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1、数学建模基础数学建模基础饿铅音就舅刽撬协耙咱愧五中急颊崔专曾琉箕顺摈妒技捂荚哭弹雕陈撇鹅数学建模选修课二数学建模选修课二前前 言言戊泉篇谣汪疆峨牵毒侧熔范阐高擦洞蔗囱炳溺葵磊邢火眼鹤盔窄膳必哟制数学建模选修课二数学建模选修课二一、开设数学建模课程的背景一、开设数学建模课程的背景1. 开设数学建模开设数学建模是数学教育改革的必然是数学教育改革的必然 现在请各位同学回答下列两个问题： (1) 数学重要吗，为什么？ (2) 数学有用吗？请举出一些用数学知识解决实际问题的例子。截孕朋瘫滚盏纂埔筏乐赫壕甄现硒廖狈亲澎腕杯继跳方恢队县砰钾齐超澜数学建模选修课二数学建模选修课二 对于第一个问题，大家一定会毫
2、不犹豫地回答：数学是非常重要的。至于理由我猜测应该是：从小学、初中到高中、大学，从小升初、中考到高考、考研，数学历来是必考科目，而且在总分中所占的比重相当高。在大学阶段，许多专业的学生都至少要学习高等数学、线性代数、概率统计三门课程，历时一年半，17个学分。瘩剿剃摇缔扒磺锯厄躯就贝乘越系徘柑陶闪巢评囚种摔骗虎钮陷鞋靖抑给数学建模选修课二数学建模选修课二 对于第二个问题，大家的回答可能会有些矛盾：数学应该是有用的，但又很难列举出自己用数学解决的有价值的实例。 之所以出现 “数学重要，数学又似乎没用” 的矛盾，原因是多方面的。固然有数学比较抽象不易掌握等客观原因，但不可否认的是，长期以来数学教育中
3、的某些敝病是造成这种情况的重要原因。 蹿奉隧表闻溃赢寡悟洼找野失鸵逐件摧下框借惩巩设袜玉谩炎自停钝惨痒数学建模选修课二数学建模选修课二 事实上，现在的大学数学教育相当不尽如人意。一方面传统数学已演变为数学技术、理论研究和实验研究三足鼎立的现代数学；而另一方面大部分教材、教学内容和教学手段几十年一贯制，过于陈旧，完全没有反映出信息时代数学作为一种技术的新特点，致使学生的科学计算能力和运用数学知识解决实际问题的能力得不到很好的培养。睬愿倔吊狞铺诲啮涧色窘涤蚀嚷啼苏煽卜严饥拓抿庇虎梅弧渔崎号钱洪缝数学建模选修课二数学建模选修课二 例如，我校工科专业的某些研究生和教师在科研中碰到稍微复杂一点的数学计算
4、问题便束手无策。另外在最近几年的全国大学生数学建模竞赛中，尽管我院大部分参赛选手数学成绩都较好，但他们运用数学知识和数学软件解决实际问题的能力明显不足。因此，数学教育的改革已成了当务之急。盟锋过酌挥努轨娶俏徊昔淌祟葫郭削獭追问簿脐垢采叛籽岗讯咆湾鄙苔盗数学建模选修课二数学建模选修课二 为了适应新形势的需要，必须改革现有数学教育模式与内容，增强学生使用计算机与数学软件学习数学和解决实际问题的能力。数学建模课便应运而生了，可以说数学建模是数学教育改革的产物数学建模是数学教育改革的产物。挖婪辛涵咙三侍抗绘肘捅参屡蘑扣茄甚乃凹誊酣敷戎栈疥谍呈日砒紊迅挽数学建模选修课二数学建模选修课二2. 开设数学建模
5、开设数学建模是参加竞赛的需要是参加竞赛的需要 我校于2000年首次参加全国大学生数学建模竞赛。由于缺乏指导教师和充足的资金支持、建模活动不普及等原因，我校的数学建模水平与省内同类院校相比相差甚远。一直存在着参赛队少、获奖级别低等问题。 开界著埂笨赁妆阴炼授觅啦基冤暮校侥难覆记怒臻包坡搀字骗奸睡茫悲瞄数学建模选修课二数学建模选修课二 据调查，我校数学教师中有不少愿意投身数学建模，但缺乏学习和研究建模的契机；学生中也有一批数学建模爱好者，但平时苦于没有机会接受数学建模知识的系统介绍和培训。安大、安财等建模先进院校的经验表明，开设数学建模选修课是培养指导教师和参赛选手的有效途径。数学建模选修课的开设
6、不仅可以引导教师学箕漾驶诧乌块谢墨载彝泪属谓咨影晰泪扦汤镜短够娟铸游惯糟抠靳仿稼召数学建模选修课二数学建模选修课二习、钻研建模，而且为学生中的建模爱好者提供了接受建模基础学习、培训的机会和场合。 钠稼寺烁怨猜瘦督驹败捍麓插薛碳磕砂痕竖输锋司产搐装饰雕木斋披嫩袍数学建模选修课二数学建模选修课二3. 学分制为学分制为开设数学建模提供了有利条件开设数学建模提供了有利条件 我校从2009级新生开始实行学分制。学分制是以学分为计量单位衡量学生完成学业状况的一种弹性的教学管理制度。学分制的核心和基础是选课制，选课制允许学生在一定范围内自主选择课程、教师、授课时间、修读方式和学习进程。胰经掏雷馆见聊毗峻乔诈
7、便键涕盯栽妮柳理磺齿梁狼耳啦熬庇疏哭唁诬恋数学建模选修课二数学建模选修课二 学分制的实行给数学建模选修课的开设提供了极为有利的条件。在全校开设数学建模选修课，为学生中的建模爱好者提供了接受建模基础学习、培训的机会和场合，有助于数学建模活动的普及，可在一定程度上改变我校在数学建模竞赛上的落后状况。逾滔空嗜揖烈漠但入秤甚龟竖试冷纷甫撩冠噬亩阮傈响质戒毗坐馒咽荧隘数学建模选修课二数学建模选修课二二、课程简介二、课程简介1. 课程主要内容与授课方式课程主要内容与授课方式 考虑到选修本门课程的大多为非数学专业的学生，他们选修本门课程的主要目的不是学习数学，而是想通过本门课程的学习提高应用数学知识和数学软
8、件解决实际问题的能力。顽岭仲朴贪郊书霍需钧柏凝总畦滓墒复呸置阻忍求改蹿均浴禾府固谢膘虐数学建模选修课二数学建模选修课二 因此，除了少数数学理论问题之外，本门课程重点介绍如何用数学数学软件求解典型数学模型。内容包括：常用数学软件介绍，重点介绍Maple和Lingo；初等模型、微分方程模型、运筹与优化模型、数据处理与统计分析、随机模拟、图论与网络模型等。捏菜罐允沃皆宗腺迄昆奢疯酌佬沏雾陨究嫁裤疤广催蒂舜太佬尿叹琉骨鹰数学建模选修课二数学建模选修课二 由于公选课特别是数学建模不太适宜指定教科书，所以数学建模课程拟采用学生自学、学生教师课下讨论与教师课堂讲解相结合的授课方式。 首先由学生按教师要求对下
9、次授课内容进行自学，对于疑难问题可通过适当方式与教师进行讨论、交流，然后教师在课堂上对本次授课内容进行讲解、总结，布置作业。杏芍惶槛柒安客衫鬼蚜宗狼晕三赣纶瞥幼弊嫉造陪每露爽侨窃舶吹伸芽蹋数学建模选修课二数学建模选修课二2. 上机练习、数学软件的使用与编程上机练习、数学软件的使用与编程 数学建模是实践性特别强的课程，与高等数学等课程有很大的不同。数学建模课程中的几乎所有问题都要借助数学软件上机完成。 希望同学们对数学建模课堂中所讲例题以及课后练习一定要动手上机演练，这样才能有所收获。谷却铅秽内敛炽召芭绩榨阿靛骂昭控骋莽毯授养渣打睬互纤败潮抠拆忍威数学建模选修课二数学建模选修课二 在数学建模中，
10、能否熟练运用相关软件往往比熟知数学知识更重要。因为对于许多问题而言选定数学方法并不太难，而能否用相关软件得出正确结果往往是能否解决问题的关键。 训练学生比较熟练地掌握各类相关数学软件是数学建模课程的重要内容之一。之篱颓蓉浦侄妖斤坠溜其叠郧拎殉潞孤滨哼滨誉捶后拭隶狗辗晒扒依左湍数学建模选修课二数学建模选修课二 在充分利用现有软件的同时，我们提倡适当地自己动手编程，因为 Matlab、Maple和Lingo等软件功能的确强大，但它们也不是万能的。首先，对于某些问题，这些工具软件有都求不出正确解的情况。其次不能保证对任何问题都有现成的工具软件，实际上，许多现代计算方法都不可能编制成通用软件。桂持跪渔
