解题指南】利用反证法利用反证法, ,否定命题的结论否定命题的结论, ,利用利用0,0,由三个同向不等式求和推出矛盾由三个同向不等式求和推出矛盾. .【证明证明】假设题设中的三条抛物线都不与假设题设中的三条抛物线都不与x x轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点( (即任何一条抛物线都与即任何一条抛物线都与x x轴没有两个不同的轴没有两个不同的交点交
18、点),),由由y=axy=ax2 2+2bx+c,y=bx+2bx+c,y=bx2 2+2cx+a,y=cx+2cx+a,y=cx2 2+2ax+b+2ax+b得得1 1=(2b)=(2b)2 2-4ac0,-4ac0,2 2=(2c)=(2c)2 2-4ab0,-4ab0,3 3=(2a)=(2a)2 2- -4bc0,4bc0,同向不等式求和得同向不等式求和得:4b:4b2 2+4c+4c2 2+4a+4a2 2-4ac-4ab-4bc0,-4ac-4ab-4bc0,所以所以2a2a2 2+2b+2b2 2+2c+2c2 2-2ab-2bc-2ac0,-2ab-2bc-2ac0,所以所以(
19、a-b)(a-b)2 2+(b-c)+(b-c)2 2+(c-a)+(c-a)2 20,0,所以所以a=b=c,a=b=c,这与题设这与题设a,b,ca,b,c互不相等矛盾互不相等矛盾, ,因此假设不因此假设不成立成立, ,从而命题得证从而命题得证. .类型三类型三用反证法证明用反证法证明“唯一性唯一性”命题命题【典例典例3 3】若函数若函数f(xf(x) )在区间在区间 a,ba,b 上的图象连续上的图象连续, ,且且f(af(a)0,)0,且且f(xf(x) )在在 a,ba,b 上单调递增上单调递增, ,求证求证: :f(xf(x) )在在( (a,ba,b) )内有且只有一个零点内有且
20、只有一个零点. .【解题指南解题指南】先由函数零点存在性定理判定函数在先由函数零点存在性定理判定函数在( (a,ba,b) )内有零点内有零点, ,再用反证法证明零点唯一再用反证法证明零点唯一. .【证明证明】因为因为f(xf(x) )在在 a,ba,b 上的图象连续上的图象连续, ,且且f(af(a)0, )0,)0,即即f(a)f(a)f(bf(b)0,)m,nm,则则f(nf(n)f(mf(m),),即即00,00,矛盾矛盾; ;若若nm,nm,则则f(nf(n)f(mf(m),),即即00,00,矛盾矛盾. .因此假设不正确因此假设不正确, ,即即f(xf(x) )在在( (a,ba,
21、b) )内有且只有一个零点内有且只有一个零点. .【方法总结方法总结】巧用反证法证明唯一性命题巧用反证法证明唯一性命题(1)(1)当证明结论有以当证明结论有以“有且只有有且只有”“”“当且仅当当且仅当”“”“唯一唯一存在存在”“”“只有一个只有一个”等形式出现的命题时等形式出现的命题时, ,由于反设结由于反设结论易于推出矛盾论易于推出矛盾, ,故常用反证法证明故常用反证法证明. .(2)(2)用反证法证题时用反证法证题时, ,一定要用到一定要用到“反设反设”进行推理进行推理, ,否否则就不是反证法则就不是反证法. .用反证法证题时用反证法证题时, ,如果欲证明命题的如果欲证明命题的反面情况只有
22、一种反面情况只有一种, ,那么只要将这种情况驳倒了就可以那么只要将这种情况驳倒了就可以; ;若结论的反面情况有多种若结论的反面情况有多种, ,则必须将所有的反面情况则必须将所有的反面情况一一驳倒一一驳倒, ,才能推断结论成立才能推断结论成立. .(3)(3)证明证明“有且只有一个有且只有一个”的问题的问题, ,需要证明两个方面需要证明两个方面, ,即存在性和唯一性即存在性和唯一性. .【拓展延伸拓展延伸】合理使用反证法合理使用反证法什么情况下用反证法什么情况下用反证法, ,应依据问题的具体情况而定应依据问题的具体情况而定, ,不不要乱用反证法要乱用反证法. .一般来说一般来说, ,当非命题比原
23、命题更具体、当非命题比原命题更具体、更明确、更简单更明确、更简单, ,易于推出矛盾时易于推出矛盾时, ,才用反证法才用反证法. .运用反证法证题时运用反证法证题时, ,还应注意以下三点还应注意以下三点: :1.1.必须周密考查原结论必须周密考查原结论, ,防止否定有所遗漏防止否定有所遗漏. .2.2.推理过程必须完全正确推理过程必须完全正确, ,否则否则, ,不能肯定非命题是错不能肯定非命题是错误的误的. .3.3.在推理过程中在推理过程中, ,可以使用已知条件可以使用已知条件, ,推出的矛盾必须推出的矛盾必须很明确很明确, ,毫不含糊毫不含糊. .【巩固训练巩固训练】已知直线已知直线m m和
24、直线和直线a a和和b b分别交于点分别交于点A,BA,B且且abab, ,求证求证: :过过a,b,ma,b,m有且只有一个平面有且只有一个平面. .【证明证明】因为因为abab, ,所以过所以过a,ba,b有一个平面有一个平面.又又mama= =A,mbA,mb=B,=B,所以所以Aa,BbAa,Bb, ,所以所以A,BA,B, ,又又Am,BmAm,Bm, ,所以所以m m . .即过即过a,b,ma,b,m有一个平面有一个平面假设过假设过a,b,ma,b,m还有一个平面还有一个平面异于平面异于平面.则则a a ,b,b ,a,a ,b,b , ,这与这与abab, ,过过a,ba,b有
25、且只有有且只有一个平面相矛盾一个平面相矛盾. .因此因此, ,过过a,b,ma,b,m有且只有一个平面有且只有一个平面. .【课堂小结课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结(1)(1)用反证法反设的三个关注点用反证法反设的三个关注点正确分清题设和结论正确分清题设和结论. .对结论进行正确否定对结论进行正确否定. .对结论否定后对结论否定后, ,找出其所有情况找出其所有情况. .(2)(2)反证法证明的常见问题反证法证明的常见问题反证法可以证明的命题的范围非常广泛反证法可以证明的命题的范围非常广泛, ,一般常见的有一般常见的有: :唯一性问题唯一性问题, ,无限性问题无限性问题, ,肯定性问题肯定性问题, ,否定性问题否定性问题, ,存存在性问题在性问题, ,不等式问题不等式问题, ,等式问题等式问题, ,函数问题函数问题, ,整除问题整除问题, ,几何问题等几何问题等. .
