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1、第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念2 矩阵的运算矩阵的运算3 逆矩阵逆矩阵4 分块矩阵分块矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换6 矩阵的秩矩阵的秩第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念一、矩阵的定义一、矩阵的定义定义定义: : 由由mn个数个数aij (i = 1,2, , m ; j = 1,2, , n) 排排成的成的m行行n列的数表列的数表称为称为m行行n列矩阵列矩阵,简称简称mn矩阵矩阵. 为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作黑体字母表示它，记作简记为简记为: A = Am n = ( aij
2、)m n = ( aij ). 这这m n个数称为矩阵个数称为矩阵A的的元素元素, 数数aij称为矩阵称为矩阵A的的第第i行行第第 j列列元素元素.第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵, 元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复复矩阵矩阵. 本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。 例如例如:是一个是一个2 4实矩阵实矩阵;是一个是一个3 3复矩阵复矩阵;是一个是一个1 4(实实)矩阵矩阵;是一个是一个3 1(实实)矩阵矩阵;是一个是一个1 1(实实)矩阵矩阵.第二章第二章 矩阵矩阵1 矩
3、阵的概念矩阵的概念二、几种特殊矩阵二、几种特殊矩阵例如例如:是一个是一个3 阶方阵阶方阵. (1) 行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵的矩阵A, 称为称为n阶方阵阶方阵. 也可记作也可记作An, (2) 只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量).).(3) 只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).).第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念 (4) 元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵, 记作记作O.例如例如注意：注意：不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.的方阵的方阵, 称为称为单位
4、矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵，(5) 形如形如其中主对角线上的元素都是其中主对角线上的元素都是其中主对角线上的元素都是其中主对角线上的元素都是1 1，其他元素都是，其他元素都是，其他元素都是，其他元素都是0 0。记作记作: :第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念的方阵的方阵, 称为称为对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵), (6) 形如形如其中其中 1, 2, , n不全为零不全为零.记作记作A=diag( 1, 2, , n) (7) 设设A = ( aij )为为 n 阶方阵阶方阵, 对任意对任意 i, j
5、, 如果如果aij = aji都成立都成立, 则则称称A为为对称矩阵对称矩阵. 例如例如:为对称矩阵为对称矩阵.第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念 2. 如果如果A = ( aij )与与B = ( bij )为同型矩阵为同型矩阵, 并且对应元素相等并且对应元素相等, 即即 aij = bij ( i =1, 2, , m; j =1, 2, , n ) 则称则称矩阵矩阵A与与矩阵矩阵B相等相等, 记作记作A=B.三、同型矩阵与矩阵相等的概念三、同型矩阵与矩阵相等的概念1. 两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵同型矩阵.例如例
6、如:为为同型矩阵同型矩阵.解解: 由于矩阵由于矩阵A =B, 则由矩阵相等的定义则由矩阵相等的定义,得得:例例1: 设设已知已知A =B, 求求x, y, z.x=2, y=3, z=2.第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念例例2 2：见见P36P36（自学）（自学）n个变量个变量x1、x2、xn与与m个变量个变量y1、y2、ym之间的关系式之间的关系式表示一个从变量表示一个从变量x1、x2、xn到变量到变量y1、y2、ym的的线性变换线性变换，其中其中aij为常数。为常数。四、矩阵应用举例四、矩阵应用举例例例3 3：( (线性变换线性变换) ) 参考参考P44P44第二章第二章 矩
7、阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念线性变换线性变换称之为称之为恒等变换恒等变换. .再如：再如：它对应着单位矩阵它对应着单位矩阵第二章第二章 矩阵矩阵1 矩阵的概念矩阵的概念注：注：行列式与矩阵的区别行列式与矩阵的区别: :1. 一个是算式一个是算式 ，一个是数表，一个是数表2. 一个行列数相同一个行列数相同 , 一个行列数可不同一个行列数可不同.3. 对对 n 阶方阵可求它的行列式阶方阵可求它的行列式. 记为记为:第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算一
