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1、第六节直线与圆锥曲线的位置关系考点梳理考点梳理考纲速览考纲速览命题解密命题解密热点预测热点预测1.直直线与与圆锥曲曲线的的位位置置关关系系.2.轨迹迹与与轨迹迹方程方程.3.定定值与与最最值问题.4.存在性存在性问题.1.能能解解决决直直线与与椭圆、抛抛物物线的的位位置置关关系系等等问题.2.了了解解方方程程的的曲曲线与与曲曲线的方程的的方程的对应关系关系.3.理理解解基基本本几几何何量量，如如斜斜率率、距距离离、面面积等等概概念念，掌掌握握与与圆锥曲曲线有有关的定关的定值、最、最值问题.4.能能够合合理理转化化，掌掌握握与与圆锥曲曲线有有关关的的存存在在性性问题.高高考考对本本节内内容容的的
2、考考查主主要要是是直直线与与圆锥曲曲线的的位位置置关关系系及及有有关关弦弦长的的综合性合性问题.以以直直线与与圆锥曲曲线的的位位置置关关系系为主主线，针对定定点点与与定定值，参参变量量的的取取值范范围和和最最值等等问题实施施考考查，同同时，常常伴伴随随探探究究性性与与存存在在性性问题.本本部部分分为高高考考必必考考内内容容，注注重重对直直线与与圆锥曲曲线的的位位置置关关系系及及有有关关弦弦长的的结合合问题、轨迹迹方方程程、定定点点、最最值等等问题的的考考查，着着重重考考查分分析析问题、解解决决问题的的能能力力.考考查方方程程思思想想、数数形形结合合思思想想、分分类讨论、转化化与与化化归思思想想
3、的的应用用，对抽抽象象概概括括能能力力、推推理理论证能能力力和和运运算算求求解解能力都有很高的要求能力都有很高的要求.知识点一知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系1.直直线与与圆锥曲曲线的位置关系的位置关系判判定定直直线与与圆锥曲曲线的的位位置置关关系系时，通通常常是是将将直直线方方程程与与曲曲线方程方程联立，消去立，消去变量量y(或或x)得得变量量x(或或y)的方程：的方程：ax2bxc0(或或ay2byc0).(1)若若a0，可考，可考虑一元二次方程的判一元二次方程的判别式式，有：，有：0直直线与与圆锥曲曲线 ；0直直线与与圆锥曲曲线 ；0直直线与与圆锥曲曲线 .(2
4、)若若a0，则直直线与与圆锥曲曲线相交，且有一个交点相交，且有一个交点.相交相交相切相切相离相离2.圆锥曲曲线的弦的弦长问题设直直线l与与圆锥曲曲线C相相交交于于A、B两两点点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦弦长|AB|_或或_.知识点二知识点二 曲线与方程曲线与方程1.曲曲线与方程与方程一一般般地地，在在直直角角坐坐标系系中中，如如果果某某曲曲线C(看看作作点点的的集集合合或或适适合合某某种种条条件件的的点点的的轨迹迹)上上的的点点与与一一个个二二元元方方程程f(x，y)0的的实数数解解建建立了如下的关系：立了如下的关系：(1)曲曲线上点的坐上点的坐标都是都是这个方程的解；个方程的
5、解；(2)以以这个方程的解个方程的解为坐坐标的点都是曲的点都是曲线上的点上的点.那么，那么，这个方程叫做曲个方程叫做曲线的方程；的方程；这条曲条曲线叫做方程的曲叫做方程的曲线.求求动点的点的轨迹方程一般步迹方程一般步骤“建、建、设、列、代、列、代、证”(1)建系建系建立适当的坐建立适当的坐标系系.(2)设点点设轨迹上的任一点迹上的任一点P(x，y).(3)列式列式列出列出动点点P所所满足的关系式足的关系式.(4)代代入入依依条条件件的的特特点点，选用用距距离离公公式式、斜斜率率公公式式等等将将其其转化化为x，y的方程式，并化的方程式，并化简.(5)证明明证明所求方程即明所求方程即为符合条件的符
6、合条件的动点的点的轨迹方程迹方程.2.圆锥曲曲线的的综合合问题(1)最最值问题：可：可结合数形合数形结合或合或转化化为函数最函数最值或或线性性规则问题.(2)定定值问题：先先求求出出表表达达式式，再再化化简，据据已已知知条条件件列列出出方方程程(或或不等式不等式)，消参，消参.(3)对参参数数的的取取值范范围问题：据据已已知知条条件件建建立立等等式式或或不不等等式式或或函函数数关系，求参数的范关系，求参数的范围.(4)对称称问题：若若A，B两两点点关关于于直直线对称称，则直直线AB与与对称称轴垂垂直直，且且线段段AB的的中中点点在在对称称轴上上，即即对称称轴是是线段段AB的的垂垂直直平平分分线
7、.解解决决对称称问题应注注意意条条件件的的充充分分利利用用，尤尤其其是是各各量量之之间的的关系关系.(5)存存在在性性问题：一一般般采采用用“假假设反反证法法”或或“假假设验证法法”来来解解决决.另另外外，也也可可先先用用特特殊殊情情况况或或特特殊殊位位置置得得到到所所求求的的值，再再给出出一一般般性的性的证明，即由特殊到一般的方法明，即由特殊到一般的方法.【名师助学名师助学】3. .中中点点弦弦问问题题，可可以以利利用用“点点差差法法”，在在求求解解圆圆锥锥曲曲线线并并且且题题目目中中交交代代直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线相相交交和和被被截截的的线线段段的的中中点点坐坐标标时时，设设出出直直线
