《离散时间信号处理：第5章 离散傅立叶变换与快速算法3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《离散时间信号处理：第5章 离散傅立叶变换与快速算法3（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1DFT的应用nDFT是一种算法，可以用硬件实现，也可以用软件实现n主要有两方面用途：n一、LTI系统实现n二、信号的频谱分析2一、利用DFT实现LTI系统(FIR)n出发点：n线性时不变系统可以用线性卷积和来实现和描述；n圆周卷积和在满足一定约束的条件下可以得到线性卷积；n圆周卷积和可以利用DFT来完成h(n)3n在许多应用场合（如语音滤波）输入信号时无限长的。n尽管目前可以存储几乎所有的输入信号，但是这样的一种DFT是不现实的；n输入和输出之间的长度严重不对称，需要对FIR滤波器的单位冲激进行大量补零，浪费大量运算量；n采集完所有输入样本后才能计算滤波输出，导致有很大的处理延迟，损失实时性
2、；存在的问题4n采用块卷积n将输入信号分割成多段，n对每段信号利用DFT进行处理，n适当处理后进行衔接n块卷积的方法主要有两种n重叠相加法n重叠保留法解决方法5n设h(n)的点数为M，x(n)为很长的序列。n将x(n)分解为很多段，每段为L点，nL选择成和M的数量值级相同n用xi(n)表示第i段：1）重叠相加法（）重叠相加法（Overlap)6n由于xi(n)为L点，而yi(n)为（L+M-1）点（设N=L+M-1），n相邻两段输出序列yi (n), yi+1 (n)必然有（M-1）个点发生重叠n前一段的后（M-1）个点的后一段的前（M-1）个点重叠输出重叠问题7892）重叠保留法）重叠保留法
3、( Oversave)n与重叠相加法相同，先将x(n)分段，每段L个点n不同之处是输入序列xi(n)中不再补零，而是在每一段的前边补上前一段保留下来的（M-1）个输入序列值，组成L+M-1点序列。n每段圆周卷积结果的前（圆周卷积结果的前（M-1）个点的值）个点的值n不满足因果系统的要求，不满足因果系统的要求，n不等于线性卷积不等于线性卷积值101112二、利用二、利用DFT的信号分析的信号分析nDFT的主要应用之一是的主要应用之一是分析分析连续信号的连续信号的频谱频谱n如语音信号频率分析用于音腔辨识与建模如语音信号频率分析用于音腔辨识与建模n由于实际的信号总不是严格带限的，并且自然界中总存在着
4、由于实际的信号总不是严格带限的，并且自然界中总存在着噪声噪声(其频谱是宽带的其频谱是宽带的)，在，在采样之前需要加入抗混叠滤波器采样之前需要加入抗混叠滤波器，使混叠减小到最低程度。使混叠减小到最低程度。 1314 离散信号的离散频率值：离散信号的离散频率值： 由由于于采采样样的的缘缘故故，所所得得到到的的离离散散频频率率 与与信信号号的的原原始频率始频率 之间的关系为：之间的关系为： 所以对应于信号的连续域所以对应于信号的连续域频率频率为：为： 栅栏效应1516谱采样的影响谱采样的影响n利用利用DFT来计算频谱，实际是在来计算频谱，实际是在DTFT的数的数字连续谱线上进行采样，字连续谱线上进行
5、采样，n这种采样好比是我们通过一个这种采样好比是我们通过一个“栅栏栅栏”观看景象观看景象一样，只能在离散点上看到真实的景象，称之为一样，只能在离散点上看到真实的景象，称之为“栅栏效应栅栏效应”。n虽然可以通过虽然可以通过补零补零的方法减小这种效应，但的方法减小这种效应，但这种固有的频谱采样仍然可能给出信号（连这种固有的频谱采样仍然可能给出信号（连续未加窗）真实谱的续未加窗）真实谱的错误导向错误导向或不准确的频或不准确的频谱图。谱图。n对应于上面图（对应于上面图（c）的情况，我们进行的情况，我们进行64点的点的DFT，其其DTFT频谱和采样谱线图如下所示：频谱和采样谱线图如下所示：17幅度畸变及
