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1、会计学1求导法则求导法则(fz)与初等函数求导级与初等函数求导级第一页，共42页。一、函数一、函数一、函数一、函数(hnsh)(hnsh)(hnsh)(hnsh)和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则 定理定理定理定理1 1 设函数设函数设函数设函数 u = u (x) u = u (x) 及及及及 v = v (x) v = v (x) 都在点都在点都在点都在点 x x 处可处可处可处可导导导导, , 那么那么那么那么(n me) (n me) 它们的和、差、积、商在它们的和、差、积、商在它们的和、差、积、商在它们的和、差、积、商在x
2、 x 处也可处也可处也可处也可导导导导, , 且且且且 （2 2） u u ( (x x) ) v v ( (x x) ) = = u u ( (x x) ) v v ( (x x) +) + u u ( (x x) ) v v ( (x x) ) （1 1） u u ( (x x) ) v v ( (x x) ) = = u u ( (x x) ) v v ( (x x) ) ； （3 3）【v v ( (x x) ) 0 0】第1页/共41页第二页，共42页。(2)(2)证证证证: : 设设设设则有则有则有则有故结论故结论故结论故结论(jiln)(jiln)成成成成立立立立. .乘积求导法
3、则可简单乘积求导法则可简单乘积求导法则可简单乘积求导法则可简单(jindn)(jindn)地表示为地表示为地表示为地表示为 (uv) (uv) = = u uv + uvv + uv. . 第2页/共41页第三页，共42页。 推论推论推论推论(tuln)2 (tuln)2 设设设设 u (x) u (x) 在点在点在点在点 x x 处可导处可导处可导处可导, C , C 为常数为常数为常数为常数, , 则则则则 (C (C u)u) = Cu = Cu. . 推论推论推论推论(tuln)3 (tuln)3 设设设设 u = u (x), v = v (x), w = w (x) u = u (
4、x), v = v (x), w = w (x) 在点在点在点在点 x x 处处处处均可导均可导均可导均可导, , 则则则则 (uvw) (uvw) = u = uvw + uvvw + uvw + uvww + uvw. . 法则法则法则法则(fz)(1)(fz)(1)可推广到任意有限项的可推广到任意有限项的可推广到任意有限项的可推广到任意有限项的情形情形情形情形. .例如例如例如例如, ,推论推论推论推论1 1 1 1第3页/共41页第四页，共42页。 = = e e x x (sin(sinx x + cos+ cosx x) +) + e e x x (cos(cosx x - sin
5、- sinx x) ) 例例例例1 1 y y = = e e x x(sin(sinx x + cos+ cosx x) ln3, ) ln3, 求求求求 y y . . = (= (e e x x) ) (sin(sinx x + cos+ cosx x) +) + e e x x (sin(sinx x + cos+ cosx x) ) 解解解解 y y = ( = (e e x x(sin(sinx x + cos+ cosx x) ) + ( + (ln3ln3) ) = 2e= 2ex xcoscosx x. . 第4页/共41页第五页，共42页。例例例例2 2 y y = tan
6、 = tanx x, , 求求求求 y y . . 即即即即 (tanx) (tanx) = sec 2x. = sec 2x. 这就是正切这就是正切这就是正切这就是正切(zhngqi)(zhngqi)函数的求导函数的求导函数的求导函数的求导公式公式公式公式. . 类似地可求余切类似地可求余切类似地可求余切类似地可求余切(yqi)(yqi)函数的求导公式函数的求导公式函数的求导公式函数的求导公式 (cotx) (cotx) = = csc csc 2x.2x.第5页/共41页第六页，共42页。例例例例3 3 y y = sec = secx x, , 求求求求 y y . . 即即即即 (se
7、cx) (secx) = secxtanx. = secxtanx. 这就是正割函数这就是正割函数这就是正割函数这就是正割函数(hnsh)(hnsh)的求的求的求的求导公式导公式导公式导公式. . 类似地可求余割函数类似地可求余割函数类似地可求余割函数类似地可求余割函数(hnsh)(hnsh)的求导公式的求导公式的求导公式的求导公式 (cscx) (cscx) = = cscxcotx. cscxcotx. 第6页/共41页第七页，共42页。二、反函数的求导公式二、反函数的求导公式二、反函数的求导公式二、反函数的求导公式(gngsh)(gngsh)(gngsh)(gngsh) 定理定理定理定理
