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1、专题3 函数与导数第15练存在与恒成立问题题型分析高考展望“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决.此类题目主要出现在函数与导数结合的解答题中，难度高，需要有较强的分析能力和运算能力.训练时应注意破题方法的研究.常考题型精析高考题型精练题型一恒成立问题题型二存在性问题常考题型精析题型一恒成立问题例1(2014浙江)已知函数f(x)x33|xa|(a0)，若f(x)在1,1上的最小值记为g(a).(1)求g(a)；解因为a0，1x1.所以当0a1时，若x1，a，则f(x)x33x3a，f(
2、x)3x230，故f(x)在(a,1)上是增函数.所以g(a)f(a)a3.当a1时，有xa，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(1,1)上是减函数，所以，g(a)f(1)23a.(2)证明：当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.证明令h(x)f(x)g(a).当0a1时，g(a)a3.若xa,1，则h(x)x33x3aa3，h(x)3x23，所以h(x)在(a,1)上是增函数，所以，h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3，且0a0，知t(a)在(0,1)上是增函数.所以，t(a)t(1)4，即h(1)0，在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)0，从而当t(
3、0，x0时，u(t)0，所以u(t)在(0，x0上无零点.使h(x1)h(t1)u(t1)0.故g(x)(1sin x)h(x)与h(x)有相同的零点，因为x1t1，t1x0，所以x0x1.点评“存在”是特称量词，即“有的”意思，证明这类问题的思路是想法找到一个“x0”使问题成立即可，必要时需要对问题进行转化.若证“存在且唯一”则需说明除“x0”外其余不能使命题成立，或利用函数单调性证明此类问题.(2)已知函数f(x)在1,1上存在零点，0b2a1，求b的取值范围.解设s，t为方程f(x)0的解，且1t1，高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112高考
4、题型精练123456789101112(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6，a6.高考题型精练123456789101112当x2，1)时，(x)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值.高考题型精练123456789101112a2.综上知6a2.答案C高考题型精练123456789101112A高考题型精练1234567891011123.若存在正数x使2x(xa)0.高考题型精练123456789101112f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围为(1，)，故选D.答案D高考题型精练123456789101112高考题型精练12345678910111
5、2高考题型精练1234567891011125.若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，0) B.(，4C.(0，) D.4，)解析2xln xx2ax3，高考题型精练123456789101112当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，4.答案B高考题型精练1234567891011126.若x0，)，则下列不等式恒成立的是()则f(x)sin xx0(x0)，高考题型精练123456789101112答案C高考题型精练1234567891011127.已知函数f(
6、x)2ax33ax21，g(x) 若任意给定的x00,2，总存在两个不同的xi(i1,2)0,2，使得f(xi)g(x0)成立，则实数a的取值范围是()A.(，1)B.(1，)C.(，1)(1，)D.1,1高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112同时f(x)在0x1时，函数值从1增大到1a，在1x2时，函数值从1a减少到14a，所以“任意给定的x00,2，总存在两个不同的xi(i1,2)0,2，使得f(xi)g(x0)成立”高考题型精练123456789101112解得a1.答案A高考题型精练1234567891011128.(2014江苏)已知函数
7、f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.解析作出二次函数f(x)的图象，对于任意xm，m1，都有f(x)0，函数f(x)aexcos x(x0，).记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点.(1)证明：数列f(xn)是等比数列；证明f(x)aexcos xaexsin x高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112高考题型精练123456789101112(2)若对一切nN*，xn|f(xn)|恒成立，求a的取值范围
8、.解对一切nN*，xn|f(xn)|恒成立，高考题型精练123456789101112令g(t)0得t1.当0t1时，g(t)0，所以g(t)在区间(0,1)上单调递减；当t1时，g(t)0，所以g(t)在区间(1，)上单调递增.因为x1(0,1)，且当n2时，xn(1，)，xnxn1，高考题型精练123456789101112所以g(xn)minming(x1)，g(x2)高考题型精练123456789101112当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，高考题型精练123456789101112f(x)的极小值为2.高考题型精练123456789101112则(x)x21(x1)(x1)，高考题型精练123456789101112当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减.x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，x1是(x)的最大值点，高考题型精练123456789101112又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知高考题型精练123456789101112当m0时，函数g(x)有且只有一个零点.高考题型精练123456789101112等价于f(b)bf(a)a恒成立.(*)(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减.高考题型精练123456789101112
