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1、第三章玻色统计和费米统计统计物理学讲义统计物理学讲义 第三章第三章 近独立粒子的最盖然分布近独立粒子的最盖然分布1.热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 2.弱简并理想玻色和费米气体弱简并理想玻色和费米气体3.玻色玻色爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚4.光子气体光子气体5.金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体3.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 1、玻色系统、玻色系统l巨配分函数巨配分函数l平均粒子数平均粒子数l内能内能l广义力广义力l熵熵l玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系2、费米系统、费米系统3.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 简并气体：不满足非简并条件的气体。简并气体：不
2、满足非简并条件的气体。 分别用玻色分布和费米分布处理。分别用玻色分布和费米分布处理。 1、玻色系统 巨配分函数 系统的平均粒子数 内能 内能：系统中粒子无规运动总能量的统计平均值。内能：系统中粒子无规运动总能量的统计平均值。广义力 广义力：外界对系统的广义作用力广义力：外界对系统的广义作用力Y是是 的统的统计平均值。计平均值。熵 熵 玻耳兹曼关系 玻耳兹曼关系 玻耳兹曼关系 第一章推导结果：第一章推导结果： 注意这里是玻色系统的微观状态数注意这里是玻色系统的微观状态数B.E. 2、费米系统 巨配分函数巨配分函数 前面得到的热力学量的统计表达式完全适用前面得到的热力学量的统计表达式完全适用求解热
3、力学量一般过程 知道粒子的能级和能级的简并度知道粒子的能级和能级的简并度 计算求和计算求和求得巨配分函数的求得巨配分函数的对数作数作为 , ,y的函数的函数 求得理想玻色（费米）系统的基本热力学函数求得理想玻色（费米）系统的基本热力学函数确定系统的全部平衡性质确定系统的全部平衡性质巨热力势 以以T、V、 为自变量的特性函数是巨热力势为自变量的特性函数是巨热力势 3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体 弱简并即气体：弱简并即气体： 虽小，但不可忽略。虽小，但不可忽略。初步显示玻色气体和费米气体的差异。初步显示玻色气体和费米气体的差异。 有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的有关公式中，上面的
4、符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。符号适用于玻色气体。 不考虑分子的内部结构，只有平动能量。不考虑分子的内部结构，只有平动能量。 3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体 在体积在体积V内，在内，在 到到 +d 的能量范围内，分子可能的能量范围内，分子可能的微观状态数为：的微观状态数为：g：由粒子可能具有自旋而引入的简并度。：由粒子可能具有自旋而引入的简并度。3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体 内能：内能： 系统的总分子数：系统的总分子数：可确定拉氏乘子可确定拉氏乘子 3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体 小， 是一个小量 3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体 3.2 弱简并理想玻色