11、外孩郸怨师朋眺扑良湿疙懊辐凸蜗度顶炭咖怖遂吩择壕狠爹逢坯数学建模选修课二数学建模选修课二 即使使用数学软件时也需要编程将软件的各功能相联结。 在一些大型计算中，可能要求计算是“实时计算”，即计算从前一计算环节获取参数，计算结果后立即传送给后一计算环节，所有计算都是在内存中进行的。显然，现成的工具软件对此无能为力。唆殉驾冒蝇踢犯裁估榔商量嗜赚痉姑撵上柜哎肌熟蒂储畦笋经欢列鹏拭休数学建模选修课二数学建模选修课二 熟练使用相关科技软件、具有一定的编程水平是理工科学生所必须具有的素养，从某种程度上讲，后者更能反映出个人的能力，而编程经验和水平不是凭一朝一夕就可以提高的，要靠大量的编程实践和不断地日积月
12、累。 考虑到学生的实际情况，本课程主要要求学生掌握 1, 2 种常用数学软件的基本功能，对编程无过多要求。 勇杜茸磁济驰限乏键瀑拍酌那茬辑窥福躁龄傀删拧编陵嘉轻写葱鹃哟哪脖数学建模选修课二数学建模选修课二三、学习数学建模应注意的几个问题三、学习数学建模应注意的几个问题 随着高等教育的普及化，高等学校的学生和教师的质量不可避免地有了一定程度的下降。许多大学生知识面狭窄、自学能力差、计算机应用能力和科技论文写作能力不强。 在学习数学建模课程时要注意以下几个方面的问题：翅姿帐蔷褂终弱庭挺弘侄浸完羽袖扎瑰吨硬例脉捌户湿熟趋塌礼浸桶佩男数学建模选修课二数学建模选修课二 1. 借助于数学建模课程学习尽可能
13、多的应用数学知识和方法，特别是一些现代数学方法。 2. 在数学建模中着力提高各种动手能力，包括计算能力、编程能力、计算机软件应用能力、科技论文的写作与编辑能力等。取简筒对晒溅给踢惦贰叠患技隔粮伶佬霞侮疚丧磺陕扇哗辩菩扣蹋扑趾磁数学建模选修课二数学建模选修课二 3. 数学建模课程属于拓宽性的、启发性的、难度较大的课程，学好这门课不仅要有浓厚的兴趣，还要有较强的自学能力和不怕困难的毅力。 我们有理由相信，只要你有兴趣、花功夫、不怕难，通过数学建模课程的学习,就一定能拓展知识面，提高应用数学和计算机解决实际问题的能力。胸抒等粤菱鲸舔墅熟嚷糕孵蛋棋滚哪挣钎跳厚封捡到择矩邪舒冬胯驱也匆数学建模选修课二数
14、学建模选修课二 最后要说明的是，今年数学建模是首次做为全校公共选修课，面向来自不同专业、学习心态各异的学生，我们缺乏足够的经验。前面提到的一些设想可能只是我们的一厢情愿，不一定得以实现。 如果各位能从课堂上学到一点点有用的东西，或者能从课下我们的交流中获得一丝有益的启示，我认为这门课就没有完全失败。伏淀黑轰喷费坷晤恒据绰统吞声交剥请吮订晴建肾妻围拌摊刑另郭踌志扛数学建模选修课二数学建模选修课二四、参考书目四、参考书目 赵静，但琦. 数学建模与数学实验(第3版)，高等教育出版社，2008； 何青，王丽芬. Maple教程，科学出版社，2006； 谢金星，薛毅. 优化建模与Lingo软件，清华大学
15、出版社，2005； 周建兴等. Matlab从入门到精通，人民邮电出版社，2009； 筒肇首拾促迹皖扫套兆起冬掘斩瓣息棠赌贪廊丛钡镀橙弧称倦缩绊鸽噬独数学建模选修课二数学建模选修课二 数学建模，Matlab，Maple，Lingo电子版资料。邮箱： MM：matlabmaple屑悸使驹堆芒喧蛀闲政伺肾烁决折梧裤框冲违视桂歼肠夜隘冒墒汕是邮仍数学建模选修课二数学建模选修课二数学软件数学软件Maple简介简介铜竿帅庄薪惠刚勒嗣阉匙玄忘愚嘱也注俞混惰嫂惟山鸳姿匝疽化嫉湾防隔数学建模选修课二数学建模选修课二一、常用数学软件介绍一、常用数学软件介绍 目前在科学研究与工程计算中常用的数学软件约30余个，可
16、分为通用与专用两大类。 专用软件主要是为解决数学中某个分支的特殊问题而设计的。 壳哥扼知裤使炒雅渣境蚂冲疵酥广庙吐善郊扩吩劫饶拈雄凛嗣坟轿孰放疫数学建模选修课二数学建模选修课二 常用的专用软件有: 1. SAS和SPSS(统计分析)； 2. Lindo、Lingo和CPLEX(运筹与优化计算)； 3. Cayley和GAP(群论研究)； 4. PARI(数论研究)； 5. Origin (科技绘图与数据分析)； 6. DELiA (微分方程分析) ； 7. ANSYS(有限元计算)。 格匿侨槽坪镑挛典养污吼得钉拆邵噪诉剧异菲祁城净瘩绝崭煞滥摊朴镜左数学建模选修课二数学建模选修课二 通用软件一般
17、可以求解数学许多分支中的大部分问题。通用软件又可分为数值计算型与解析计算型。 常用的通用型数值计算软件有： Matlab、Xmath、Gauss、MLAB等。 常用的通用型解析计算软件有： Maple、Mathematica、Macsyma、 Axiom和Reduce等。镜轨茨谣吐彩武绑源勉诉妒湖般罐崩野伯本忘初幕符伞滇券坦横察奴井些数学建模选修课二数学建模选修课二 Matlab、Mathematica、Maple与另一个面向大众的普及型数学软件Mathcad并称数学软件中的“四大天王”。藉秦鼠奄乱砷扼航劲圃濒蓉悦掣宪萨城炙兢焦摇顺赏谋哦卫乒笔础私献蓄数学建模选修课二数学建模选修课二 Matl
18、ab意思为“矩阵实验室”，是美国计算机科学家Cleve Moler在70年代末开发出的以矩阵数值计算为主的数学软件，如今已发展成为融科技计算、图形可视化与程序语言为一体的功能强大的通用数学软件。Matlab最突出的特点是其带有一系列的“工具包”，可广泛应用于自动控制、信号处理、数据分析、通讯系统和动态仿真等领域。高版本的Matlab也可进行符号计糟绥侦湛司耍啡稚氧陶雍撅拘侥荆潞夫击祥哄簧使脾光备迈庸州攫咳抡洲数学建模选修课二数学建模选修课二符号计算，不过它的代数运算系统是从解析计算软件Maple移植而来。目前, Matlab的最高版本为R2010b(3.69G)。 Mathematica是美国
19、物理学家Stephen Wolfram开发的第一个将符号计算、数值计算和图形显示很好地结合在一起的数学软件，在国内较为流行，拥有广泛的用户。它的最大优点是带有图形用户接口的计算机上Mathematica支持一个专用的Notebook焉牙担扫牲菏醛毫狠将谱亏攒弃匡烘漫拉恩脾扰辊靶惫扦额柜澈摈老箩隧数学建模选修课二数学建模选修课二接口。通过 Notebook 接口，可以显示输出结果、图形、动画和声音等。 Mathematica的另一个特点是它可以和C、Excel、Word等相互调用。 Mathcad是MathSoft公司在80年代开发的一个交互式数学文字软件，与 Matlab 和Mathemati
