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1、会计学1多元多元(du yun)函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用多元(du yun)函数的基本概念函数的基本概念第一页，共28页。- 2 -一一一一 多元多元多元多元(du yun)(du yun)(du yun)(du yun)函数的定义函数的定义函数的定义函数的定义（1 1）邻域）邻域(ln y)(ln y)1 有关区域有关区域(qy)的的概念概念定义定义第1页/共27页第二页，共28页。- 3 -（2 2）区域）区域(qy)(qy)例如例如(lr)，即为开集即为开集第2页/共27页第三页，共28页。- 4 -第3页/共27页第四页，共28页。- 5 -连通的开集称为连通的开集称为
2、(chn wi)区域或开区域区域或开区域例如例如(lr)，例如例如(lr)，连通的不是开集连通的不是开集是开集不是连通的是开集不是连通的不是闭区域的例子：不是闭区域的例子：去掉边界不是开区域去掉边界不是开区域第4页/共27页第五页，共28页。- 6 -有界闭区域有界闭区域(qy)；是无界开区域是无界开区域(qy)例如例如(lr)，第5页/共27页第六页，共28页。- 7 -（3 3）聚点聚点 内点一定内点一定(ydng)(ydng)是聚点；是聚点；说明说明(shum(shumng)ng)：边界点可能边界点可能(knng)(knng)是聚点；是聚点；例例(0,0)(0,0)既是既是边界点也是聚点
3、边界点也是聚点第6页/共27页第七页，共28页。- 8 -点集点集E E的聚点可以的聚点可以(ky)(ky)属于属于E E，也可以，也可以(ky)(ky)不属不属于于E E例如例如(lr)(lr), ,(0,0) (0,0) 是聚点但不属于是聚点但不属于(shy)(shy)集合集合例如例如, ,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合第7页/共27页第八页，共28页。- 9 -2 2 n n维空间维空间n n维空间的记号维空间的记号(j ho)(j ho)为为说明说明(shum(shumng)ng)：n n维空间中两点间距离维空间中两点间距离(jl)(jl)公式公式 元数元
4、数称为称为维空间中的一个维空间中的一个点点，而每个而每个组组设设为取定的一个自然数，我们称为取定的一个自然数，我们称数组数组的全体为的全体为维空间维空间，元元为该点的第为该点的第个个坐标坐标. .数数称称设两点为设两点为定义定义第8页/共27页第九页，共28页。- 10-n n维空间中邻域、区域维空间中邻域、区域(qy)(qy)等概念等概念 特殊地当特殊地当内点、边界点、区域内点、边界点、区域(qy)(qy)、聚点等概念也可定义、聚点等概念也可定义邻域邻域(ln (ln y)y)：时，便为数轴、平面、空间两时，便为数轴、平面、空间两点间的距离点间的距离第9页/共27页第十页，共28页。- 11
5、-设设是是 平面上的一个点集，如果对于每个平面上的一个点集，如果对于每个点点3 3 多元函数多元函数(hnsh)(hnsh)的定义的定义元函数元函数(hnsh)(hnsh)的定义，的定义，记为记为定义定义(dngy)(1) 二元函数的定义二元函数的定义是是的的二元函数二元函数，则称则称或或变量变量按照一定的法则按照一定的法则值和它对应，值和它对应，总有唯一确定的总有唯一确定的其中其中称为函数的称为函数的定义域定义域，称为函数的称为函数的自变量自变量，称为函数的称为函数的因变量因变量。说明说明如果将如果将换成换成中的点集，中的点集，相应的可相应的可得出得出元函数统称为元函数统称为多元函数多元函数
6、. .第10页/共27页第十一页，共28页。- 12-例例1 1 求求解解所求定义域为所求定义域为的定义域的定义域第11页/共27页第十二页，共28页。- 13-(2) (2) 二元函数二元函数(hnsh)(hnsh)的图形的图形(txng)(txng) 设函数设函数的定义域为的定义域为对应的函数值对应的函数值这个这个(zh ge)(zh ge)点集称为二元函数的图形点集称为二元函数的图形. .对于任意取定对于任意取定的的为纵坐标、为纵坐标、为竖坐标在空间就为竖坐标在空间就确确这样以这样以为横坐标、为横坐标、定一点定一点当当取遍取遍个个空间点集空间点集 时，得一时，得一二元函数的图形通常是一张
7、曲面二元函数的图形通常是一张曲面. .第12页/共27页第十三页，共28页。- 14-例如例如(lr(lr),),第13页/共27页第十四页，共28页。- 15-例如例如, ,(3) (3) 多值函数多值函数(hnsh)(hnsh)在函数的定义中要求对每个在函数的定义中要求对每个按照一确定按照一确定法则有法则有唯一的唯一的一个数一个数与与对应，对应，但在实际问题中但在实际问题中经常存在多个数经常存在多个数与与对应，对应，这样的对应关系这样的对应关系(gun x)称为称为多值函数多值函数(hnsh)，因此因此我们说由我们说由确定确定了一个多值函数。了一个多值函数。对于多值函数可分成几个对于多值函
8、数可分成几个(单值单值)函数来讨论，函数来讨论，例如例如, ,可分成可分成对于每个点对于每个点有两个确定的数有两个确定的数和和与之对应，与之对应，和和讨论。讨论。第14页/共27页第十五页，共28页。- 16-1 1 多元多元(du yun)(du yun)函函数的极限数的极限二二二二 多元函数多元函数多元函数多元函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)的极限与连续性的极限与连续性的极限与连续性的极限与连续性定义定义(dngy)(dngy)是其聚点，是其聚点，总存在正数总存在正数使得对于适合不等式使得对于适合不等式的一切点，且的一切点，且都有都有成立，成立，在在时的时的极限极限，或