6、衍生频率18纯净的假象19逼近真实n用用序列补零序列补零将频谱采样点增加为将频谱采样点增加为12820n满足频率分辨率要求的满足频率分辨率要求的N点点DFT能够给出误导能够给出误导性的频谱抽样图。性的频谱抽样图。n人们常常使用补零的方法，这样可以对频谱充分地人们常常使用补零的方法，这样可以对频谱充分地过采样过采样，将一些，将一些重要的特性表现重要的特性表现出来。出来。n可以看出，补零后的可以看出，补零后的DFT得到了较密的谱线图，得到了较密的谱线图，更清楚的反应真实情况。但我们必须清醒地认更清楚的反应真实情况。但我们必须清醒地认识到：识到：n补零并不能提高分辨率，补零并不能提高分辨率，n分辨率
7、在序列进行加窗处理时分辨率在序列进行加窗处理时已经决定了，分辨率已经决定了，分辨率仅取决于截取信号时真正窗的长度和形状仅取决于截取信号时真正窗的长度和形状。212223n 时域上的截断（相乘），在频域上表现时域上的截断（相乘），在频域上表现为周期卷积，这将会对信号的频谱起平为周期卷积，这将会对信号的频谱起平滑和能量的分散，即滑和能量的分散，即频谱泄漏频谱泄漏。加窗对频谱的影响-谱泄露2425n正弦信号的离散时间傅里叶变换是在频域上对正弦信号的离散时间傅里叶变换是在频域上对称的冲激函数对。称的冲激函数对。n利用利用DFT分析正弦信号时，加窗使得冲激函数平滑分析正弦信号时，加窗使得冲激函数平滑或展
8、宽，因此或展宽，因此很难精确确定频率很难精确确定频率。n加窗加窗降低降低了频率上了频率上靠近靠近的正弦的正弦信号的分辨能力信号的分辨能力。n现在来观察由两个正弦分量组成的连续时间信现在来观察由两个正弦分量组成的连续时间信号在加窗之下的号在加窗之下的DTFT频谱。令信号为：频谱。令信号为：n n 其傅立叶变换有两个频率，四个对称频点其傅立叶变换有两个频率，四个对称频点:正弦信号加窗（分辨率降低、谱泄漏）正弦信号加窗（分辨率降低、谱泄漏）26 其不失真采样之后的离散序列为：其不失真采样之后的离散序列为： 其其DTFTDTFT为：为：OA1A0 幅度谱如下图所示：幅度谱如下图所示：27nDTFT没有
9、对幅度谱的形状产生畸变。没有对幅度谱的形状产生畸变。n然而加窗后序列然而加窗后序列DTFT为：为：OA1A02864点的矩形窗的幅度谱函数点的矩形窗的幅度谱函数2930n频率的分辨能力取决于（有效）时间窗的主瓣宽度，频率的分辨能力取决于（有效）时间窗的主瓣宽度，在模拟频域上取决于在模拟频域上取决于 ，在离散频域上取决于，在离散频域上取决于 考虑采样间隔考虑采样间隔T，两者将是等效的。，两者将是等效的。n频率分辨率（频率分辨率（HZ）定义为：）定义为：nDFT所计算频点间隔（频率步进）所计算频点间隔（频率步进） ：n数字频率步进率和频率分辨率虽然形式上相同，但其数字频率步进率和频率分辨率虽然形式
10、上相同，但其存在根本区别，之间没有必然联系。存在根本区别，之间没有必然联系。n当时间窗的长度固定时，采取加密采样点数当时间窗的长度固定时，采取加密采样点数N，减小采样周期，减小采样周期T是是不能不能提高模拟频率分辨率，也不能提高模拟频率分辨率，也不能提高提高数字频率步进率数字频率步进率n通过补零通过补零的方法，可以的方法，可以提高提高数字频率的分辨率，减小栅栏效数字频率的分辨率，减小栅栏效应。但应。但同样不能同样不能提高模拟频率分辨率。提高模拟频率分辨率。频率分辨能力31时间窗对频谱分析的影响n分辨率降低和频谱泄漏是信号加窗的两种影响。分辨率降低和频谱泄漏是信号加窗的两种影响。n分辨率分辨率主
11、要受窗函数主要受窗函数主瓣宽度主瓣宽度的影响；的影响；n频谱的频谱的泄漏泄漏主要指副瓣能量泄漏，一般不指主瓣能主要指副瓣能量泄漏，一般不指主瓣能量的泄漏，主要取决于窗函数的主瓣和副瓣幅值量的泄漏，主要取决于窗函数的主瓣和副瓣幅值相相对比例对比例。n进行频谱分析时，往往希望有高进行频谱分析时，往往希望有高分辨率和小的分辨率和小的频谱泄漏频谱泄漏，也就是希望有小的主瓣宽度和相对，也就是希望有小的主瓣宽度和相对小旁瓣幅度。小旁瓣幅度。n在具体选择窗函数时，要在两者之间进行在具体选择窗函数时，要在两者之间进行折衷折衷。n矩形窗函数在给定长度时具有最小的主瓣宽度，但矩形窗函数在给定长度时具有最小的主瓣宽