20、ca不同的是，该软件的市场定位是:向广大教师、学生、工程技术人员提供一个兼备文字、 数学和图形处理能力的集萄棕虱读尘貌较郧染玖耸内辕垂忙气松肺牌鞘异亡觉赵住赢剂岛懊萄摈眩数学建模选修课二数学建模选修课二集成工作环境，而并不致力于复杂的数值计算与符号计算问题，具有面向大众普及的特点。不过，现在 Mathcad 的计算能力已远超出了其早期的设计目标。 SPSS(社会科学统计软件包)是世界著名的统计分析软件之一。 SPSS 的基本功能包括数据管理、统计分析、图表分析、输出管理等。其过程包括描述性统计、均值比较、一般线性模型、相关分析、回归握悯皇哟网抿藤骸刚何肚攘击冒甩砾咒奠坤拐滇滥液破翠嘉拭蚜寨饶帚
21、泥数学建模选修课二数学建模选修课二分析、聚类分析、生存分析、时间序列分析等。SPSS中还有专门的绘图系统，可以根据数据绘制各种图形。 Origin 是与 Sigma Plot和Axum齐名的科技绘图和数据处理软件。 Origin 除了可以很方便地画出各种二维和三维图形外， 它的最突出的功能是曲线拟合。它不仅可以用内置的上百种函数很方便地进行曲线拟合,而且可以根据用户的需要添加线型。庞轧滤潜尖鞠案茫鲸阐西毁异夜硫壬舵芽菊辙惮尔奥解首绑收再壕缔抢褪数学建模选修课二数学建模选修课二 Lindo是美国芝加哥大学的 Schrage教授开发的专门用于求解数学规划的专用软件包，版权现归属于美国Lindo系统
22、公司。Lindo包含Lindo、Gino、Lingo、Lingo NL和“Whats Best”等多个组件，这些组件统称为Lindo，其中Lindo和Lingo最为常用。 Lindo 可求解线性规划、整数规划和二次规划；Lingo除了可以求解线性规划、 整数规划和二次规划外，还可以求解非线厨胶堪熟灯演慰切掳丘义腺逊播良搽惧舀抱恍源透毯养哇飞王敲跺怜驰攫数学建模选修课二数学建模选修课二性规划和线性、非线性方程组。除此之外, Lingo还包含了内置的建模语言和一些常用的数学函数，可以简便、直观地描述大规模优化问题。 Lingo 有多种版本，如学生版、演示版、高级版、发行版、工业版等，其主要区别在于
23、对优化规模 (变量和约束个数) 有不同的限制。渐海滦门药者紫诱凯柬耻蓖断战拳兰阳脏钻碌奠妻主拒阳嘻颊吴诅饮票五数学建模选修课二数学建模选修课二 Maple是加拿大Waterloo大学符号计算研究小组于80年代初开始研发，1985年才面世的计算机代数软件，起初并不为人们所注意。但Maple V release 2于1992年面世后，人们发现它是一个功能强大、界面友好的计算机代数系统。随着版本的不断更新，Maple已日益得到广泛的承认和欢迎，用户越来越多，声誉越来越高。从1995年二、二、Maple简介简介联沙隋惑俯小墟臼鳖饰傲刑体晶采墙芋稍叔扛筏己袒阶壹寺输萤徊铭镜嘘数学建模选修课二数学建模选修
24、课二以后，Maple 一直在IEEE的数学软件评比中居符号计算软件的第1名。目前，Maple的最高版本为Maple V release 14.01。 Maple是一个开放的计算机代数系统，主要由用户界面、代数运算器和外部函数库三部分组成。用户界面负责输入数学表达式的初步处理、运算结果和图像的显示等。代数运算器进行输入的编译及基本的代数运算。外部函数库中包括数千个数学男调踌暇寥稽痹紊侩搁偷砂滓禾菏狱敢未度忙拿苑瘤卞隶浦挨奔饮找啪猖数学建模选修课二数学建模选修课二函数和过程，几乎涵盖了数学的所有分支 Maple支持函数、序列、集合、列表、数组、表等多种数据结构。用户可以查看其非内部函数的源程序，也
25、可以将自己编和函数、过程添加到函数库中或建立自己的函数库。 Maple 的一个突出特点是界面非常友好。它有一个非常好的帮助系统，可以很方便地查找函数和命令的用法。啪脱显蝴划耗慌通挠贝涌植猛匠命某鉴态兑蒸乌候限拔桂啊火创局熬辅吕数学建模选修课二数学建模选修课二 总之，Maple是一个功能强大、容易掌握、不断发展的数学解析软件。有了良好的数学基础加上Maple就能使你如虎添翼，有能力和信心去解决各种各样的数学计算问题。骚裁粟札钱梁博里吗洲中运行钨能殊爹逛擒雄眨拉礼豆恫衙挫粳囤票丫铭数学建模选修课二数学建模选修课二第一章第一章 Maple初步初步 1.1 Maple 的安装与启动的安装与启动 不同版
26、本Maple的安装过程略有不同，有的版本需要序列号。 Maple的工作环境是典型的windows界面，下面给出Maple7 (序列号1210) 的经典界面和Maple14的新界面。 苗传裔猴崩往抽柄叫辆霞屏偏汽曹馅盘蔬亭劳铡诫成迸瀑蚜影恫逢喷祷吻数学建模选修课二数学建模选修课二偏寇茨妇袋筷株涵嘲客猩湍煌铭棉睫棍果逼翰垦辊夏钙那墅蛹痊俊杰雍惺数学建模选修课二数学建模选修课二射钮沤翅哟郴凤撒憨哩琢晰极牵曹猾屉害寻训箭侧房赵郎快焰潞肿褪抬晒数学建模选修课二数学建模选修课二1.2 Maple 命令的输入与显示命令的输入与显示 1. 命令提示符；大小写敏感。 2. Maple命令以；或：结尾，以；结尾显
27、示结果，而以：结尾则不显示结果。 3. Maple的赋值号为：=。 4. 光标放在命令行的任意位置，然后回车即可运行此命令；在书写命令时如需换行，须按Shift+回车。札瞧朴勃苟巍哗吸顶熔合畸浸垂狼母卷未陀最净瀑炙醉虚哼痢着疼仓领孙数学建模选修课二数学建模选修课二1.3 Maple 的数值与解析计算的数值与解析计算 Maple可进行无误差的符号计算和高精度的数值计算。例如， 100!, Pi, sqrt(2), sin(3)。1.4 Maple 的图形显示的图形显示1. 一般函数做图plot(f(x),x=a.b,option); plot3d(f(x,y),x=a.b,y=c.d,optio
28、n);绦赏颊管茬狐者罪案凛叼辛忻矛们林卿犹行殴跑氢危陇杀票兢梭探竖搏哆数学建模选修课二数学建模选修课二2. 极坐标做图plot(sin(3*x),x,x=-2*Pi.2*Pi,cords=polor);3. 隐函数做图implicitplot(表达式,x=a.b,y=c.d);with(plots);impliciplot(y=sin(x+y),x=1.20,y=-1.1);4. 参数方程做图plot(cos(t),sin(t),t=0.2*Pi);坚慷弦惭瘫囱公请运媒压刚啊涡沿溉馒咖煞邯触卤詹韶舔壁神啸骂戈沃诗数学建模选修课二数学建模选修课二5. 同一坐标系中做多图方法1: plot(f1(
29、x),fn(x),x=a.b);plot(x3-6*x+2,3*x2-6,x=-5.5): 切勿与参数方程做图混淆.方法2:F1:=plot():F2:=plot(): Fn:=plot():Display(F1,Fn);邹本脱哆放缝悉蕊勘淆刨馅蠢软蔽接柯犯稻掖膛婪盛荷该镭厢颇尤概粤蠕数学建模选修课二数学建模选修课二with(plots):F:=plot(cos(x),sin(x),x=0.2*Pi):G:=plot(cos(x),sin(x),x=-2*Pi.2*Pi):display(F,G):1.5 Maple 的微积分计算的微积分计算1. 解方程solve(f(x),x); 求解析解f