8、2 2 设函数设函数设函数设函数 在区间在区间在区间在区间 I I y y 上单调、上单调、上单调、上单调、可导可导可导可导, , 且且且且 , , 则它的反函数则它的反函数则它的反函数则它的反函数 y y = = f f ( (x x) ) 在对在对在对在对应区间应区间应区间应区间 I I x x 上也单调、可导上也单调、可导上也单调、可导上也单调、可导, , 且且且且 简言之，即反函数的导数等于直接简言之，即反函数的导数等于直接简言之，即反函数的导数等于直接简言之，即反函数的导数等于直接(zhji)(zhji)函数导数（不函数导数（不函数导数（不函数导数（不等于零）的倒数等于零）的倒数等于
9、零）的倒数等于零）的倒数. .第7页/共41页第八页，共42页。例例例例4. 4. 求函数求函数求函数求函数解解解解: :则则则则类似类似类似类似(li s)(li s)可求得可求得可求得可求得, , 则则则则的导数的导数的导数的导数(do sh).(do sh).第8页/共41页第九页，共42页。为函数为函数为函数为函数(hnsh)(hnsh)类似类似类似类似(li s)(li s)可求得可求得可求得可求得解：解：解：解：的反函数。的反函数。的反函数。的反函数。例例例例5. 5. 求函数求函数求函数求函数的导数的导数的导数的导数(do sh)(do sh)。第9页/共41页第十页，共42页。
10、小结小结小结小结(xioji):(xioji):第10页/共41页第十一页，共42页。在点在点在点在点 x x 可导可导可导可导, ,三、复合三、复合(fh)(fh)函数求导法则函数求导法则定理定理定理定理(dngl)(dngl)3. 3.在点在点在点在点可导可导可导可导复合复合复合复合(fh)(fh)函函函函数数数数且且且且在点在点在点在点 x x 可导可导可导可导, ,即即即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导因变量对自变量求导因变量对自变量求导, , , ,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量 求导求导求导求导, , , ,乘以中间变量对自
11、变量求导乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(.(.(链式法则链式法则链式法则链式法则) ) ) )第11页/共41页第十二页，共42页。例例例例6 6 6 6解解解解例例例例7 7 7 7解解解解第12页/共41页第十三页，共42页。例如例如例如例如(lr(lr), ),关键关键关键关键: : 搞清复合函数搞清复合函数搞清复合函数搞清复合函数(hnsh)(hnsh)结构结构结构结构, , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导由外向内逐层求导由外向内逐层求导. .推广：此法则可推广到多个中间推广：此法则可推广到多个中间推广：此法则可推广到多个中间推广：此法
12、则可推广到多个中间(zhngjin)(zhngjin)(zhngjin)(zhngjin)变量变量变量变量的情形的情形的情形的情形. . . .则复合函数则复合函数则复合函数则复合函数y y= =f f( ( ( (g g( ( ( (h h( ( ( (x x)对对对对x x的导数为的导数为的导数为的导数为 第13页/共41页第十四页，共42页。例例例例9.9.解解解解第14页/共41页第十五页，共42页。 熟练之后熟练之后熟练之后熟练之后, , 计算时可以不写出中间变量计算时可以不写出中间变量计算时可以不写出中间变量计算时可以不写出中间变量, , 而直接而直接而直接而直接(zhji)(zh
13、ji)写出结果写出结果写出结果写出结果. . 又如又如又如又如 如如如如第15页/共41页第十六页，共42页。例例例例1111 y y = lncos( = lncos(e e x x), ), 求求求求 y y . . 例例例例1010 第16页/共41页第十七页，共42页。解：解：解：解：例例例例1212 设设设设第17页/共41页第十八页，共42页。解：解：解：解： 设设设设例例例例1313 设设设设其中其中其中其中(qzhng)(qzhng)函数函数函数函数可导，求可导，求可导，求可导，求第18页/共41页第十九页，共42页。四、初等四、初等四、初等四、初等(chdng)(chdng)