12、度，但是却有最大的相对旁瓣幅度。是却有最大的相对旁瓣幅度。 32 KaiserKaiser和和SchaferSchafer证证明明，相相对对旁旁瓣瓣幅幅度度基基本本上上与与窗窗的的长长度度无无关关，只只取取决决于于窗窗的的形形状状，即即取取决决于于 ，它它们们之之间间的的近似表达式为：近似表达式为： 主主瓣瓣宽宽度度主主要要取取决决于于窗窗的的长长度度。主主瓣瓣宽宽度度、相相对对旁旁瓣瓣幅度和窗长度之间的折衷关系的近似表达式为：幅度和窗长度之间的折衷关系的近似表达式为： 33信号分析与滤波器设计的区别34n信号的分析，并不是在信号的分析，并不是在NT=L为固定值的情况为固定值的情况下，下，N、
13、T就可以任意取值。就可以任意取值。n如果如果N太小，太小，T太大，则无法完成信号的谱分析；太大，则无法完成信号的谱分析；n若若N太大，太大，T太小，加大了运算量而且没必要。太小，加大了运算量而且没必要。n那么什么样的那么什么样的N、T选择选择比较合适呢？比较合适呢？nT的选取的选取要满足要满足无失真采样无失真采样的条件：的条件：n当信号是带限未知时，当信号是带限未知时，T越小越好越小越好 ；在信号带限已；在信号带限已知时，知时， 。n在此基础上再确定在此基础上再确定N，当然要留有一定的余度。，当然要留有一定的余度。DFT分析参数的选取35n考虑一个带限连续信号考虑一个带限连续信号 ，且当，且当
14、 时，时， 。我们要利用上。我们要利用上图中的系统来估计连续时间谱图中的系统来估计连续时间谱 。n为了在尽可能少的基二为了在尽可能少的基二FFT计算量的条件计算量的条件下使模拟频率的分辨率不大于下使模拟频率的分辨率不大于10Hz，则则所需要截断多长的信号段？采样周期所需要截断多长的信号段？采样周期T为为何值？样本数何值？样本数N的最小值应为多少的最小值应为多少?Ex36n解：由于要求解：由于要求模拟频率的分辨率模拟频率的分辨率不大于不大于10Hz，所以：所以：n截取的信号段截取的信号段长度长度至少为：至少为：0.1秒。为了采样秒。为了采样不使信号不使信号失真失真，则由采样定理可知：，则由采样定
15、理可知：n从而从而采样周期采样周期 ，在，在0.1秒内只能采秒内只能采到到500个点。所以个点。所以样本数样本数的最小值为：的最小值为：500。n为了利用为了利用FFT，采样点数应为，采样点数应为512n可以多采可以多采12个数据，也可以采用补零的方法个数据，也可以采用补零的方法37一、一、DFT对对CTFT的逼近的逼近n连续时间非周期信号傅里叶变换为：连续时间非周期信号傅里叶变换为：n n用用DFT 方法对该变换逼近：方法对该变换逼近：38n1、将、将 在在t轴轴上等间隔上等间隔（宽度为（宽度为T）分段，分段，每一段用一个矩形脉冲代替，脉冲的幅每一段用一个矩形脉冲代替，脉冲的幅度为其起始点的
16、抽样值。度为其起始点的抽样值。n则则CTFT可以近似为：可以近似为：时域离散化周期延拓39n2、将序列、将序列 x(n)=xc(nT) 截断截断成从成从t=0开始长度为开始长度为T0=NT的有限长序列，包含的有限长序列，包含有有N个采样个采样，即时域加矩形窗，则上式又，即时域加矩形窗，则上式又可以进一步近似为：可以进一步近似为：时域截断频谱展宽403、由由于于数数值值计计算算的的限限制制，在在频频域域上上也也只只能能计计算算离离散散点点（频频域域抽抽样样）上上的的数数值值。我我们们将将频频域域的的一一个个周周期期 中中也也分分成成N段段，即即 。每每个个频频域域采采样样点点间间的的间间隔隔为为
17、 。则上式可以进一步化简为：。则上式可以进一步化简为：频域离散化栅栏效应41n连续时间周期信号的傅里叶级数对为：连续时间周期信号的傅里叶级数对为：n n要将连续周期信号的傅立叶级数与要将连续周期信号的傅立叶级数与DFS联系起来，就需要对时域抽样：联系起来，就需要对时域抽样：二、对二、对CTFS的的逼近逼近42n取一个周期内的取一个周期内的N个点，即个点，即 ，则傅，则傅立叶级数近似为：立叶级数近似为：n从而可以得到反变换的近似公式：从而可以得到反变换的近似公式：n由于由于DFS的频率是周期重复的，其主值区间的频率是周期重复的，其主值区间内的频率已经足以描述整个频域内的特性，内的频率已经足以描述整个频域内的特性，所以可以所以可以用用DFT来代替来代替上面的上面的DFS运算。运算。作业n10.1n10.4n10.5n10.9
