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1、第二章 连续信号傅立叶分析2.1信号的正交分解概念概念 信号与多维矢量之间的相似关系空间感念数学定义:把具有某种特性的集合称为“空间”线性矢量空间：引入线性运算的矢量空间范数:矢量长度类似线性赋范空间内积空间信号能量与矢量长度的相似信号相关性类似于矢量之间的夹角内积空间的正交性内积空间信号的正交展开帕塞瓦尔公式揭示了信号正交分解能量不变性的物理本质, 相当于矢量范数不变性(内积不变性)的体现 一. 信号矢量空间1.线性空间其中任意两元素相加构成集合内的另一个元素,任一元素与任一数相趁乘后得到集合内的另一元素.n维实数空间连续时间信号空间L离散时间信号空间在线性空间利用线性运算研究线性相关、基、
2、维数等线性结构 n维实数空间为有限维空间，连续、离散时间信号空间为 无穷维空间 2.范数、赋范空间范数是矢量长度的度量方法，也用于表示信号能量a)的范数b) 常见的有 ， ， 。 称为欧氏距离 a)L和 范数b) 二阶范数的平方表示信号能量， 表示信号可测得的蜂值给出了范数的概念可构成线性赋范空间，如 等3.内积,内积空间范数与信号自身的能量、强度等特征相对应，而内积与信号之间的相关密切相连。 三维矢量内积运算 ，当夹角为90度时，结果为零；夹角为0时，结果最大。 L空间两信号的内积： 两矢量夹角二.信号的正交分解1、矢量正交与正交分解、矢量正交与正交分解矢量矢量Vx = ( vx1, vx2
3、, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集 例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以用一个三维正交矢量可以用一个三维正交矢量集集 vx，vy，vz分量的线性组合表示。即分量的线性组合表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，在信号空间找到若干个空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间
4、中任意信号均可表示成它们作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。的线性组合。 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，当这构成一个函数集，当这些函数在区间些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，不之外，不存在函数存在函数(t)
5、(0）满足满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。2、正交函数集、正交函数集例例3:沃尔什函数沃尔什函数(walah)是区间（是区间（0，1）的完备正交函数集）的完备正交函数集例例1：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 例例2:虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在区间是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。3、正交函数集实例、正交函数集实例 上述波形也称为“小波”。小：具有衰减性、局部非零的的函数; 波:指具有波动性,振幅呈正负之间的震荡形式 利用所给的小波能否
6、派生更多更适用的小波函数? 小波函数的重要价值在于通过平移和伸缩生成 中的一组正交基 MATLAB有各种小波基函数库,信号分解为正交函数和是信号分析的一个重要内容,傅立叶级数、傅立叶变换、离散傅立叶变换、离散余弦变换、小波变换等。4、正交分解、正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成构成一个正交函数空间。将任一函数一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交函数的线性组个正交函数的线性组合来近似，可表示为合来近似，可表示为 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在区间
7、与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差为最小。均方误差为 为使上式最小为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为，写为 所以系数所以系数 最小均方误差最小均方误差正交函数近似正交函数近似f(t)时，时，n越大，均方误差越小。当越大，均方误差越小。当n时（为完时（为完备正交函数集），均方误差为零。备正交函数集），均方误差为零。称为称为(Parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：在区间，表明：在区间(t1,t2) f(t
8、)所含所含能量恒等于能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。和。 函数函数f(t)可可分解为无穷多项正交函数之和分解为无穷多项正交函数之和三. 正交基1、正交变换、正交变换 是空间是空间H的一组向量的一组向量,它们线性无关且构成完备函数集它们线性无关且构成完备函数集,为为H 的一组正交基的一组正交基分解系数分解系数 是唯一的是唯一的 将信号经正交变换后得到一组离散系数将信号经正交变换后得到一组离散系数 ,具有减少具有减少各分量的相关性的作用各分量的相关性的作用,即将信号能量集中于少数系数上即将信号能量集中于少数系数上.相关性去处
