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1、高等数学（上）高等数学（上） 第十二讲第十二讲第一章第一章第七节第七节无穷小的比较无穷小的比较教学内容教学内容无穷小量的比较无穷小量的比较等价无穷小代换等价无穷小代换备注备注教学要求教学要求理解无穷小阶理解无穷小阶的概念、的概念、掌握掌握等价无穷小等价无穷小的特性的特性掌握利用掌握利用等价无穷小等价无穷小的特性求极限的特性求极限教学重点教学重点无穷小的阶及等价无穷小无穷小的阶及等价无穷小教学难点教学难点等价无穷小等价无穷小的应用的应用11.7无穷小的比较无穷小的比较一般一般, 无穷小量的商有下列几种情形无穷小量的商有下列几种情形.一、一、无穷小量的比较无穷小量的比较极限不同极限不同, 反映了趋
2、向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.定义定义: :例例1 1解解定理定理1意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,常用等价无穷小常用等价无穷小: :例例解解事实上事实上, 当当 y 0时时, y = elny. 从而从而,= 1例例3 3解解二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) )证证例例4 4解解若若未定式的分子或分母为未定式的分子或分母为若干个因子的乘积若干个因子的乘积，则，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小穷小代换
3、代换，而，而不会改变原式的极限不会改变原式的极限不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，切记，只可对函数的只可对函数的因子作等价无穷小代换因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .注意注意例例5 5解解例例6 6解解解解错错例例7.7. 解解: := 1三、小结三、小结1、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的无穷小的阶阶.作业作业 P63P63习题习题1-7 11-7 1，3(1)3(1)，4(1)(2)(3)4(1)(2)(3)思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时思考题思考题任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？
