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1、1-5 函数的正交展开和傅里叶级数一、矢量空间与函数空间（一）矢量空间1.三维矢量正交单位矢量：2.N维为n维空间正交的单位矢量（正交坐标系）n维空间n个单位正交构成的正交坐标系展开系数 的求法：两边同乘即：非单位矢量（二）函数（信号）空间1、设有无穷个正交函数 构成函数空间正交函数展开系数 的求法： 两边同乘 积分若 ，称正交归一化空间和正交归一化坐标系。2、若正交函数为复函数正交性（三）常用正交函数坐标系三角函数空间walsh函数空间sinc函数空间贝赛尔函数空间二、傅里叶级数（一）周期函数（二）三角级数1.定义：若 ，为正弦级数；若 ，为余弦级数。（只有周期函数能用三角级数展开）2.性质
2、（1）周期性2T（2）三角函数正交性（三）傅里叶级数1、f(x)是周期为2T的函数（1） 的计算：2、系数 为各成分占得比重、计算（2） 的计算：利用正交函数的性质（四）函数的周期性和奇偶性在定积分中的应用1.周期函数的积分性质设周期函数f(x)的周期为2T，则在长为2T的任意区间上的定积分都相等。2Tf(x)x(1)图形分析(2)证明令令2. 函数的奇偶性（1）奇 偶（2）若周期函数为奇函数，其傅氏展开只包含正弦项若周期函数为偶函数，其傅氏展开只包含余弦项若非奇非偶，3.奇偶函数的对称积分(积分限相对于原点是对称的)（1）奇函数的对称积分为零。（a不一定是周期）（2）偶函数的对称积分等于正限
3、积分的二倍（3）n个奇函数的代数和仍为奇函数（4）n个偶函数的代数和仍为偶函数（5）1个奇函数与一个偶函数相乘（或相除），结果为奇函数（6）两个奇函数相乘（或相除），结果为偶函数（7）n个偶函数相乘（或相除），结果为偶函数（8）m个奇函数n个偶函数相乘（或相除），结果为取决于m是奇数还是偶数（9）奇函数和偶函数相加（减），结果为非奇非偶。（五）傅里叶级数的另一种表示abab（表示某种振动或某种谐波分量）：初位相：振幅（六）傅里叶级数的复数表示欧拉公式：令的求法：（七）举例（傅氏展开先判断奇偶性）1.周期为2T，f(x)=x,-TxT傅氏级数xy奇函数，只用正弦项展开xy2K是常数；（周期2T=
4、4，T=2）k0421086-2xyk0421086-2xy3.周期为dy20-d/4d/2x-d/2d/4偶函数y20-d/4d/2x-d/2d/44.求如图所示一维正弦位相光栅透过率函数的傅里叶级数展开式表面表面（n阶第一类贝赛尔函数）n阶第一类贝赛尔函数的积分公式正弦光栅透过率函数也可表示为令0阶第一类贝赛尔函数积分表达式。（八）频谱的概念（频率）为谐频（此为空间频谱，xt为时间频率）的曲线叫振幅频谱图。位相频谱图。特点：离散的，具有谐波性、收敛性(n)012345(n)-11-220-4 -334振幅频谱(n)-11-220-4 -334位相频谱特点：频率范围从 出现负频概念；各谐波的分量减小一半；各谐波位相值不变，但正负频的位相方向相反；二者差异只是形式上的。正负频的解释：平面偏振，可分为左右弦振动（圆偏振）， 左弦为正频，右弦为负频。xy正频正频负频负频例：周期矩形脉冲f(t)A0t-TT2T当n=0时，作图：设振幅频谱 (n)0n15105复振幅频谱图： 图出现负频，振幅减小一半，并表示位相。（、）（、）n0510-5