8、、矩阵的加法一、矩阵的加法定义定义:设有两个mn 矩阵A = (aij )与 B = (bij ),那么矩阵A与与B的和的和记作A+B,规定为注意注意:只有当两个矩阵是同型矩阵时只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进这两个矩阵才能进行加法运算行加法运算.第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算例：例：第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵加法满足下列矩阵加法满足下列运算规律运算规律(设设A、B、C都是都是mn 矩阵矩阵)： (1) 交换律：交换律：A+B= B+A, (2) 结合律：结合律：(A+B) +C= A+ (B+C), (3) 若记：若记：-A = - (ai
9、j),称为矩阵称为矩阵A的的负矩阵负矩阵，则有：，则有： A+ (-A)=O, A-B = A+ (-B).二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义定义:数数与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作A或或A, 规定为规定为第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算例：例：第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算注意：注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别矩阵数乘与行列式数乘的区别.矩阵数乘满足下列运算规律矩阵数乘满足下列运算规律(设设A、B都是都是m n 矩阵矩阵, , 为数为数)矩阵相加与矩阵数乘合起来矩阵相加与矩阵数乘合起来,统称为统称为矩阵的线性运算矩阵的线性运算.第二章第二章 矩阵矩阵2 矩
10、阵的运算矩阵的运算 定义定义: 设设A = ( aij )是一个是一个 m s 矩阵矩阵, B = ( bij )是一个是一个s n 矩矩阵阵, 定义矩阵定义矩阵A与矩阵与矩阵B的乘积的乘积 C = ( cij )是一个是一个m n 矩阵矩阵, 其中其中三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘 ( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘积记作并把此乘积记作C=AB. 记号记号AB常读作常读作A左乘左乘B或或B右乘右乘A。 注意注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时, 两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.第二章第二章 矩阵矩阵2
11、矩阵的运算矩阵的运算例例5：求矩阵求矩阵的乘积的乘积AB及及BA .解：解：由于矩阵由于矩阵A与矩阵与矩阵B均为二阶方阵，所以二者可以互乘。均为二阶方阵，所以二者可以互乘。第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算例例5表明：表明： 矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律, 即即: AB BA,另外，另外，矩阵乘法满足下列运算规律：矩阵乘法满足下列运算规律：（其中（其中 为数）为数）; ;定义定义: 如果两矩阵相乘，有如果两矩阵相乘，有AB= BA, 则称矩阵则称矩阵A与矩阵与矩阵B可交换可交换，简称简称A与与B可换可换。第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算上节例上节例3中中的
12、线性变换的线性变换（1）利用矩阵的乘法，可记作利用矩阵的乘法，可记作其中，其中，线性变换线性变换(1)把把X变成变成Y，相当于用矩阵，相当于用矩阵A去左乘去左乘X得到得到Y。第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算并且满足幂运算律并且满足幂运算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk, 其中其中k, m为正整数为正整数.注意注意: 由于矩阵乘法不满足交换律由于矩阵乘法不满足交换律, 则则:若若A是是n 阶方阵阶方阵, 则则Ak为为A的的k次幂次幂, 即即 方阵的幂：方阵的幂：第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义定义:把矩阵把矩阵A的行换成同
13、序数的列得到一个新矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做叫做A的的转置矩阵转置矩阵,记作记作AT.例：例：矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律(假设运算都是可行的假设运算都是可行的) :(1) (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT + BT;(3) ( A)T = AT; (4) (AB)T = BTAT;第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算解法解法1: 因为因为例例7: 已知已知求求(AB)T.所以所以解法解法2:(AB)T=BTAT第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算由矩阵转置和对称矩阵的定义可得由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:方阵方
