教学课件第二章随机误差

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1、第二章 随机误差教学目的和要求教学目的和要求 通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误差差 , ,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机

2、误差的特征；掌握随机误差特征；掌握随机误差 特征值的确定方法；了解随机特征值的确定方法；了解随机误差的分布；正确求解极限误差。误差的分布；正确求解极限误差。 重点和难点重点和难点3- 3 主要内容主要内容 随随机机误误差差系系指指测测量量结结果果与与在在重重复复条条件件下下，对对同同一一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。随随机机误误差差等等于于误误差差减减去去系系统统误误差差。因因为为测测量量只只能能进进行行有有限限次次数数，故故可可能能确确定定的的只只是是随随机机误误差差的的估估计值。计值。第一节随机误差概述第一节随机误差概述 随机误差是

3、由人们不能掌握，不能控制，不能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化，而这些微小变化又给测量带来误差。 第一节随机误差概述第一节随机误差概述例例 题题举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允许范围为（202）。为此，测量在恒温室内进行，恒温室温度控制能力达到（200.5），满足测量要求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化中，围绕平均温度20有微小的波动，温度时高时低，变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响又不一致，有快慢之别，大小之分。这种

4、影响又无法确定，因此造成随机误差。 随机误差性质上属随机变量，其处理方法的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差（标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。服从正态分布随机误差的特征服从正态分布随机误差的特征3- 10第二节 随机误差的分布 一、正态分布随机误差概率分布密度函数表达式为： 图24数学期望 E（）0方 差 D（）2标准偏差 均匀分布又称等概率分布，其概率密度函数为： 当|a当|a它的数学期望为： E（） 0 它的方差为： 它的标准偏差为： 二、均匀分布三、三角分布三、三角分布 三角分布的概率密度函数为： 3- 13 数学期望： E（） 0 它

5、的方差为： 它的标准偏差为： 四、反正弦分布四、反正弦分布 它的概率密度为： 数学期望： E（） 0 方差为：标准偏差为： 3- 14 五、五、2分布分布 设设随随机机变变量量X1，X2，X相相互互独独立立，且且都都服服从从标准正态分布标准正态分布N（0，1），），则随机变量则随机变量 的概率密度为的概率密度为3- 15 特征量为： 六、六、t分布分布 设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N（0，1），Y服从自由度为的2分布，则随机变量的概率密度 t分布的主要分布特征量为： 3- 16 （232） （233） 七、七、F分布分布 设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为与的2分布，则

6、随机变量的概率密度为 3- 17第三节 算术平均值原理在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值作为测量结果的最佳估计。一、算术平均值一、算术平均值算术平均值原理算术平均值原理 若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为1趋近于真值因为根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有 最佳估计的意义最佳估计的意义 若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳的估计量 ，即满足无偏性、有效性、一致性满足最小二乘原理在正态分布条件下，满足最大似然原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小该测量事件发生的概率最

7、大 二、残余误差3- 21 由算术平均值原理可知，算术平均值是真值的最佳估计值，用算术平均值代替真值计算得到的误差称为残余误差。 在规定测量条件下，同一被测量的测量列x1，x2，xn有算术平均值： 则称为残余误差。残余误差可求，又称实用误差公式。残余误差具有两个重要特性。 （一）残余误差具有低偿性残余误差代数和等于零 （二）残余误差平方和为最小 二、残余误差二、残余误差一、单次测量的标准偏差一、单次测量的标准偏差定理：同一被测量，在相同条件下，测量列xi（x1，2，n）中单次测量的标准偏差（也称单次测量的标准不确定度）是表征同一被测量值n次测量所得结果的分散性参数，并按下式计算： 式中：n测量

8、次数（充分大）； i测量结果xi的随机误差。第四节第四节 测量的标准偏差测量的标准偏差 例题3- 24单次测量的标准偏差单次测量的标准偏差3- 250.2m 二、标准偏差的基本估计二、标准偏差的基本估计贝塞尔公式贝塞尔公式 定理：对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量得测量列xi （i1，2，n），则单次测量标准偏差的估计值为：3- 26实验标准偏差实验标准偏差s的标准差的标准差 设在同一条件下，对被测量进行n1次等精度测量，得测量列xi（i1，2，n）。用贝塞尔公式即可求得单次测量标准偏差要s1。仍在该条件下，再进行n2次测量，同样又可得到单次测量标准偏差s2。我们发现，无论两次的测

9、量次数n1和n2是否相等，而s1和s2不一定相等，这说明由贝塞尔公式计算所得的测量标准偏差，也存在误差。 标准偏差s的标准偏差ss由下式确定，即3- 27三、算术平均值标准偏差三、算术平均值标准偏差 如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散，此分散说明了算术平均值的不可靠性，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。 3- 28 最佳测量次数确定最佳测量次数确定当n10以后， 已减少得非常缓慢。由于测量

10、次数愈大，也愈难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取n10以内较为适宜。总之，要提高测量精度，应采用适当精度的仪器，选取适当的测量次数。 3- 29例例 题题已知测量的单次测量标准偏差s0.12（略去单位）。问在不改变测量条件的情况下，使被测量估计值的标准偏差达到0.04，需测量多少次？解：以算术平均值作为被测量的估计值，适当增加测量次数，以满足测量精密度的需要。可得：即测量次数：（次）即对被测量进行9次以上重复测量，它们的算术平均值的精密度便可达到要求。 3- 30四、标准差的其他估计方法四、标准差的其他估计方法3- 311、极差法极差法若等精度多次测量测得值x1，x2，x

11、n服从正态分布，在其中选取最大值xmax与最小值xmin，则两者之差称为极差nxmaxxmin根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为： 标准差的其他估计方法标准差的其他估计方法3- 32故可得s的无偏差估计值，若仍以s表示，则有 特点：极差法可简单迅速算出标准差，并具有一定精度，一般在n10时均可采用。因 2、最大误差法测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式 估算时的相对误差 在已知被测量的真值的情形，多次独立测得的数据 的真误差，其中的绝对值最大在只进行一次性实验中，是唯一可用的方法标准差的其他估计方法3、最大残差法、最大残差法 在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差 最大残余误差 估计标准差 最大残差法不适用于n=1的情形 标准差的其他估计方法第五节第五节 极限误差极限误差极限误差是指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的置信概率为p，并使差值1pa可以忽略。此极端误差称为测量的极限误差，并以表示。极限误差的值可依据测量标准差、误差分布及要求的置信概率确定： 或 K称为置信因子，是误差分布、自由度和置信概率的函数，通常有表可查。 3- 35