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1、第第3 3讲立体几何中的向量方法讲立体几何中的向量方法高考导航高考导航考题考情考题考情体验真题1考查形式考查形式题型型：解解答答题，一一般般第第(1)问位位置置关关系系的的证明明，第第(2)问求空求空间角；角；难度：中档度：中档2命题角度命题角度利利用用空空间向向量量解解决决立立体体几几何何中中的的位位置置关关系系的的判判断断、空空间角的角的计算等算等问题，高考每年必考，高考每年必考3素养目标素养目标提升数学运算、提升数学运算、逻辑推理等素养推理等素养感悟高考设直直线l的的方方向向向向量量为a(a1，b1，c1)，平平面面、的的法法向量分向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)则
2、有：有：(1)线面平行面平行laa0a1a2b1b2c1c20.聚焦热点聚焦热点核心突破核心突破热点一利用空间向量证明平行与垂直热点一利用空间向量证明平行与垂直(探究变通探究变通)(2)线面垂直面垂直laa ka1 ka2， b1 kb2， c1kc2(k0)(3)面面平行面面平行v va2 a3， b2 b3， c2c3(0)(4)面面垂直面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.互动探究互动探究例例1条件不条件不变，若若M是是BC中点，中点，试判断判断MA与平面与平面CDE是否平行？是否平行？证明你的明你的结论互动探究答案互动探究答案方法技巧方法技巧向量法证明平行与垂直的步骤向量法证明平行
3、与垂直的步骤(1)建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，建建系系时时，要要尽尽可可能能地地利利用用载体中的垂直关系；载体中的垂直关系；(2)建建立立空空间间图图形形与与空空间间向向量量之之间间的的关关系系，用用空空间间向向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通通过过空空间间向向量量的的运运算算求求出出平平面面向向量量或或法法向向量量，再再研究平行、垂直关系；研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题根据运算结果解释相关问题突破练突破练1如如图所所示示，平平面面PAC平平面面ABC，ABC是是以以AC为斜斜边的的等等腰腰直直角角三
4、三角角形形，E，F，O分分别为PA，PB，AC的中点，的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是是OC的中点，的中点，证明：明：FG平面平面BOE；(2)证明：在明：在ABO内存在一点内存在一点M，使，使FM平面平面BOE.证明证明(1)如图所示如图所示，连接连接OP，因为因为PAPC，所以所以OPAC，因为平面因为平面PAC平面平面ABC，所以所以OP平面平面ABC，OPOB，又又因因为为ABC是是以以AC为为斜斜边边的的等等腰腰直直角角三三角角形形，所所以以OBAC.以以O为为坐坐标标原原点点，分分别别以以OB，OC，OP所所在在直直线线为为x轴轴，y轴轴，z轴轴，建建立立如如图图所所示
5、示的的空空间间直直角角坐坐标标系系，热点二利用空间向量求空间角（多维贯通）热点二利用空间向量求空间角（多维贯通）命命题点点1利用空利用空间向量求向量求线线角、角、线面角面角 (2018浙浙江江)如如图，已已知知多多面面体体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均均垂垂直直于于平平面面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.(1)证明：明：AB1平面平面A1B1C1；(2)求直求直线AC1与平面与平面ABB1所成的角的正弦所成的角的正弦值例例2【解解析析】(1)证证明明如如图图，以以AC的的中中点点O为为原原点点，分分别别以以射射线线OB，OC为为x，y轴轴的的正正半半轴
6、轴，建建立立空空间间直直角角坐标系坐标系Oxyz.命命题点点2利用空利用空间向量求二面角向量求二面角 (2018天天 津津 )如如 图 ， ADBC且且 AD 2BC，ADCD，EGAD且且EGAD，CDFG且且CD2FG，DG平面平面ABCD，DADCDG2.例例3(1)若若M为CF的的中中点点，N为EG的的中中点点，求求证：MN平面平面CDE；(2)求二面角求二面角EBCF的正弦的正弦值；(3)若若点点P在在线段段DG上上，且且直直线BP与与平平面面ADGE所所成成的角的角为60，求，求线段段DP的的长易错警示易错警示求空间角的关注点求空间角的关注点(1)两两条条异异面面直直线线所所成成的
7、的角角不不一一定定是是直直线线的的方方向向向向量量的夹角的夹角，与与的关系为的关系为cos |cos |.(2)两两平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角不不一一定定是是所所求求的的二二面面角角，有可能为两法向量夹角的补角有可能为两法向量夹角的补角(3)直直线线和和平平面面所所成成的的角角的的正正弦弦值值等等于于平平面面法法向向量量与与直直线线方方向向向向量量夹夹角角的的余余弦弦值值的的绝绝对对值值，即即注注意意函函数数名名称的变化称的变化解解析析(1)证证明明设设AC，BD交交于于点点E，连连接接ME，如如图图，因为因为PD平面平面MAC，平面平面MAC平面平面PDBME，所以所以PDME.因
8、为四边形因为四边形ABCD是正方形是正方形，所以所以E为为BD的中点的中点，所以所以M为为PB的中点的中点图图(2)如图如图，取取AD的中点的中点O，连接连接OP，OE.因为因为PAPD，所以所以OPAD.又又因因为为平平面面PAD平平面面ABCD，面面PAD面面ABCDAD，且且OP平面平面PAD，所以所以OP平面平面ABCD.因为因为OE平面平面ABCD，所以所以OPOE.因为四边形因为四边形ABCD是正方形是正方形，所以所以OEAD.图图热点三向量法解决探索性问题（深研通法）热点三向量法解决探索性问题（深研通法）例例4【解解析析】(1)证证明明因因为为ABCD是是菱菱形形，所所以以ADA
9、B，因为因为DAB60，所以所以ABD为等边三角形为等边三角形，E为为AB中点中点，所以所以DEAB，所以所以DECD，因为因为ADMN是矩形是矩形，所以所以NDAD，又又 平平 面面 ADMN平平 面面 ABCD， 平平 面面 ADMN平平 面面ABCDAD，所所以以ND平平面面ABCD，所所以以NDDE，因因为为CDNDD，所以所以DE平面平面NDC，因为因为DE平面平面MDE，所以平面所以平面MDE平面平面NDC.因为平面因为平面ABM平面平面NDC，所以平面所以平面DEM平面平面ABM.(2)假设存在点假设存在点P符合题意符合题意由由(1)知知，DE，DC，DN两两两两垂垂直直，以以D为为原原点点，建建立空间直角坐标系立空间直角坐标系Dxyz(如图如图)，突破练突破练3(2018泰安模拟泰安模拟)如如图所所示示，四四边形形ABCD是是边长为1的的正正方方形形，MD平平面面ABCD，NB平平面面ABCD，且且MDNB1，E为BC的中点的中点(1)求异面直求异面直线NE与与AM所成角的余弦所成角的余弦值；(2)在在线段段AN上上是是否否存存在在点点S，使使得得ES平平面面AMN？若存在，求若存在，求线段段AS的的长；若不存在，；若不存在，请说明理由明理由解解析析(1)如如图图，以以D为为坐坐标标原原点点，建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系Dxyz.