14、阵A 为对称矩阵的充分必要条件是为对称矩阵的充分必要条件是: A=AT.证明证明: 自学自学 （见（见P49） 例例8: 设列矩阵设列矩阵X = (x1 x2 xn)T, 满足满足XTX = 1, E为为n 阶单位阶单位矩阵矩阵, H = E 2XXT, 证明证明: H为对称矩阵为对称矩阵, 且且HHT = E.如果如果AT = -A，则称，则称A 为为反对称矩阵反对称矩阵。第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义定义:由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵方阵A的行列式的行列式,记作|A| 或det A.例例方阵的行列式满足下
15、列运算规律：方阵的行列式满足下列运算规律：(1) | AT | = | A |;(2) | A | = n| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.第二章第二章 矩阵矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算六、共轭矩阵六、共轭矩阵 定义定义: 当当 A = (aij) 为复矩阵时为复矩阵时, 用用 表示表示aij 的共轭复数的共轭复数, 记记 , 称称 为为A 的共轭矩阵的共轭矩阵. 共轭矩阵满足下述运算规律共轭矩阵满足下述运算规律(设设A, B为复矩阵为复矩阵, 为复数为复数, 且且运算都是可行的运算都是可行的):作业：作业：P49习题习
16、题2-2 5. 7.（用矩阵求解用矩阵求解）第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵定义定义:对于对于n阶矩阵阶矩阵A,如果有一个如果有一个n阶矩阵阶矩阵B,使使 AB = BA =E则说矩阵则说矩阵A是可逆的是可逆的,并把矩阵并把矩阵B称为称为A的的逆矩阵逆矩阵,简简称称逆阵逆阵. 记作：记作：A-1= B唯一性：唯一性：若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.证明：证明：所以所以A 的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。一、逆矩阵的定义和性质一、逆矩阵的定义和性质第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵方阵的逆矩阵满足下列运算规律方阵的逆矩阵满足下列运算规律(1)
17、若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则则A-1亦可逆亦可逆, 且且(A-1)-1 = A.(2) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 且且 0, 则则 A 亦可逆亦可逆, 且且(3) 若若A, B为同阶可逆方阵为同阶可逆方阵, 则则AB亦可逆亦可逆, 且且(AB)-1 = B-1A-1.(4) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则则AT 亦可逆亦可逆, 且且(AT)-1=(A-1)T.(5) 若矩阵若矩阵A可逆可逆, 则有则有| A-1 |=| A |-1.第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵 定义定义: 行列式行列式 | A | 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式Aij
18、 所构成的如所构成的如下矩阵下矩阵称为矩阵称为矩阵A 的的伴随矩阵伴随矩阵.性质性质: AA* = A*A = | A |E.证明证明: 自学自学 二、伴随矩阵的概念及其重要性质二、伴随矩阵的概念及其重要性质第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵三、矩阵可逆的判别定理及求法三、矩阵可逆的判别定理及求法例例9 设设求求A的逆矩阵的逆矩阵.解解: 利用待定系数法利用待定系数法.是是A的逆矩阵的逆矩阵,设设即即由由解得解得,则则解完否？解完否？第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵又因为又因为所以所以即即AB = BA = E, 如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的如上求逆矩阵的方法对
19、于方阵的阶较高时显然是不可行的, 必须寻求可行而有效的方法必须寻求可行而有效的方法.定理定理: 矩阵矩阵A可逆的充要条件是可逆的充要条件是| A | 0, 且且其中其中A*为矩阵为矩阵A的伴随矩阵的伴随矩阵.第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵证明：证明：由由伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知知当当| A | 0时时,由逆矩阵的定义得由逆矩阵的定义得,第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵 当当| A | = 0 时时, 称称A为为奇异矩阵奇异矩阵, 否则称否则称A为为非奇异矩阵非奇异矩阵. 由此可得由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是是可逆矩阵的
20、充分必要条件是A为非奇异矩阵为非奇异矩阵.推论推论: 若若 AB=E (或或 BA=E), 则则 B=A-1.证明证明: 由由 AB = E 得得, | A | | B | = | E | = 1,故故| A | 0.因而因而, A-1存在存在,于是于是B = EB = (A-1A)B = A-1(AB) = A-1E = A-1.故结论成立故结论成立.例例10 10 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. .第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵解解同理可得同理可得第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵所以所以例例11 设设求矩阵求矩阵X使其满足使其满足 AXB=C.解解: 由于由于所以所以, A