14、函数的导函数的导函数的导函数的导数数数数 1. 1. 基本导数基本导数基本导数基本导数(do (do sh)sh)公式公式公式公式 (1) (1) (C C) ) = 0;= 0;(2) (2) (x x ) ) = = x x -1-1; ;(3) (sin(3) (sinx x) ) = cos= cosx x; ;(4) (cos(4) (cosx x) ) = sin= sinx x; ;(5) (tan(5) (tanx x) ) = sec= sec2 2x x; ;(6) (cot(6) (cotx x) ) = - csc= - csc2 2x x; ;(7) (sec(7)
15、(secx x) ) = sec= secx x tan tanx x; ;(8) (csc(8) (cscx x) ) = - csc= - cscx xcotcotx x; ;(9) (9) (e e x x) ) = = e e x x; ;(10) (10) (a a x x) ) = = a a x x ln lna a; ; 第19页/共41页第二十页，共42页。第20页/共41页第二十一页，共42页。2. 2. 函数函数函数函数(hnsh)(hnsh)的和、差、积、商的求导的和、差、积、商的求导的和、差、积、商的求导的和、差、积、商的求导法则法则法则法则 设设设设 u u = =
16、 u u( (x x), ), v v = = v v( (x x) ) 均可导均可导均可导均可导, , 则则则则(1) (1) (u u v v) ) = = u u v v ; ;(2) (2) (uvuv) ) = = u u v v + + uvuv ; ;(3) (3) (C C u u) ) = = Cu Cu ; ; 第21页/共41页第二十二页，共42页。3. 3. 复合函数复合函数复合函数复合函数(hnsh)(hnsh)的的的的求导法则求导法则求导法则求导法则 设设设设 y = f (u), u = g (x), y = f (u), u = g (x), 且且且且 f (u
17、), g (x) f (u), g (x) 均可导均可导均可导均可导, , 则复合则复合则复合则复合(fh)(fh)函数函数函数函数 y = f (g(x) y = f (g(x)的导数为的导数为的导数为的导数为 利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导问题(wnt)(wnt)可完可完可完可完全解决全解决全解决全解决. .注意注意注意注意: : : :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数. .第22页/共41页第二十三页，共42页。例例
18、例例14. 14. 求求求求解解解解: :先化简后求导先化简后求导先化简后求导先化简后求导第23页/共41页第二十四页，共42页。例例例例15. 15. 求求求求解解解解: :第24页/共41页第二十五页，共42页。作业作业(zuy)P84 P84 2 2 (1),(3),(8),(14)(16),(17),(18), (1),(3),(8),(14)(16),(17),(18), 3 3 (3)(3) 4 4 (1),(5),(8),(13), (14),(1),(5),(8),(13), (14), 第25页/共41页第二十六页，共42页。内容内容内容内容(nirng)(nirng)小结小
19、结小结小结求导公式求导公式求导公式求导公式(gngsh)(gngsh)及求导法则及求导法则及求导法则及求导法则注意注意注意注意(zh (zh y): 1)y): 1)2 2 2 2）分段函数求导时，分界点导数用左右导数求）分段函数求导时，分界点导数用左右导数求）分段函数求导时，分界点导数用左右导数求）分段函数求导时，分界点导数用左右导数求. . . .3 3 3 3）反函数的求导法则：）反函数的求导法则：）反函数的求导法则：）反函数的求导法则：注意成立条件注意成立条件注意成立条件注意成立条件; ; ; ;4 4 4 4）复合函数的求导法则：）复合函数的求导法则：）复合函数的求导法则：）复合函数
20、的求导法则：注意函数的复合过程注意函数的复合过程注意函数的复合过程注意函数的复合过程, , , ,合合合合理分解正确使用链式法法则理分解正确使用链式法法则理分解正确使用链式法法则理分解正确使用链式法法则; ; ; ;第26页/共41页第二十七页，共42页。例例例例1313 第27页/共41页第二十八页，共42页。例例例例17171717 求函数求函数求函数求函数解解解解 的导数的导数的导数的导数(do sh).(do sh).第28页/共41页第二十九页，共42页。 例例例例2121 求函数求函数求函数求函数 解解解解 的导数的导数的导数的导数(do sh).(do sh).第29页/共41页