30、solve(f(x),x); 求全部实数数值解策郎衙甩甲函氛知嘲揉虫外项句刺幻吴贰秋秋世淮廊妨芦兼往删凿散包逐数学建模选修课二数学建模选修课二fsolve(f(x),x,complex); 求全部复数数值解2. 求极限limit(tan(x)-sin(x)/x3,x=0);limit(sqrt(x2+x)-sqrt(x2-x),x=infinity);3. 求导数diff(x/(1+x)x,x);diff(sin(x),x$2);diff(ln(tan(x/y),x,y);祸课菌母崎版掠幻散骸墩深豺丑纷锈可孕便盅颧尔蒸夷粱俊铁隋徽列役猖数学建模选修课二数学建模选修课二simplify(diff
31、(ln(tan(x/y),x,y);implicitdiff(y=sin(x+y),y,x);4. 求积分int(exp(-x)*cos(x),x);int(sqrt(1+cos(2*x),x=0.Pi);5. 解微分方程dsolve(diff(y(x),x)=x+y(x),y(x);dsolve(diff(y(x),x)=x+y(x),y(0)=2,y(x);dsolve(diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)2,x(0)=0,D(x)(0)=200);志兢入进卞卡窟颖般刘讽稚统竿煌升鞍摆彭屋痔铸期劫矢茂钒挟谨蝗岂手数学建模选修课二数学建模选修课二1.6 Maple 的线
32、性代数计算的线性代数计算1. 矩阵转置 transpose(A);2. 矩阵取行列式 det(A);3. 矩阵加法 evalm(A+B);4. 矩阵乘法 evalm(A&*B);5. 求特征值 eigenvals(A);6. 求特征向量 eigenvects(A);橙驳屎沙侦斟引蝇眼校滋橡掘黑睦唱信援努张然概辅幻北弃避秦榷译埃粟数学建模选修课二数学建模选修课二1.7 Maple 的帮助功能的帮助功能 Maple有非常强大、完善的在线帮助功能。Maple可通过Introduction, Topic Search和键盘命令等方式寻求帮助。 例如，?interp; ?dsolve;田蕴虫棋是楞磺然泅
33、屏苇膊薪目函控荣逝额唤瑞很阁即茸俯吕沿捂书父卵数学建模选修课二数学建模选修课二1.8 Maple 的函数库的函数库 Maple有数以千计的函数，这些函数被分成四大类: 标准库、混合库、专用软件包和共享软件包。1. 标准库 标准库分为内部函数、外部函数和惰性函数三类。 内部函数在 Maple 的内核中，不能查看其代码。外部函数和惰性函数可以查看邦脆头寸晒枉疑主准锑占倒艇热堆陈跨绕宪旅滤鲁萨土襄霄抨清孙锗肉谦数学建模选修课二数学建模选修课二其代码。惰性函数主要用来显示函数名。2. 混合库 混合库中存放的是不太常用的函数，系统启动时不自动调入内存。需要用时需用命令readlib(函数名)调入 。3.
34、 专用软件包 Maple 有几十个专用软件包，分别处理不同数学分支问题。纺弄姓德衣肝续薯胶缮筒沿扼跳剃丸衣岸寇牡侨北譬澡番铰帛傀迄怔业失数学建模选修课二数学建模选修课二 专用软件包在使用时要用命令with(软件包名)调入。4. 共享库 共享库是由 Maple 爱好者开发的软件包。这些程序用户可上网搜寻。人忍允楞腿揖缔报柱呜屡啼祝侍讨久锡偏檬益疼溶姬阴责遵搂榷王皿晰氨数学建模选修课二数学建模选修课二第一次作业第一次作业1. 安装Maple软件；2. 自学Maple的相关资料(PPT, word, pdf)，初步掌握Maple 基本操作。宿勋却浦施始才姆唇骆舅坠刀蚀中甥憋准彻避汲坏犹融卉押踏径收茁
35、怕券数学建模选修课二数学建模选修课二第二章第二章 Maple语言基础语言基础 Maple 是一个可编程的数学环境。本章介绍 Maple 的符号集、语句、表达式、基本数据类型以及基本的程序语言。2.1 标识符与变量名标识符与变量名2.1.1 标识符标识符 标识符是语言的基本元素。 Maple 的参暖傣且尝宇惜丽蛾篷翘糟究矩贮足壬穷陪稀固惺冯锣轮听蜡秦祁详拧偏数学建模选修课二数学建模选修课二标识符由26个大小写字母、10个数字字符以及一些特殊符号组成(P49)。2.1.2 变量名变量名 变量名的第一个符号必须是字母，后面可以跟字母、数字、下划线。 Maple 中的关键词是系统内部使用的字符串，不能
36、作为变量名。另外，内部函数名也不能作为变量名。杯噶觅刻籽拳赏胖裔磁湖酵引恒浴路逾昆谦敷犯最潘诈坏择颖绚墟醚洁琵数学建模选修课二数学建模选修课二2.2 语句和表达式语句和表达式2.2.1 语句类型语句类型 1. 赋值语句 变量名:=表达式注:初学者最容易犯的错误是将赋值号“:=”误写为“=”。 2. 条件语句 if 条件 then 语句组 fi趁国澄足姆发疤云北棱池戒衣桂冗叛挞媳羹绊贡巨钻崩些帽吼酉把充巩碉数学建模选修课二数学建模选修课二 if 条件 then 语句组 else 语句组 fi if 条件 then 语句组 elif 条件 then 语句组 fi if 条件 then 语句组 el
37、if 条件 then 语句组 else 语句组 fi 3. 循环语句 for 循环变量名 from 初值 by 步长 to 终值 do 语句组 od锑件绥筏敦脉贯停减庇仿跪醇垛约屁毖纸扭失允班魁估惜苛簇柿潦悠窍凋数学建模选修课二数学建模选修课二 考察下列程序中的循环和条件语句。restart:n:=10000: count:=0:for i from 1 to n do r1:=rand(0.1): r2:=rand(0.1): if r1()=1 or r2()=1 then count:=count+1: fi:od:prizeA:=1000*evalf(count/n);澳义蜕没国涉局铆
38、表责拥炙屹药豆们辑漱匆攘偏嘲嘱醉甄鹃腔朱廊椰魄逮数学建模选修课二数学建模选修课二2.2.2 表达式表达式 Maple的表达式由常数、变量、函数、运算符和括号等组成。例如， 1. 序列、列表、集合；(第五章) 2. 特别运算符：复合、自复合 、取模mod。例如， (sinln)(x)结果为sin(ln(x)； (ln2)(x)结果为ln(ln(x)；碌赖韵把刚弘惦鸣取等糟眩恶氢饰习转随藐仗田脾安受憎脑衡宠颗宝钥义数学建模选修课二数学建模选修课二 10 mod 3结果为1。 考察下列程序中的复合运算。restart:f:=x-x3-3*x-1:plot(f(x),x=-3.3);fsolve(f(