8、线和和圆圆锥锥曲曲线线的的两两个个交交点点坐坐标标，代代入入圆圆锥锥曲曲线线的的方方程程并并作作差差，从从而而求求出出直直线线的的斜斜率率，然然后后利利用用中中点点求求出出直直线线方方程程.“点点差差法法”的的常常见见题题型型有有：求求中中点点弦弦方方程程、求求(过过定定点点、平平行行弦弦)弦弦中中点点轨轨迹迹、垂垂直直平平分分线线问问题题.必必须须提提醒醒的的是是“点点差差法法”具具有有不不等等价价性性，即要考虑判别式即要考虑判别式是否为正数是否为正数.4. .处理好圆锥曲线综合问题处理好圆锥曲线综合问题(1)要要理理解解和和掌掌握握圆圆锥锥曲曲线线的的有有关关概概念念、公公式式，达达到到灵
9、灵活活运运用用；(2)要要善善于于用用代代数数的的知知识识和和方方法法；(3)要要重重视视函函数数与与方方程程思思想想的的应应用用；(4)要要重重视视对对数数学学思思想想、方方法法的的归归纳纳提提炼炼，达达到到优优化化解解题题思思路、简化解题过程的效果路、简化解题过程的效果.方法方法1 最值与范围问题最值与范围问题求范求范围的方法同求最的方法同求最值及函数的及函数的值域的方法域的方法类似似.求最求最值常常见的的解法有两种：代数法和几何法解法有两种：代数法和几何法.若若题目的条件和目的条件和结论能明能明显体体现几何特征及意几何特征及意义，则考考虑利用利用图形性形性质来解决，若来解决，若题目的条件
10、和目的条件和结论能体能体现一种明确的函数关系，一种明确的函数关系，则可首先建立起目可首先建立起目标函数，再函数，再求求这个函数的最个函数的最值.圆锥曲曲线中的最中的最值问题大致可分大致可分为两两类：一：一是涉及距离、面是涉及距离、面积的最的最值以及与之相关的一些以及与之相关的一些问题；二是求直；二是求直线或或圆锥曲曲线中几何元素的最中几何元素的最值以及以及这些元素存在最些元素存在最值时确定与之确定与之有关的一些有关的一些问题.点点评评本本题题考考查查椭椭圆圆的的几几何何性性质质，直直线线与与椭椭圆圆的的位位置置关关系系，解解决决本本题题的的关关键键是是利利用用弦弦长长公公式式表表示示出出|AB
11、|，再再利利用用基基本本不不等等式式求求解最值解最值.方法方法2 定点与定值问题定点与定值问题(1)解解决决定定点点问题的的关关键就就是是建建立立直直线系系或或者者曲曲线系系方方程程，要要注注意意选用用合合适适的的参参数数表表达达直直线系系或或者者曲曲线系系方方程程，如如果果是是双双参参数数，要注意要注意这两个参数之两个参数之间的相互关系的相互关系.(2)解解决决圆锥曲曲线中中的的定定值问题的的基基本本思思路路很很明明确确，即即定定值问题必必然然是是在在变化化中中所所表表现出出来来的的不不变的的量量，那那么么就就可可以以用用变化化的的量量表表示示问题中中的的直直线方方程程、数数量量积、比比例例
12、关关系系等等，其其不不受受变化化的的量量所所影影响响的的一一个个值，就就是是要要求求的的定定值.解解决决这类问题的的关关键就就是是引引进参参数数表表示示直直线方方程程、数数量量积、比比例例关关系系等等，根根据据等等式式的的恒恒成成立立、数式数式变换等等寻找不受参数影响的量找不受参数影响的量.点点评评圆圆锥锥曲曲线线中中的的定定值值与与定定点点问问题题是是高高考考的的常常考考题题型型，运运算算量量较较大大，解解题题思思维维性性较较强强.解解决决这这类类问问题题一一般般有有两两种种方方法法：一一是是根根据据题题意意求求出出相相关关的的表表达达式式，再再根根据据已已知知条条件件列列出出方方程程组组(
13、或或不不等等式式)，消消去去参参数数，求求出出定定值值或或定定点点坐坐标标；二二是是先先利利用用特特殊殊情情况况确确定定定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证值或定点坐标，再从一般情况进行验证. .方法方法3 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线中的探索性问题探探究究性性问题是是指指结论或或条条件件不不完完备的的试题，这类试题不不给出出确确定定的的结论，让考考生生根根据据题目目的的条条件件进行行分分析析判判断断，从从而而得得出出确确定定的的结论，对分分析析问题、解解决决问题的的能能力力有有较高高的的要要求求，是是高高考考压轴的的热点点题型型.解解决决方方案案：圆锥曲曲线中中，这类问题的的解解题思思想
14、想是是假假设其其结论成成立立、存存在在，在在这个个假假设下下进行行推推理理论证，如如果果得得到到了了一一个个合合情情合合理理的的推推理理结果果，就就肯肯定定假假设，对问题作作出出正正面面回回答答；如如果果得得到到一一个个矛矛盾的盾的结果，就否定假果，就否定假设，对问题作出反面回答作出反面回答.点评点评 1.探索性问题答题模板：探索性问题答题模板：第一步：假设结论存在第一步：假设结论存在.第二步：结合已知条件进行推理求解第二步：结合已知条件进行推理求解.第第三三步步：若若能能推推出出合合理理结结果果，经经验验证证成成立立即即可可肯肯定定正正确确；若若推推出矛盾出矛盾，即否定假设即否定假设.第四步：反思回顾第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范查看关键点、易错点及解题规范.2. .本题是圆锥曲线中的探索性问题本题是圆锥曲线中的探索性问题，也是最值问题也是最值问题，求圆锥曲求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重点线的最值问题是高考考查的一个重点，通常是先建立一个目标通常是先建立一个目标函数函数，然后利用函数的单调性或基本不等式求最值，然后利用函数的单调性或基本不等式求最值.