21、-1, B-1都存在都存在. 且且第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵又由又由 AXB = C, 得得 A-1AXBB-1 = A-1CB-1,则则 X = A-1CB-1. 于是于是X = A-1CB-1第二章第二章 矩阵矩阵3 逆矩阵逆矩阵注意：注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系，的位置关系，例如解例如解AX=B,需先考察需先考察A是否可逆，只有是否可逆，只有A可逆才可以解可逆才可以解此矩阵方程，在方程两边同时左乘此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘，的逆，而不能右乘，因为矩阵乘法不满足交换律。因为矩阵乘法不满足交换律。矩阵方程矩阵
22、方程解解第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵引言引言: :对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，常，为了简化运算，常采用采用分块法分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.定义定义: :将矩阵将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每每一个小矩阵称为一个小矩阵称为A的的子块子块,以子块为元素的形式上的矩以子块为元素的形式上的矩阵称为阵称为分块矩阵分块矩阵.一、分块矩阵的定义一、分块矩阵的定义例如例如:第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则 (1)
23、分块矩阵的加法分块矩阵的加法: 设矩阵设矩阵A与与B是同型的是同型的, 且采用相同的且采用相同的分块法分块法, 有有其中子块其中子块Aij与与Bij是同型的是同型的( i=1,2, s ; j=1,2, r ), 则则第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵(2) 分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘:第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵 (3) 分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法:设设A为为m l 矩阵矩阵, B为为l n矩阵矩阵, 分块为分块为其中其中Ai1, Ai2, , Ait的列数分别等于的列数分别等于B1j, B2j, , Btj的行数的行数,
24、则则其中其中( i=1, 2, , s ; j=1, 2, , r ).例例12 设设求求AB.解解: 把把A, B分块成分块成则则第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵而而于是于是第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵(4) 设设则则 (5) 设设A为为n阶方阵阶方阵, 若若A的分块矩阵除在对角线上有非零子的分块矩阵除在对角线上有非零子块外块外, 其余子块均为零矩阵其余子块均为零矩阵,且对角线上的子块都是方阵，即且对角线上的子块都是方阵，即其中其中Ai (i = 1, 2, , s)都是方阵都是方阵,则称则称A为为分块对角矩阵分块对角矩阵.第
25、二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵1. | A | = | A1 | | A2 | | As |.2. 设分块对角矩阵设分块对角矩阵A, 若若| Ai | 0 (i=1,2,s), 则则| A | 0, 且且3.分块对角矩阵具有下述性质分块对角矩阵具有下述性质:第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵其中其中则则所以所以解解: 将将A 分块分块例例13 设设求求A-1.形成分块对角矩阵形成分块对角矩阵. 第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩阵分块矩阵对于线性方程组对于线性方程组记记三、分块矩阵的应用：线性方程组的表示三、分块矩阵的应用：线性方程组的表示(2)第二章第二章 矩阵矩阵4 分块矩
26、阵分块矩阵其中其中A称为称为系数矩阵系数矩阵,x称为称为未知数向量未知数向量, b称为称为常数项向量常数项向量, B称为称为增广矩阵增广矩阵.按分块矩阵的记法按分块矩阵的记法,可记可记 B= (A b)或或 B= (A , b) = (a1 , a2 , ,an , b).利用矩阵的乘法利用矩阵的乘法,方程组方程组(2)可记作可记作 Ax = b作业：作业：P56习题习题2-3 1.(2) 2.(3) P63习题习题2-4 5.第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换分析分析: 用消元法解下列方程组的过程用消元法解下列方程组的过程.引例引例: 求解线性方程组求解线性方程组一、消元