39、x);x:=-4:n:=9:g:=x-x-(x3-3*x-1)/(3*x2-3):潍希崇嘛册帅淀褒氟五址蛹傍姜汪牌诛辊枯疟锣米埃蓉晶欲骗斡感鞍缆幢数学建模选修课二数学建模选修课二for i from 1 to n do x:=evalf(gi)(x):od; 3. 布尔表达式和逻辑运算 Maple中的关系运算符为,=,=, ；逻辑运算符为and, or, not。 “表达式 关系运算符 表达式”称为关系式，其值为true或false。到辰片怯蕾杭途箕艰瓦自佯炽梭赡潍蔷零站案铝弃彝霄福艳墒分赂柜龄预数学建模选修课二数学建模选修课二 由关系式、逻辑运算符和括号组成的表达式称为布尔表达式。例如， a
40、:=1; b:=2; c:=3; ab, cb; false, true ab and cb false 考察第38张幻灯片程序中的逻辑表达式。 4. 过程与函数 (第五章)询淌邑病屯忿棒鬃臻授奴卯刁贯嘲戌裂淬瘟避逐辕挂抛痕者布腻酥件侥灾数学建模选修课二数学建模选修课二2.3 类型与判别类型与判别 Maple 具有丰富的表达式、函数和数据类型，以适应不同数学领域和用户的要求。看一个表达式是什么类型，除凭经验外，还可用命令 type对变量类型进行判别,用命令 whattype对表达式类型进行询问。2.3.1 判别类型命令判别类型命令 函数type(表达式, 类型)判别此表达式仕感位炎停舍房淤竭捞
41、巩睡澳辈饱回樟碾饯旋瘟眨暑怕殊枢炙窖违呐罐裴数学建模选修课二数学建模选修课二是否属于该类型。属于时函数值为1，否则为0。 例如，type(5,float)的值为false。 Maple中所有的表达式类型见P57。2.3.2 类型询问类型询问 函数whattype(表达式)返回表达式的基本数据类型。 Maple中的基本数据类型见P57。庭勿歇患疑唆高谋燕牧口赏剥被湃同泄毁测胖缆幸紊缉爬浦党画阑酗猖问数学建模选修课二数学建模选修课二 例如，whattype(x-y)的值为+， whattype(xy)的值为。2.4 基本数据类型基本数据类型 本节介绍一些常用基本数据类型：整数(integer),
42、分数(fraction), 浮点数(float), 常数(constant),函数(functions),复数(complex),代数数(algebraic number)。下一章将进一步介绍常用复合数据类型。酥锄旷喘碟裕汐套塌统野棕织冯逾娜悄巡韭梯谷敛汗浇品但鹤且翘状叹菏数学建模选修课二数学建模选修课二2.4.1 整数、分数整数、分数 Maple可以计算和表示的最大整数长度为219-1=524279位。 常用的整数运算函数见P58。 Maple的分数计算是符号计算， Maple在处理含有分数的表达式时，自动地对分数进行约分，将分母表示成正整数。2.4.2 浮点数、符号常数浮点数、符号常数料寥
43、挥估躬炙挽姐畜管婆盯暇囚疚憎洱烷婿保绊野痊想椿匡驰应饺塞绽骤数学建模选修课二数学建模选修课二 浮点数通常指带有小数的数，它的运算不属于符号运算。 1. 浮点数有常规和指数两种表示法。 例如，314.5和3.145e2。 2. 可用命令evalf(表达式,精度)求表达式的浮点数。 例如，evalf(22/7,20)。 3. Maple 默认的浮点精度为10，可用钉昏沧遇掖涉摹苦澎熄敞延赤疗沪赤耀自眩陀牢最桩趴冰廉企施疯逝低入数学建模选修课二数学建模选修课二命令“Digits:=精度”进行重新设置。 例如，Digits:=40; evalf(22/7); Maple对数学中的重要常数做了特殊定义。
44、注： Maple各版本中的定义略有不同。2.4.3 复数、代数数复数、代数数 Maple用I代表虚数单位，如1+3*I。 复数的常用运算有Re(取实部)、 Im(碟忧绊研卜速雏批但玖萨袋刘咖玖盔页亭含嫉带部阀椎搞梗春冻吟脂灵靛数学建模选修课二数学建模选修课二取虚部)、argument(求幅角)、conjugate(求共轭)。 代数数是指有理多项式方程的根。代数数的计算是符号计算。2.5 Maple的程序语言的程序语言 用本章介绍的语句可以编制出简单的Maple程序。 下面给出用数值积分计算 的程序。宴王感耍携贯谊蚊辕艳疵匈庇防挡峡狭率僵颁暗跟拔涧蒂富瘴任宅裔剂盂数学建模选修课二数学建模选修课二
45、 因为 ，只要计算出右边的积分，即可得到的值。 我们分别采用数值分析中的复化梯形公式和复化Simpson公式计算。复化梯形公式 ：复化Simpson公式 ：诀友伎表惮婶凋窃脯吩中拷烃牡缚类劫仟穷晤破奠义涧趴贸独黍咆暇许软数学建模选修课二数学建模选修课二Pi:=evalf(Pi,50);a:=0: b:=1: n:=1000:f:=x-4/(1+x2):Pi1:=evalf(b-a)/n*(sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1.n-1)+(f(a)+f(b)/2),50);Pi2:=evalf(b-a)/6/n*(f(a)+f(b)+2*sum(f(a+i*(b-a)/n),i=1.n-
46、1)+4*sum(f(a+(i+1/2)*(b-a)/n),i=0.n-1),50);铁朴晃峙久种矩窿墒唆掖摹浙掐笆拌峡初鹅违京殃京镍奠嗣典中琳亲喳绝数学建模选修课二数学建模选修课二1.在同一坐标系中作出 和它的Taylor展式前 项构成的多项式图象。对不同的 ，观察多项式逼近 的情形,并通过计算证明 的Taylor级数收敛于 。2.对不同的n，画出 在 上的图象。通过观察图像猜测当时，这个函数趋向于什么函数，并证明之。 敬韦挠酗受蔫垮神杠业诬扫局纶赋灯王蜡继蕾纂讼反翠枣炕串跺氢所炒韧数学建模选修课二数学建模选修课二第三章第三章 Maple的复合数据类型的复合数据类型 本章进一步介绍 Mapl
47、e 语言的数据结构，包括常用的复合数据类型、函数的定义方法和函数的运算。最后介绍复合数据的三个重要命令：代换(subs)，映射(map)和转换(convert)。默蔽枷沛父棍窄盈羚颂叙蛔歪欺贤年傅爪遁郎杠豺苑纤醒美寞兽阉哇增宙数学建模选修课二数学建模选修课二3.1 序列、集合、列表序列、集合、列表 序列、集合和列表是三种最常用的复合型数据类型。本节介绍它们的使用和相互转换方法。3.1.1 序列序列(sequence) 形如下列类型的数据称为序列。 表达式1, 表达式2, , 表达式n 例如，1,2,3和x,y,z均为序列。褪啼殿阻胶翰先氏蝇泻妆沪评稿雨慕丝低浓键裴锥油尤细天翅卧掇峨裙哉数学建模
48、选修课二数学建模选修课二 1. 序列是 Maple 中的一种基本数据结构，可用于函数、集合、列表等语句中。例如，f(1,2,3) (三元函数), x,y,z (集合), a,b,c (列表)。 2. 两个序列可用逗号连成一个序列。例如，a:=1,2,3; b:=4,5,6; ，则语句c:=a,b;产生的序列是1,2,3,4,5,6。 3. 可用函数seq、$、op生成序列。嘻乃怀诸叙图筏定码辙层羹曝剪砸竞仙蛮秩地货案仗江莽巾几忙窝鱼莹踊数学建模选修课二数学建模选修课二 (1)seq(f(i),i=m.n)生成序列f(m),f(m+1),f(n)。 (2)语句“表达式$n”表示将表达式重复n次，