5、气体和费米气体 可将可将U第二项中的第二项中的 用用0级近似，即用玻耳兹曼级近似，即用玻耳兹曼分布的结果：分布的结果： 例题 8.3: 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵 解：弱简并理想费米（玻色）气体的内能解：弱简并理想费米（玻色）气体的内能利用理想气体压强与内能的关系利用理想气体压强与内能的关系可以直接求得弱简并气体的压强为可以直接求得弱简并气体的压强为n=N/V粒子数密度粒子数密度例题 弱简并气体的定容热容量为：弱简并气体的定容热容量为： 热力学中熵的积分表达式热力学中熵的积分表达式极限条件下极限条件下弱简并气体趋于经典理想气体弱简并气体趋于经典
6、理想气体例题 理想气体的熵理想气体的熵1、玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度、玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度TC 2、玻色爱因斯坦凝聚的内能和热容量、玻色爱因斯坦凝聚的内能和热容量 3、相变相变 3.3 玻色爱因斯坦凝聚 3.3 玻色爱因斯坦凝聚 微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响性质的影响: 玻色子将向基态能级转移玻色子将向基态能级转移 玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚 玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度TCN个全同、近独立玻色子系个全同、近独立玻色子系统，粒子自旋，粒子自旋为0，温，温度度为T，体，体积为V： al 0化学势化学势为温度为温度T及粒子
7、数密度及粒子数密度n的函数。的函数。在在n给定定时，T越小越小则要求要求值越高，即越高，即|越小。越小。 温度降低，化学势升高，临界温度温度降低，化学势升高，临界温度TC时，时，趋于趋于0。 玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度TC玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度TCT TC时，时，粒子都粒子都处在激在激发态，= 0的粒子数可忽略。的粒子数可忽略。 T TC时，时，0的粒子数是很大的数值，不可忽略。的粒子数是很大的数值，不可忽略。 玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度TC温度为温度为T时处在最低能级时处在最低能级0的粒子数密度为的粒子数密度为玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度TC玻色粒子，一个量子态所能玻色粒子，一个量子态所能
8、容纳的粒子数目不受限制；容纳的粒子数目不受限制；绝对零度下玻色粒子将全部绝对零度下玻色粒子将全部处在处在0的最低能级。的最低能级。T TC时：宏观量级的粒子在时：宏观量级的粒子在能级能级0凝聚，称为凝聚，称为玻色玻色爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚，简称玻色凝，简称玻色凝聚。聚。 TC为为凝聚温度凝聚温度。 凝聚在凝聚在0的粒子集合称为玻色凝聚体，的粒子集合称为玻色凝聚体，能量、动量能量、动量 、熵为熵为0。对压强就没有贡献。对压强就没有贡献。 玻色爱因斯坦凝聚及凝聚温度TC玻色爱因斯坦凝聚的内能和热容量 在在T 0的粒子能量的统计平均值：的粒子能量的统计平均值：T TC，3Nk/2玻色爱因斯坦凝聚的
9、内能和热容量 相相变 沸点是沸点是4.2K液相在液相在发生相变，称为发生相变，称为相变相变由正常液态变为超流性。由正常液态变为超流性。 热容量随温度的变化如热容量随温度的变化如图图8.3所示所示 计算得到计算得到TC=3.13K。 相变相变 想玻色气体出现想玻色气体出现凝聚的临界条件凝聚的临界条件出现凝聚体的条件出现凝聚体的条件实现玻色凝聚的方法：降低温度；实现玻色凝聚的方法：降低温度；增加气体粒子数密度。增加气体粒子数密度。相变相变 物质物质TC原子数目原子数目(个个) 原子密度原子密度(个个/cm3) 87Rb170 nK1032.6 101223Na2K5 10510147Li400nK