27、法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组解解: 2第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 2 3 2第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换+53 2第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换用用“回代回代”的方法求出解的方法求出解:其中其中x3可以任意取值可以任意取值.或令或令x3=c, 方程组的解可记作方程组的解可记作:其中其中c为任意常数为任意常数.(2)或或第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 1. 始终把方程组看作一个整体变形始终把方程组看作一个整体变形, 用到如下三种变换用到如下三种
28、变换:归纳以上过程归纳以上过程:(3) 一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的 k 倍倍;(2) 以不等于以不等于0的数的数 k 乘某个方程乘某个方程;(1) 交换方程次序交换方程次序;2. 上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的.第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换由于三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的, 所以变换前的方程组与变换后所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的的方程组是同解的. 故这三种变换是故这三种变换是同解变换同解变换.在上述变换过程中在上述变换过程中, 只对方程组的只对方程组的系数系数和和常数常数进行运算进行运算,未未知量并未参与本
29、质性运算知量并未参与本质性运算. 因此，若记因此，若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组方程组(1)的的增广增广矩阵矩阵)的变换的变换.把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等变换。得到矩阵的三种初等变换。第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换定义定义1: 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: (1) 对调两行对调两行 (对调对调 i, j 两行两行, 记作记作 ri
30、rj ) ; (2) 以非零数以非零数k乘以某一行的所有元素乘以某一行的所有元素 ( 第第 i 行乘行乘 k, 记作记作 ri k ); (3) 把某一行所有元素的把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去倍加到另一行的对应元素上去 (第第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行上去行上去, 记作记作 ri+k rj ). 把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”,即得即得矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换的定的定义义( 所用记号是把所用记号是把“r”换成换成“c” )定义定义2: 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换初等变换.对换变换对换
31、变换倍乘变换倍乘变换倍加变换倍加变换第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换说明说明:三种初等变换都是可逆的三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换:ri rj 的逆变换为的逆变换为 ri rj;ri k 的逆变换为的逆变换为 ri (1/k), 或或 ri k; ri+k rj 的逆变换为的逆变换为 ri+(k) rj , 或或 ri k rj . 定义定义3: 如果矩阵如果矩阵A可经过有限次初等变换变为矩阵可经过有限次初等变换变为矩阵B, 则称则称矩阵矩阵A与矩阵与矩阵B等价等价. 记作记作A B.矩阵之间的等价关系具有下列矩阵之间
32、的等价关系具有下列性质：性质：(1) 反身性反身性: A A;(2) 对称性对称性: 若若A B, 则则 B A;(3) 传递性传递性: 若若A B, 且且 B C, 则则A C.第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换用矩阵的用矩阵的初等行变换初等行变换解方程组解方程组(1)，其过程可与方程组，其过程可与方程组(1)的消元过程一一对照的消元过程一一对照.r1r2r3 2 2第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换r2r3r32r1r43r1 2 3r2 2 2第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换r3+5r2r43r2+53r32r4r4r3 2第
33、二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换r2r3r1r2B6对应的方程组为对应的方程组为:或令或令x3=c(c为任意常数为任意常数), 方程组的解可记作方程组的解可记作:第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义4:矩阵矩阵B5和和 B6都称为都称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵,其其特点特点是是: (1) 可画出一条阶梯线可画出一条阶梯线,线的下方全为线的下方全为0 ; (2) 每每个个台台阶阶只只有有一一行行, 阶阶梯梯线线的的竖竖线线(每每段段竖竖线线的的长长度度为为一一行行)后后面面的的第第一一个个元元素素为为非非零零元元,也也就就是是非非零零行的第一个非零元