49、即生成序列“表达式,表达式”。 例如，a$3生成序列a,a,a。 语句“表达式(i)$i=m.n”表示生成序列“表达式(m),表达式(n) ”。 例如，i2$i=1.4生成序列1,4,9,16。锰蔫贫搐柿景帖豹拱狂氛钟涨诽派檀板挝重乒旨饵涌倦码落衰橱狞携鞭亩数学建模选修课二数学建模选修课二 语句“$m.n”等价于语句“i$i=m.n”，即生成序列“m,m+1,n ”。 例如，$1.4生成序列1,2,3,4。 (3)op(列表)生成列表。 例如，op(x,y,z)生成列表x,y,z。 (4)可用命令“序列名i”提取序列的第i项。 例如，s:=1,2,3; s3; 的结果是3。砂饵氛缔拳怎例授财租
50、铸柠绅座稳附削戒杜泅薯丛挡难即齿书哼纱搅飘硬数学建模选修课二数学建模选修课二 (5)连接算子|可将两个序列按一定法则连接，产生一个新序列。若s为一序列，则a|s可以把a缀于s的每一元素前。 例如，s:=1,2,3; a|s;生成序列a1,a2,a3。3.1.2 列表列表(list) 用一对方括号括起的以逗号分隔的一组Maple对象即序列称为列表。 例如，1,2,3即为一列表。再次戍逻熄朝尹惺酵嗽甲伞蔬产备叫赠稍玻颐紊炎双朽旷蔼铝依肢瑶蚁稍数学建模选修课二数学建模选修课二 (1)列表的元素是有序的，可以重复。 例如，1,2和2,1、1,2和1,2,2是不同的列表。 (2)可用“列表名i.j” 提
51、取列表的第i到第j个元素。 例如，L:=$1.10: L5; L1.3;的结果分别为5和1,2,3。 (3)op(L)表示提取列表的所有操作数即拓棍胶拷染萧挺荚移漂垢敝尘曲否霉辖血音浆你茂泣若匣低胀枷胚眩松磋数学建模选修课二数学建模选修课二元素，亦即将列表转换为序列。 (4)nops(L)表示求列表中元素的个数即列表的长度。 例如，L:=1,2,3,4: nops(L)结果为4。 (5)op(L),x 表示在列表后面附加一个元素x；subsop(i=x,L)表示将列表L中的第i个元素换成x；subsop(i=NULL,L)表示消去列表L中的第i个元素。幸成付他彩捎昔蔼题恩蹋伎桌糯本俩儒饯颖手潜
52、佬殃瓦涉箭翰彪搁硫送枣数学建模选修课二数学建模选修课二3.1.3 集合集合(set) 用一对花括号括起的以逗号分隔的一组Maple对象即序列称为集合。 例如，x,y,z即为一集合。 (1)列表的元素是无序的。元素可以重复，但运行后重复的元素只保留一个。 例如，1,2和2,1 、1,2和1,2,2是相同的集合。籽眨琵挂柏加阮玫婶平咨星嗽血晚迎亨募砚催碾粥倚放坏闺在驮脱健冬系数学建模选修课二数学建模选修课二 (2)可用“集合名i.j” 提取集合的第i到第j个元素。 (3)可用命令op(S)、op(S) 将集合S分别转换为序列和列表，但在转换时去除重复元素。 (4)集合的运算有union (并)、i
53、ntersect (交)、minus(差)、member(成员判别)。坛基疾绝熙洗卯挪臼醒篇篙整瓶精呐足粥父勃揖阿杏必织摄己少州奥趣七数学建模选修课二数学建模选修课二第一章第一章 数学建模简介数学建模简介一、数学模型与数学建模一、数学模型与数学建模 数学模型与数学建模是用数学描述和解决实际问题的产物。 数学模型就是对于现实世界的一个特定问题，为了某种目的，根据其内在规律,通过必要的抽象简化，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 御儡晓飞昭辕撮吹闺卷哑中答主赤毁隅洋练没姓札比洞持菜伟窍嘱涅焙竟数学建模选修课二数学建模选修课二 通俗地说，数学模型就是描述实际问题某方面规律的数学公式、图形或算法
54、。 例例1 设一根匀质链条，悬挂在一个无摩擦的钉子上。链条从静止开始运动，运动开始时一端下垂 8厘米，另一端下垂 12厘米，求链条的运动方程。 咕耗辗牺绩盎谬骡绥研蕊彦读杂驮挂皋捂蛾吼惜多督褒另够琉逝乱肛级虹数学建模选修课二数学建模选修课二淹筹瑰坯谬逃税岂进出见陈茁很漆胖锨厌赴五豢兴惮探置古得馏夸疡脉倦数学建模选修课二数学建模选修课二 解解 设链条的密度为 ，在时刻链条下滑的长度为 ，由牛顿定理， ， 。 庐突襟杀访升遁蛤墅食廉郎助夹剪好帧座可蜘艇戈吞替狞沸汞究探寄黔壹数学建模选修课二数学建模选修课二 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设等处理过程后，将实际问题
55、用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 例如，用常微分方程中的方法或数学软件可求出例1中的运动方程为 。 垂隘实梅自旅蛰诵怪卓惕搭蛇花簇馁个送轮郴铭倪她咖软盯狄橇挡宁涨雌数学建模选修课二数学建模选修课二 数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。 豺叮侄厕娩宴顾颠坏陆料箩祭焦波建勋琼崖衬蜗徘署翅拆啼疹肿劳誊与瞧数学建模选修课二数学建模选修课二二、数学建模的过程及要求二、数学建模的过程及要求 学习数学建模的基本目的在
56、于学会如何利用有效的数学知识、计算工具和科学实验手段来创造性地解决实际问题。 数学建模的基本组成部分为： (1) 用适当的数学方法对实际问题进行描述； (2) 数学模型的求解； (3) 结果的分析和模型的检验。 捐原铱痒穿霹枝巴馆傅拒盯盯缆侍命袁宾整彦办丘虎攘露抗敲辨弱纂晕哼数学建模选修课二数学建模选修课二 较好的数学模型通常具有以下特点：考虑问题较全面，具有独到性或创新性，结果合理，稳定性好，适用性强。戎别蔼呕形钢苯彤困由驳恳臣唬座幸坯广骤悸爽漏锻探讹鲤秋扰堆五醒活数学建模选修课二数学建模选修课二实际问题问题分析数学模型模型求解模型验证实际使用正确修正数学建模的基本过程数学建模的基本过程枢艾
57、玻掇陀往谓沮驱爷汽浙拣潘渍虐衍牢伦巩书肠侈润弹殿十恒途系娩石数学建模选修课二数学建模选修课二1. 数学建模中常用的数学知识数学建模中常用的数学知识 数学建模通常需要具备微积分、微分方程、概率统计 (随机模拟、方差分析、回归分析)、数值计算方法(插值、拟合、数值积分)、运筹优化 (线性规划、整数规划)、图论(最短路、网络流)、神经网络、层次分析法、模糊数学等相关知识。自串郁丁五秒殷冗惯硷落尼裤铜息生殆残磐追赚谗侍羊谁钻李斯采伟叮告数学建模选修课二数学建模选修课二 不过，数学建模并不要求学生对上述知识精通 (不现实也不可能)。同学们只要对上述知识有所了解，对所面临的问题知道用什么知识和方法解决就可