9、的相关性去处的程度及能量集中的程度取决于选择的基函数的性质程度及能量集中的程度取决于选择的基函数的性质. 2、正交基选择、正交基选择 在一个在一个N维空间中维空间中,如同有无数组如同有无数组N个线性无关的向量一个线性无关的向量一样样,也可以找到无穷多个正交基也可以找到无穷多个正交基,如何选择一组好的正交基如何选择一组好的正交基?一般考虑如下几个因素一般考虑如下几个因素: 具有所希望的物理意义或实际含义具有所希望的物理意义或实际含义,有些物理解释虽然不有些物理解释虽然不 甚明朗甚明朗,但有较强的实际价值但有较强的实际价值 正交基应尽量简单正交基应尽量简单,尽量减少正反变换时的计算量尽量减少正反变
10、换时的计算量 为了研究局部频率或局部时间性质为了研究局部频率或局部时间性质,希望基函数有频域和希望基函数有频域和时域的定位时域的定位 功能功能,既既频域和时域最好是紧支撑的频域和时域最好是紧支撑的 具有好的去相关性和能量集中的性能具有好的去相关性和能量集中的性能正交小波正是朝这一目标努力得出的可喜成果正交小波正是朝这一目标努力得出的可喜成果.2.2信号的傅立叶分析 一一.周期信号的傅立叶级数：周期信号的傅立叶级数： 表明表明:周期信号可分解为直流和许多余弦分量。周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，其中， A0/2为为直流分量直流分量；A1cos( 0 0t+ 1)称为称为基波基波，它的角
11、频率与原周期信号相同；，它的角频率与原周期信号相同；A2cos(2 0 0t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n 0 0t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 Ann0,n n0 绘成的波形称为幅度谱和相位谱.1.三角型傅立叶级数：三角型傅立叶级数： 2.指数型傅立叶级数：指数型傅立叶级数： n提取了反映信号全貌的三个基本特征,即基波频率、各谐波的幅度和相位频谱图n频谱图与时域波形的变化规律有着密切的关系：频率的高低相应于波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映了时域波形幅值得大小；相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻 任意
12、波形的周期信号都可以用反映信号频率特性的 复函数描述3.3.傅里叶级数的性质傅里叶级数的性质性质一性质一 线性 性质二性质二 时移特性若若 若 只要T1/T2为有理数性质三性质三 尺度变换 信号在时域信号在时域尺度变换,频域中各谐波的傅立叶系数保持不变.但基波频率变为 周期为4,脉宽为2的周期信号 周期为2,脉宽为1的周期信号 性质四性质四 时域微积分性质 4.4.傅里叶级数的应用傅里叶级数的应用谐波分析谐波分析 信号重构与信号重构与GibbsGibbs效应效应 对于带突变的信号,不可能有完美的重构,当有限项叠加时,在每个突变位置上显示出过冲和下冲现象(突变约9%).没有突变的信号,不存在Gi
13、bbs 效应周期脉冲信号的频谱 5.5.周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点: :1 基本特点离散性和谐波性2 常见周期信号频谱的衰减性和无限带宽特点3 时域中的跳变会产生丰富的高频分量4 频谱包络线5 “主瓣”宽度,“旁瓣”宽度;6 谱线条数 7 脉宽一定,周期增大,零点不变,谱线变密8 周期一定,脉宽减小,谱线疏密不变,零点外扩n周期、脉宽引起频谱的变化周期、脉宽引起频谱的变化n周期信号过渡到非周期信号的频谱周期脉冲信号及其频谱及单个脉冲信号及其频谱 二二. .非周期信号的傅里叶变换分析非周期信号的傅里叶变换分析1.傅里叶变换傅里叶正变换:傅里叶逆变换:2.2.非周期信号的频谱非周期信号的
14、频谱周期信号频谱和非周期信号频谱的重要区别： 1 周期信号频谱是频率的离散函数; 而非周期信号频谱是频率的连续函数； 2 表示的是周期信号各频率分量实际幅度;3 而 表示的是非周期信号各频率分量的相对4 幅度大小关系。 单边指数衰减信号幅频特性及相频特性 双边指数衰减奇信号的幅频特性和相频特性 双边指数衰减奇信号及其频谱 及其频谱 3.3.傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质性质一性质一 线性 性质二性质二 对称性 性质三性质三 尺度变换 性质四性质四 时移特性性质五性质五 频移特性 时频压扩现象 性质八性质八 时域卷积特性：性质七性质七 时域积分特性性质六性质六 时域微分特性 性质九性质九 频域
15、卷积定理性质十性质十 帕斯瓦尔定理 性质十一性质十一 频域微分特性 性质十二性质十二 频域积分特性 F 变换对变换对常用函数常用函数 F 变换对：变换对：(t)(t) e - - t (t) g(t) sgn (t) e |t| 1 12()求解下列信号的傅里叶变换。(1) 直流信号 (2) 采样函数 (3) 虚奇函数 解 (1) (2) 令: (3) (2) 4 4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系周期脉冲信号的傅立叶变换 5.5.信号的频谱分析信号的频谱分析调制谱分析：解调谱分析：6.6.滤波器的频率特性滤波器的频率特性理想滤波器特性及其不可实现性