21、第三十页，共42页。证证（3）取得取得(qd)增量增量 u, v, 函数函数 也取得也取得(qd)增量增量 除法除法(chf)求导法则可简单地表求导法则可简单地表示为示为 当当 x 取增量取增量 x 时时, 函数函数 u (x), v (x) 分别分别第30页/共41页第三十一页，共42页。解：解：则则特别当特别当时时,例例9. 求函数求函数的导数的导数的导数的导数(do sh)(do sh)。第31页/共41页第三十二页，共42页。三、复合函数三、复合函数三、复合函数三、复合函数(hnsh)(hnsh)的求导法的求导法的求导法的求导法则则则则 定理定理3 设函数设函数(hnsh) u = g
22、 (x) 在点在点 x 处可导处可导, 函数函数(hnsh) y = f (u) 在点在点 u = g (x) 处可导处可导, 则复合函数则复合函数(hnsh) y = f (g(x)在点在点 x 处可导处可导, 且其导数为且其导数为 第32页/共41页第三十三页，共42页。设设 x 取增量取增量 x, 则则 u 取得取得(qd)相应的增量相应的增量 u, 因为因为(yn wi) u = g (x) 可导可导, 则必连续则必连续, 所以所以 x 0 时时, 当当 u = 0时时, 可以证明上述公式可以证明上述公式(gngsh)仍然仍然成立成立. 从而从而 y 取得相应的增量取得相应的增量 y
23、, 即即 u = g(x + x) g(x), y = f (u + u) f (u). u 0, 因此因此 当当 u 0时时, 有有证证第33页/共41页第三十四页，共42页。中间变量的导数乘以中间变量对自身中间变量的导数乘以中间变量对自身(zshn)变变量的导数量的导数. 设设 y = f (u), u = g (v), v = h(x)都是可导都是可导函数函数, 则复合函数则复合函数 y = f (g(h(x) 对对 x 的导数为的导数为 公式公式(gngsh)表明表明,复合函数复合函数(hnsh)的导数等于复合的导数等于复合函数函数(hnsh)对对第34页/共41页第三十五页，共42页
24、。 例例16 设设 x 0, 证明证明(zhngmng)幂函数的导数公式幂函数的导数公式 (x ) =x -1. 证证第35页/共41页第三十六页，共42页。例例例例1 1 y y = = x x 4 4 + sin + sinx x ln3, ln3, 求求求求 y y . .解解解解 y y = ( = (x x 4 4) ) + ( + (sinsinx x) ) + ( + (ln3ln3) ) = 4= 4x x 3 3 + cos + cosx x . . = = e e x x (sin(sinx x + cos+ cosx x) +) + e e x x (cos(cosx x
25、 - sin- sinx x) = 2) = 2e e x xcoscosx x. . 例例例例2 2 y y = = e e x x(sin(sinx x + cos+ cosx x), ), 求求求求 y y . . 解解解解 y y = ( = (e e x x) ) (sin(sinx x + cos+ cosx x) +) + e e x x (sin(sinx x + cos+ cosx x) ) 第36页/共41页第三十七页，共42页。例例例例3 3 第37页/共41页第三十八页，共42页。例例例例4 4 y y = 2sin= 2sinx xcoscosx x lnlnx x,
26、 , 求求求求 y y . . 第38页/共41页第三十九页，共42页。例例例例8 8 解解解解 设设设设 第39页/共41页第四十页，共42页。任取任取任取任取 x x I x , I x , 给给给给 x x 以增量以增量以增量以增量(zn lin), (zn lin), 由由由由 y = y = f (x) f (x) 的的的的因为因为因为因为(yn wi) y = f (x)(yn wi) y = f (x)连续连续连续连续, , 故故故故，从而，从而，从而，从而(cng r) (cng r) 单调性可知单调性可知单调性可知单调性可知 y y = = f f ( (x + x + x x) - ) - f f ( (x x) ) 0, 0, 于是于是于是于是证证证证又又又又第40页/共41页第四十一页，共42页。内容(nirng)总结会计学。求导法则与初等函数求导级。一、函数和、差、积、商的求导法则。类似地可求余割函数的求导公式 (cscx) = cscxcotx.。在点 x 可导,。推广：此法则可推广到多个(du )中间变量的情形.。熟练之后, 计算时可以不写出中间变量, 而直接写出结果.。1. 基本导数公式。2. 函数的和、差、积、商的求导法则。求导公式及求导法则。2）分段函数求导时，分界点导数用左右导数求.。又第四十二页，共42页。