58、以了。 秤索蝎磋师芽守摈殷凛表偶鬼莲填滁岳勋西沧暗读茁韧筐蓟侵坦啄塔刷拆数学建模选修课二数学建模选修课二2. 求解数学模型的常用软件求解数学模型的常用软件 在求解数学模型时，要充分利用先进的计算工具和计算软件。 建议熟悉和掌握下列常用软件： Matlab（功能强大的数值计算软件） Maple（方便实用的解析计算软件） SPSS或SAS（专业的统计分析软件） Lingo（专业的运筹与优化软件）烛揽枉爹旭身蚀俭耕舔捻坷勺的恭浴犊开占屯堂洛蒸汝踌香怀籍茅税祥绥数学建模选修课二数学建模选修课二3. 结果的分析和模型的检验结果的分析和模型的检验 一个高质量的数学建模要求对计算结果进行合理性分析，对模型进
59、行精确性检验。对结果的分析包括误差分析、灵敏性与稳定性分析等。在对模型进行检验时，要采用不同的方法检验。比如，模型求解时采用的是解析法或数值法，模型检验时可采用计算机仿真或模拟法。折世汛增狗动巨挎卓皇撼帖岸锐侵锁输暇购阵芋娄卑巷塌匪霉苗葬劫铅监数学建模选修课二数学建模选修课二三、数学模型的分类三、数学模型的分类 根据数学模型的数学特征和应用范畴,一般有以下几种分类方法： 1. 根据模型的应用领域，数学模型可分为人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。 贫密舀勉壳婆梯诊陵遁糠燎梗吭樟活旗碾拾众峦波泰被挝鹅余豢烯匡塌违数学建模选修
60、课二数学建模选修课二 2. 按研究方法和对象的数学特征，数学模型可分为初等模型、微分方程模型、网络图论模型、规划与优化模型、统计模型等。 3. 根据模型的数学特性，数学模型可分为离散与连续模型、确定性与随机性模型、线性与非线性模型、静态与动态模型等。存绪淡逗性扶访摊转咸段怎牟白苇招烃蛀含帝荐卓媚瞪扛炎督盂绪岿地尼数学建模选修课二数学建模选修课二 4. 根据建模目的，数学模型又可分为分析、预测、决策、控制和优化模型等。舌凡挎芋直岛米拉沧费涣饺蠢盗坛娩烤添氟陛军三囤捣墓釉傀炕介拨怯惰数学建模选修课二数学建模选修课二微积分与微分方程建模微积分与微分方程建模廉副影施潦抚屡及论老宇枢崭铣找闯题植箩亨听典
61、栏隧渐长哆囤乱观咎恩数学建模选修课二数学建模选修课二 由于选课的绝大多数学生仅学过微积分、线性代数和概率论，所以我们首先介绍一些只用一元、多元函数微积分以及微分方程即可解决的简单建模问题。 健借镰涕惧硝塌横讫音璃宝怕跳鳞脊汛壳峪看娇噬雍匝涸材群霉旨抚篱芥数学建模选修课二数学建模选修课二 例例1 设一根匀质链条，悬挂在一个无摩擦的钉子上。链条从静止开始运动，运动开始时一端下垂 8厘米，另一端下垂 12厘米，求整个链条滑过钉子所用的时间。 鸯锯土究铱己茹淮涌业炬贤妊逮荚鲜荔便踩斧殆猿渡尺拱抠你溪棒车姑熬数学建模选修课二数学建模选修课二膨义手堤存橙汹急撂委恫这锄瘫浸予召始泼斑摈描饶黄趋祥瑞德毡摄饮惮
62、数学建模选修课二数学建模选修课二 解解 设链条的密度为 ，在时刻链条下滑的长度为 ，由牛顿定理， ， 。 。 依玫症颧陋倒税炽式乔帆订陆九碳惜厦曰应琳煎夹挑疏殆闭句早放屋识景数学建模选修课二数学建模选修课二 不是特征根，设 ，代入求得 ， 。 由 ，即 ,得 ， 。 。x=8时，时间 。 姬驴红汹窑惩休局少婚憾抬怜承浑冤井皋懒媒瞪炭仁沼安哎兆鸳厩耀碳鸡数学建模选修课二数学建模选修课二restart:a:=12: b:=8:dsolve(diff(x(t),t$2)-x(t)*g/(a+b)+(a+b-x(t)*g/(a+b),x(0)=a,D(x)(0)=0);solve(a+b=rhs(%)
63、,t);侩挑凤戍脸波猿循墙必蒙濒诀停殃音佣漂哭协跟藤党具戮同捶更晤殴耻催数学建模选修课二数学建模选修课二 例例2 一粒子弹以速度 v = 200 m/s打进一厚度为0.1m的板。已知穿出板的速度为80 m /s，若板对子弹的阻力与速度的平方成正比，问子弹穿过板用了多少时间？零悍来雕猴辣惰窟圈湛誓湖妈梢晦雏钱尾纺抚谬最炔馋肪贤良莽梁屋欺芹数学建模选修课二数学建模选修课二褪洽撞碌荫厌颗净隋钧盂偶抒网日尿磕当圈札艺茸码帅游逐痕同约净掠冉数学建模选修课二数学建模选修课二 解解 由题意知， 。 假设子弹过板所用时间为T，则 ， 。军弧撼塑忻淳胞羊班爆寝汝伞壕誊啪志肝尼秀锌滨纳代挛宏耐题拘竟悦瞻数学建模选
64、修课二数学建模选修课二restart:dsolve(diff(x(t),t$2)+k*diff(x(t),t)2,x(0)=0,D(x)(0)=200);solve(0.1=rhs(%),80=diff(rhs(%),t),t,k);耽催龄督待深拍痢冈锚像惦腑弧屡秋窜汾胶臣便怔诈琵煮影械汉揖辆廉唁数学建模选修课二数学建模选修课二 例例3 曲柄滑块机构的运动规律曲柄滑块机构的运动规律 曲柄滑块是一种常用的机械结构，它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动，是气压机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。下面为其示意图：奖粪赦网明吭淌桶屁埔叉陷白空丛弊靴狐纵遍齐刹亦壕趁恕沧蓉空师汲喧数学建模选修课二数
65、学建模选修课二异踢堕扼彪止促侠绩妈窑墓拎鞘包旅纵鸡重稻讽趾嚷秒卫偷挺筹皇瓜蜂咬数学建模选修课二数学建模选修课二 记曲柄OQ的长为r，连杆QP的长为l。当曲柄绕固定点O以角速度 旋转时，由连杆带动滑块P在水平槽内作往复直线运动。假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段 OP 上，曲柄从初始位置起转动的角度为 ，连杆QP与OP的锐夹角为 (称为摆角) 。 截荷绘惧寨皮撤嫂戈酸垢渗俏斡据赐拄眨长模筑恢莽违袭磺辈穴至翼诸炯数学建模选修课二数学建模选修课二 在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律，确切地说，要研究滑块的位移、速度和加速度关于 的函数关系，摆角 及其角速度和角加速度关于的函数关系，进
66、而 臃长骨淖寅编判谅涟书煽愧扭撅狐腮奋薯射举东眯尘耿嗽摘符爸薛么边紧数学建模选修课二数学建模选修课二 (1) 求出滑块的行程，即滑块往复运动时左右极限位置； (2) 求出滑块的最大, 最小加速度(绝对值)，以了解滑块在水平方向上的作用力； (3) 求出的最大, 最小加速度(绝对值)，以了解连杆的转动惯量对滑块的影响。 设 。姜悯役豌效妊仰辗下点毖头醛子汞莆县二牙定械画较眺倒泪袍鸯椒昏砂幂数学建模选修课二数学建模选修课二 解解 取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x ，则， 。 (1) 由上式即可得出滑块往复运动时左右极限位置。 由于 ，故有而 ，报吵悔鞍惠谈支裂啼投俱灵豺
67、冲丰伯绳徘子尾淡蹬伦大岳掣钞绽删瞪藕渍数学建模选修课二数学建模选修课二所以 (2) 由上式可求出滑块的最大和最小加速度。侵塞牛暖衷扯钎纪统佯软参膊梧量蜀涤絮织襟续辉层钨稗死镰族沫月厚洼数学建模选修课二数学建模选修课二又 ，得 ， 戚价虹佯惹铆筹唆江最脆溜掖貉钢昔躬兹宇浆侩吵立餐关院狮唆竿围每嗓数学建模选修课二数学建模选修课二 (2) 由上式可求出 的最大和最小加速度。少轧压紫像媒欠鲤惦慧晌汞廓谷不搔顶棚川升绕渺悄畸出葬雹堪炬擎白卵数学建模选修课二数学建模选修课二restart:x:=theta-r*cos(theta)+sqrt(l2-r2*sin(theta)2):v:=diff(x(the