9、或这里这里如果对于任意给定的正如果对于任意给定的正数数为函数为函数称称记为记为则则的定义域为的定义域为设函数设函数第15页/共27页第十六页，共28页。- 17-说明说明(shum(shumng)ng)：（1 1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；（2 2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限（3 3）二元函数的极限运算法则）二元函数的极限运算法则(fz)(fz)与一元函数类似与一元函数类似确定极限不存在确定极限不存在(cnzi)可以找多种可以找多种趋向于趋向于的路径，的路径，且且的极限不相等。的极限不相等。（4）求二元函数可以通过转变，化为一元函数的极限）求二
10、元函数可以通过转变，化为一元函数的极限第16页/共27页第十七页，共28页。- 18-例例2 2 求证求证(qizhng) (qizhng) 证证当当 时，时，原结论原结论(jiln)(jiln)成立成立第17页/共27页第十八页，共28页。- 19-例例3 3 求极限求极限(jxin) (jxin) 解解其中其中(qzh(qzhng)ng)第18页/共27页第十九页，共28页。- 20-例例4 4 证明证明(zhngmng)(zhngmng)证证取取其值随其值随k k的不同的不同(b tn)(b tn)而变化，而变化，故极限故极限(jxin)(jxin)不存在不存在 不存在不存在第19页/共
11、27页第二十页，共28页。- 21-类似类似(li s)(li s)可以定义可以定义元函数元函数(hnsh)(hnsh)的极的极限限定义定义(dngy) (dngy) 设设元函数元函数的定义域为点集的定义域为点集是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数总存在正数总存在正数使得对于适合不等式使得对于适合不等式的一切点的一切点都有都有成立，则称成立，则称元函数元函数在在时的时的极限极限，为为记为记为 第20页/共27页第二十一页，共28页。- 22-2 2 多元多元(du yun)(du yun)函数的连续性函数的连续性定义定义(dng(dngy)y)设设元函数元函数的定义
12、域为点集的定义域为点集如果如果(rg(rgu)u)则称则称元函数元函数在点在点处处连续连续. .设设是函数是函数的定义域的聚点，的定义域的聚点，在点在点处不连续，处不连续，如果如果是函数是函数的的间断点间断点. .则称则称如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续, 则称此函数则称此函数在在 D上上连续连续.是其聚点且是其聚点且第21页/共27页第二十二页，共28页。- 23-例例5 5 讨论函讨论函数数在在(0,0)(0,0)处的连续性处的连续性解解故函数故函数(hnsh)(hnsh)在在(0,0)(0,0)处连处连续续第22页/共27页第二十三页，共28页。- 24- 函数(h
13、nsh)在点在点(0 , 0) (0 , 0) 极限极限(jxin)(jxin)不存在不存在, , 函数函数(hnsh)(hnsh)上间断上间断. . 故故 ( 0, 0 )( 0, 0 )为其间断点为其间断点. .在圆周在圆周第23页/共27页第二十四页，共28页。- 25- 多元多元(du yun)(du yun)初等函数：由多元初等函数：由多元(du yun)(du yun)多项式多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元的可用一个式子所表示的多元(du yun)(du yun)函数叫多元函数叫多元
14、(du (du yun)yun)初等函数初等函数一切多元初等函数在其定义区域一切多元初等函数在其定义区域(qy)(qy)内是连续的内是连续的定义定义(dngy)(dngy)区域是指包含在定义区域是指包含在定义(dngy)(dngy)域内的区域域内的区域或闭区域或闭区域第24页/共27页第二十五页，共28页。- 26-例例6 6解解例例7 求函数求函数的连续的连续(linx)域域.解解:第25页/共27页第二十六页，共28页。- 27-闭区域闭区域(qy)(qy)上连续函数的性质上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少上至少(zhsho
15、)(zhsho)取得它的最大值和最小值各一次取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域(qy)D(qy)D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得上取得两个不同的函数值，则它在两个不同的函数值，则它在D D上取得介于这两值之间的任何值上取得介于这两值之间的任何值至少一次至少一次（1 1）最大值和最小值定理最大值和最小值定理（2 2）介值定理介值定理第26页/共27页第二十七页，共28页。内容(nirng)总结会计学。1 有关区域的概念。(0,0)既是边界点也是聚点。点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E。(0,0) 是聚点但不属于集合。边界上的点都是聚点也都属于集合。内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义。时，便为数轴(shzhu)、平面、空间两。3 多元函数的定义。(1) 二元函数的定义。(3) 多值函数。1 多元函数的极限。二 多元函数的极限与连续性。（2）二元函数的极限也叫二重极限。例3 求极限。定义 设第二十八页，共28页。