10、10310123.4 光子气体根据玻色分布讨论平衡辐射问题。根据玻色分布讨论平衡辐射问题。 光子数不守恒。光子数不守恒。 玻色统计的重要应用。玻色统计的重要应用。 3.4 光子气体受热的物体会辐射电磁波，称为受热的物体会辐射电磁波，称为热辐射热辐射。平衡辐射平衡辐射：一般情形下热辐射的强度和强度按频：一般情形下热辐射的强度和强度按频率的分布与辐射体的温度和性质都有关。如果辐率的分布与辐射体的温度和性质都有关。如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，热辐射的射体对电磁波的吸收和辐射达到平衡，热辐射的特性将只取决于温度，与辐射体的其它特性无关，特性将只取决于温度，与辐射体的其它特性无关，称为平衡辐
11、射。称为平衡辐射。黑体辐射：黑体辐射：一个封闭的空窖，空窖保持一定的温一个封闭的空窖，空窖保持一定的温度度T。窖壁将不断向空窖发射并吸收电磁波，窖。窖壁将不断向空窖发射并吸收电磁波，窖内辐射场与窖壁达到平衡后，二者具有共同的温内辐射场与窖壁达到平衡后，二者具有共同的温度，显然空窖内的辐射就是平衡辐射。度，显然空窖内的辐射就是平衡辐射。3.4 光子气体热辐射（热力学）：热辐射（热力学）：平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关；只与温度有关；内能密度与绝对温度的四次方成正比。内能密度与绝对温度的四次方成正比。吉布斯函数吉布斯函数G=U-TS+pV=
12、03.4 光子气体平衡辐射（经典统计）：平衡辐射（经典统计）：单色平面波的电场分量单色平面波的电场分量:波动方程波动方程:3.4 光子气体 = ck 3.4 光子气体在体在体积V内，在内，在dkxdkydkz的波矢范的波矢范围内，内，辐射射场的振的振动自由度数自由度数(两个偏振方向两个偏振方向)在体在体积V内，在内，在+d的的圆频率范率范围内，内，辐射射场的振的振动自由度数自由度数 = ck 3.4 光子气体根据能量均分定理，温度为T时，每一振动自由度的平均能量为体积V内，在d范围内平衡辐射的内能为瑞利-金斯公式 3.4 光子气体低频范围符合得很好，高频（紫低频范围符合得很好，高频（紫外）范围
13、有尖锐歧异。外）范围有尖锐歧异。问题问题：a. 内能发散内能发散。 热力学：热力学：b.定容定容热容量发散热容量发散，不能不能达到达到热平衡热平衡。 经典典电动力学力学无无穷多个振多个振动自由度，自由度，经典典统计能量均分定理能量均分定理每个振每个振动自由度能量自由度能量kT。3.4 光子气体 问题问题：热力学理论：热力学理论：平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关；只与温度有关；内能密度与绝对温度的四次方成正比。内能密度与绝对温度的四次方成正比。能量均分定理：能量均分定理：内能和频率在低频范围与实验符合，在高频内能和频率在低频范围与实验符合，
14、在高频（紫外）范围与实验不符合；（紫外）范围与实验不符合；有限温度下内能和热容量发散，辐射场不可有限温度下内能和热容量发散，辐射场不可能与其它物体达到热平衡。能与其它物体达到热平衡。 3.4 光子气体根据粒子观点，空窖内的辐射场看作光子气体。根据粒子观点，空窖内的辐射场看作光子气体。空窖辐射分解为无穷多个单色平面波的叠加。空窖辐射分解为无穷多个单色平面波的叠加。具有一定的波矢具有一定的波矢k和圆频率和圆频率 的单色平面波与具的单色平面波与具有一定的动量有一定的动量p和能量和能量 的光子相应。的光子相应。遵从德布罗意关系。遵从德布罗意关系。平衡辐射（玻色统计）平衡辐射（玻色统计）3.4 光子气体
15、光子数不守恒光子数不守恒 E是常数，是常数，N不不是常数是常数引引进一个拉氏乘子一个拉氏乘子 ：光子气体化学势为零光子气体化学势为零光子的自旋量子数为光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向的投影，自旋在动量方向的投影可取可取 ，相当于左右圆偏振。，相当于左右圆偏振。 3.4 光子气体在体积为在体积为V的空窖内，在的空窖内，在p到到p+dp的动量范围内，的动量范围内，光子的量子态数为：（光子自旋有两个投影光子的量子态数为：（光子自旋有两个投影 ）在体积为在体积为V的空窖内，在的空窖内，在 到到 +d 的动量范围内，的动量范围内，光子的量子态数为：光子的量子态数为： 平均光子数为平均光子数为3.4