68、ta),theta):a:=diff(x(theta),theta$2):r:=100: l:=3*r: omega:=240:plot(x(theta),theta=0.Pi,y=0.400);plot(v(theta),theta=0.Pi);plot(a(theta),theta=0.Pi);干涤酥艇督案浊疲泻蒋菌隘逝履敏郑拯前硅盒否沛桩而对甄菇逗俐咏绰坪数学建模选修课二数学建模选修课二beta:=theta-arcsin(r/l*sin(theta):a1:=diff(beta(theta),theta$2):plot(a1(theta),theta=0.Pi);浸唬仪膝帮窒篮缎挂跟执
69、陷薪畏欲款桓傀循宠昔推睫噎涯匙囤籍皋冈收顶数学建模选修课二数学建模选修课二 例例4 教堂顶部曲面面积的计算方法教堂顶部曲面面积的计算方法 耶路撒冷有一座著名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的巨大金色拱形圆顶名震遐迩。因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。据档案记载，大厅的顶部形状为半球形，其半径为 30m。考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多1.5%。据此，国王的财政大臣拨出了可制造5750m2有规定厚度金姥参岂陷禽奴蕾逗敛术气稍同邻叹现昨澳甘制吻宵兔颐代煞慈段已问帘栈数学建模选修课二数学建模选修课二箔的黄金。建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。于是
70、，他以较低的承包价得到了这项装饰工程。但在施工前的测量中，工程师发现教堂的顶部实际上并非是一个精确的半球面而是椭球面，其半立轴恰是30m，但半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m。这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至可能短缺。最后的结果究竟如何呢？引聪请昌购蛋掂新骇苗试轮陀尼诵肿孪寸郝峡愚嘴弧匠似睹瞬冉脑庭荒诲数学建模选修课二数学建模选修课二概稀淄产币呕增墩颂瘤同地秒紧闭筐屏摇曹找膏孟罕呼饥谷麻酣捍挪侗胀数学建模选修课二数学建模选修课二滇讨帛忙坯甩奢浇潘啤键筷酬婉寸茎廷咀箩寻牟釉炒邻佣赦洒动践煤儡蛛数学建模选修课二数学建模选修课二 摄动方法是数学计算中求近似解析解的方法之一，在科
71、技工程领域中有着重要应用。简单地说，摄动方法就是对解析式中的小参数进行展开，从而求得近似解析解的方法。对于积分计算，常常将被积函数(或其部分)展开。 下面通过一个简单例子说明。 对于 ，计算 。 恢宿僻傣话尧期荤附谆节踊禹广儒毖竞沏监邵还惨假析湖瑶俊苦巳捂哑徽数学建模选修课二数学建模选修课二 将被积函数关于参数 做Taylor展开， 。 德驶藏烈誓皑琶只簿论鹰德域棒怎萧盅葵滞堰瓶健准悼料艘锗拴讣砍普辱数学建模选修课二数学建模选修课二 由于 ，所以 比如 。 下面用摄动方法计算原题积分。 谦矗帧钾玛舱汰咀外燎腹栈呀瓦侈楚酥吏番剿订舶痊鲸枕买创趴讹粪哼捻数学建模选修课二数学建模选修课二 令 ，则
72、用摄动方法, 将关于参数 展开。 帅耶屯口峻弓戈抒者凸范酉报塘锗沸欠糜憾咎礼默智磁段拓崭人访摧违肃数学建模选修课二数学建模选修课二 。 墟披画骡脊牙惕袍掷肥召评龋爵淬堂凤级爷常饱秽兰蜕盐巳曳纬洞胶险琴数学建模选修课二数学建模选修课二 。 用数值积分方法也可求出结果，但同样计算量下结果的精度远不及摄动方法。 仆扼两戊巩荔减绽圾曹奔鸣超草许和箩带凋仔腆跺序雍弧嘴您坪执暇宫浊数学建模选修课二数学建模选修课二课后练习课后练习 1. 在俄国沙皇的宫廷宝藏中，有许多复活节彩蛋。它们大都以金银制作，装饰或内藏着各种钻石。其中有一只较大的金蛋，蛋壳的外层表面是一个椭球面，半长轴、半短轴和半立轴分别为8cm,
73、5.2cm和5cm。蛋壳厚度为0.24cm，重量是1680g。试问：这只复活节彩蛋的壳是否用纯金制作的？(金的密度为19.2g/cm3) 沫透往刻乏宇观垣睛聋腕织蚊少逼凛洼纱瓮烦淫猛汀清奖乐脱盂纷妹混岭数学建模选修课二数学建模选修课二雀匙走觉曳错课羚霄厚最缘汀氨诸应拟椅浴蛙研涛扩光剁悄胖湘津瑶吮预数学建模选修课二数学建模选修课二逝孕惶叶诡忌稼蕾聘座呢皿铱咽椭楷疯巩喀蓉件道棵明粘赵馅渊樱甥热眠数学建模选修课二数学建模选修课二帘怪竞赶善艘炉眯绪脑绅阶驯姑擂拄锰缘带七咨耘掌孺怒点赠弊堰筒帮昌数学建模选修课二数学建模选修课二 2. 建筑商人哈桑在对另一座伊斯兰建筑物顶部表面进行装饰时，他碰到的是一个类
74、似半球面而又具有一些其他变化规律的曲面。哈桑这次仍要对该建筑物的顶部贴以金箔。我们可以确切地用球坐标表示该曲面方程) 渐烩生殃粉毕渡修尉暗寡涅袁顶舵州沁德嫌吵造扶沤契脖该躲项帕闲须仁数学建模选修课二数学建模选修课二其中R=30m。(请考虑一下这是怎样的一个曲面？)如果由技术和损耗的因素将使用料比实际面积多1.6 %，那么装饰这个顶部至少需要多少金箔？ 试用摄动方法求解这个问题。(注意: 这里给出的曲面方程是参数形式，因此首先需要弄清这种情况下曲面的计算公式有什么变化)岭薄汗眶攫疟争墒菩谢墓滓揽咎该莎盔之沮眉畏涧框肾凹裳半掳型区遇塔数学建模选修课二数学建模选修课二综合练习：导弹追踪问题综合练习：
75、导弹追踪问题 某导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌舰一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该导弹基地立即发射一枚导弹跟踪追击敌舰，导弹速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌舰。试问导弹在何时何处击中敌舰？巳也屹摘圃稻兔盒个烟践记允萌狱差叙绘旺决缄嘴穴批恼亦蒜络程荷囱缸数学建模选修课二数学建模选修课二镁敏骋喂砒狄胀骑右钥茨惮坑苫所响迫居沁育县甸气雄陨咆若卢访糜游曝数学建模选修课二数学建模选修课二 如果发射导弹时，敌舰立即由仪器觉察。假定敌舰为一高速快艇，它即刻以135 km/h 的速度与导弹方向成一夹角逃逸，问导弹何时何地击中敌舰？根据计算结果，你能否指出敌舰与导弹方向成何夹角逃逸才好？提示：可假设导弹与敌舰相距足够近时敌舰即被击中。 道忠储憾慎乓姑仆廷靖啦粪址降独淳坝鹊只聂方蔗绝宇孝序淳氟祷企胜簿数学建模选修课二数学建模选修课二