16、光子气体辐射场的内能为：辐射场的内能为：所给出的辐射场内能按所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果频率的分布与实验结果完全符合。完全符合。量子物理学的起点量子物理学的起点。 普朗克公式普朗克公式3.4 光子气体普朗克公式在低频的极限结果：普朗克公式在低频的极限结果：普朗克公式在高频的极限结果：普朗克公式在高频的极限结果：3.4 光子气体普朗克公式的物理图像：普朗克公式的物理图像： 空窖内的辐射场空窖内的辐射场 单色平面波单色平面波 振动自由振动自由度度 具有无穷多个振动自由度的力学系统。具有无穷多个振动自由度的力学系统。振动自由度的能量：振动自由度的能量： 具有一定圆频率、波矢和偏振的平面波
17、与具有一具有一定圆频率、波矢和偏振的平面波与具有一定能量、动量和自旋投影的光子状态相应，当辐定能量、动量和自旋投影的光子状态相应，当辐射场某一平面波处在量子数为射场某一平面波处在量子数为n的状态时，相当的状态时，相当于存在状态相应的于存在状态相应的n个光子。个光子。3.4 光子气体温度为温度为T的平衡状态下的平衡状态下n的平均值的平均值 波动和粒子图像统一：波动和粒子图像统一：粒子观点：平均光子数粒子观点：平均光子数 波动观点：量子数波动观点：量子数n的平均值的平均值 低频：低频： 能量准连续，经典统计适用能量准连续，经典统计适用高频：高频： 自由度则被冻结在基态，自由度则被冻结在基态，n03
18、.4 光子气体求空窖辐射的内能：求空窖辐射的内能：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比。平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比。热力学：斯特藩玻耳兹曼定律热力学：斯特藩玻耳兹曼定律3.4 光子气体辐射场内能密度随辐射场内能密度随 分布的极大值分布的极大值 m： m与温度成正比与温度成正比维恩位移定律维恩位移定律 3.4 光子气体光子气体的热力学函数：光子气体的热力学函数： 3.4 光子气体3.4 光子气体热力学平衡辐射的通量密度与内能密度的关系：热力学平衡辐射的通量密度与内能密度的关系：根据泻流概念，可求得光子气体的辐射通量密度：根据泻流概念，可求得光子气体的辐射通量密度：3.5 金
19、属中的自由电子气体 满足非简并性条件：满足非简并性条件：定域粒子，玻色子，费米子，遵从玻耳兹曼分布定域粒子，玻色子，费米子，遵从玻耳兹曼分布 弱简并：弱简并： 虽小，但不可忽略虽小，但不可忽略 强简并：强简并： 3.5 金属中的自由电子气体经典经典“金属金属”：把公有把公有电子看作在金属内部作自子看作在金属内部作自由运由运动的近独立粒子。的近独立粒子。金属的高金属的高导电率和高率和高热导率率说明金属中自由明金属中自由电子子的存在。的存在。问题：问题：室温下，金属中自由电子的热容量与晶格室温下，金属中自由电子的热容量与晶格振动的热容量相比，可以忽略不计，而不振动的热容量相比，可以忽略不计，而不是
20、是3k/2。 某些金属某些金属Al，In正霍尔系数，空穴（正电正霍尔系数，空穴（正电子）导电子）导电3.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子形成强简并的费米气体。金属中的自由电子形成强简并的费米气体。以金属以金属Cu为例，考察其自由电子非简并，弱简并，为例，考察其自由电子非简并，弱简并，强简并性？强简并性？密度密度8.9 g.cm-3, 原子量原子量63，电子构型，电子构型3d104s1，如，如果一个果一个Cu原子贡献一个自由电子：原子贡献一个自由电子：电子质量电子质量 T300 K时，n 3=3400。强简并的费米气体强简并的费米气体 3.5 金属中的自由电子气体费米统计：温度为费米统计
21、：温度为T，处在能量，处在能量 量量子态上的平均电子数子态上的平均电子数电子自旋在动量方向的投影电子自旋在动量方向的投影 在体积在体积V内，在内，在 能量范围内，电子的能量范围内，电子的量子态数为量子态数为 在体积在体积V内，在内，在 能量范围内，电子数为能量范围内，电子数为3.5 金属中的自由电子气体在给定电子数在给定电子数N、温度、温度T和体积和体积V时，化学势时，化学势 化学化学势 是温度是温度T和和电子密度子密度N/V的函数的函数 T0K时，时， (0)：0K电子气体化学势电子气体化学势 (0)是是0K时电子时电子最大能量。最大能量。 f(E)3.5 金属中的自由电子气体 (0)也常称
22、为费米能级，以也常称为费米能级，以 表示。表示。 费米动量费米动量Pf是是0K是电子的最大动量是电子的最大动量相应的速率相应的速率vm称为费米速率称为费米速率Cu的费米能级：的费米能级：费米温度：费米温度：3.5 金属中的自由电子气体0K时电子气体的内能：时电子气体的内能： 0K时电子的平均能量：时电子的平均能量： 0K时电子气体的压强：时电子气体的压强： 3.5 金属中的自由电子气体0K时时Cu得电子气体的压强得电子气体的压强 电子气体的简并压：电子气体的简并压：泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果。泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果。在金属中被电子与离子的静电吸力所补偿。在金属中
23、被电子与离子的静电吸力所补偿。 3.5 金属中的自由电子气体在绝对零度下：在绝对零度下：玻色气体：粒子能量、动量、压强为零；玻色气体：粒子能量、动量、压强为零；费米气体：能量、动量、压强很高；费米气体：能量、动量、压强很高；二者微观状态虽然完全不同，但是完全确定；二者微观状态虽然完全不同，但是完全确定；由玻耳兹曼关系由玻耳兹曼关系 熵都为零；熵都为零；符合热力学第三定律。符合热力学第三定律。 3.5 金属中的自由电子气体T0时，金属中自由电子的分布：时，金属中自由电子的分布： D(E)dE3.5 金属中的自由电子气体说明：说明：（1）函数）函数 按指数规律随按指数规律随 变化，只在变化，只在
24、附近附近数量级为数量级为kT的范围内，电子分布与的范围内，电子分布与0K分布分布有差异。有差异。理解：理解：0K时电子占据时电子占据0到到 (0)所有量子态；所有量子态； 升温后热激发电子跃迁升温后热激发电子跃迁到能量较高的未被占据的状到能量较高的未被占据的状态。但低能态的电子跃迁的态。但低能态的电子跃迁的可能极小。可能极小。3.5 金属中的自由电子气体（2）电子气体的分布与电子气体的分布与0K时的分布差异不大，时的分布差异不大， (T)与与 (0)接近。接近。 因此费米气体的强简并条件也往往表达为因此费米气体的强简并条件也往往表达为TTF 3.5 金属中的自由电子气体（3）只有能量在）只有能
25、量在 附近、量级为附近、量级为kT的范围内的电的范围内的电子对热容量有贡献。子对热容量有贡献。估计电子气体的热容量：估计电子气体的热容量：N有效有效表示能量在表示能量在 附近附近kT范范围内内对热容量有容量有贡献献的有效的有效电子数子数 将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为热容量的贡献为3k/2, 则金属中自由电子对热容量则金属中自由电子对热容量的贡献为：的贡献为：3.5 金属中的自由电子气体铜： 室温室温300K T/TF1/270。金属中自由金属中自由电子子对热容量的容量的贡献献远小于小于经典理典理论值。与离子振与离子振动的的热
26、容量相比，容量相比，电子的子的热容量可以忽容量可以忽略不略不计。3.5 金属中的自由电子气体自由电子气体的热容量的定量计算：自由电子气体的热容量的定量计算： 电子热容量与电子热容量与T成正比成正比3.5 金属中的自由电子气体常温：电子热容量常温：电子热容量离子振动热容量。离子振动热容量。低温：低温：离子振动的热容量离子振动的热容量 T3；电子热容量电子热容量 T。在足够低温度下：在足够低温度下：电子热容量大于离子振动热容量，成为对电子热容量大于离子振动热容量，成为对金属热容量的主要贡献。金属热容量的主要贡献。计及电子和离子振动的热容量，低温下金属的定计及电子和离子振动的热容量，低温下金属的定容热容量可表为容热容量可表为