34、行的第一个非零元. 行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵B6还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵, 其其特特点点是是：非非零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为1, 且且这这些些非非零零元元所所在在的的列列的的其它元素都为其它元素都为0.第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 (2)利用初等行变换利用初等行变换,解线性方程组只需把增广矩阵化为解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵行最简形矩阵. (3)一个一个矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的矩阵的行最简形矩阵是唯一确定的, 而其行阶梯而其行阶梯形矩阵却不是唯一的，但是行阶梯形矩阵中非零行的行数形矩阵却不是唯一的，但是行阶梯形矩阵中非零行
35、的行数是唯一确定的是唯一确定的.行最简形矩阵再经过若干次初等行最简形矩阵再经过若干次初等列列变换可化成变换可化成标准形标准形.说明说明: : (1) 对于任何矩阵对于任何矩阵Amn,总可经过有限次初等总可经过有限次初等行行变换把它变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；行最简形矩阵一定是变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵；行最简形矩阵一定是行阶梯形矩阵，但行阶梯形矩阵不一定是行最简形矩阵。行阶梯形矩阵，但行阶梯形矩阵不一定是行最简形矩阵。第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换c54c13c2+3c3矩阵矩阵F称为矩阵称为矩阵B的的标准形标准形. 特点特点: 标准形标准形F的左上角是
36、一个单位矩阵的左上角是一个单位矩阵, 其余元素全为零其余元素全为零.B6c3c4c4+c1+c2第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换任一个矩阵任一个矩阵Am n总可经过总可经过初等变换初等变换化为标准形化为标准形 此标准形由此标准形由m, n, r三个数唯一确定三个数唯一确定, 其中其中r 就是行阶梯形就是行阶梯形矩阵中矩阵中非零行的行数非零行的行数.三、矩阵的初等变换的性质三、矩阵的初等变换的性质三、矩阵的初等变换的性质三、矩阵的初等变换的性质第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定理定理1 设设A与与B为为mn矩阵，那么：矩阵，那么： 的充分必要条件是：存
37、在的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，使，使PA=B.（3）AB的充分必要条件是：存在的充分必要条件是：存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P与与n阶可逆阶可逆矩阵矩阵Q,使使PAQ =B. 的充分必要条件是：存在的充分必要条件是：存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q，使，使AQ=B.推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是 .当当| A | 0时时, 则由则由 定理定理1及推论可知，存在可逆矩阵及推论可知，存在可逆矩阵P，使得，使得(i)式表明式表明A经一系列初等经一系列初等行行变换可变成变换可变成E，(ii)式表明式表明E经经同样同样的初等的初等行行变换即变成变换即变成A-1
38、，利用分块矩阵的形式，利用分块矩阵的形式， (i)、 (ii)两两式可合并为：式可合并为：四、矩阵的初等变换的应用四、矩阵的初等变换的应用四、矩阵的初等变换的应用四、矩阵的初等变换的应用 及及()()即即, 对对n 2n矩阵矩阵(A|E)施行初等施行初等行行变换变换, 当当把把A变成变成E的同时的同时, 原来的原来的E就变成了就变成了A-1.1. 1. 1. 1. 利用初等变换求可逆矩阵的逆阵利用初等变换求可逆矩阵的逆阵利用初等变换求可逆矩阵的逆阵利用初等变换求可逆矩阵的逆阵 第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换2. 2. 2. 2. 利用初等变换求矩阵利用初等变换求矩阵利用
39、初等变换求矩阵利用初等变换求矩阵A-1B 同样，对矩阵方程同样，对矩阵方程 AX = B, 其中其中A为为n阶方阵阶方阵, B为为n s 阶矩阵阶矩阵, 如果如果A可逆可逆, 则则X =A-1B.考虑分块矩阵考虑分块矩阵(A | B), 可得可得即即, 当一系列初等当一系列初等行行变换变换将将A化为化为E 的同时也的同时也将将B化化为了为了A-1B.第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换解解: :r22r1r33r1r1+r2r3r2r12r3r25r3例例1: 设设A=求求A-1.第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换例例2: 求矩阵求矩阵X, 使使AX=B,
40、 其中其中解解: 若若A可逆可逆, 则则 X=A-1B.r22r1r33r1r2 (2)r3 (1)所以所以第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换r2 (2)r3 (1)所以所以作业作业：P71习题习题2-53. (3) 4. (3) (4) 5.(2)（提示见下页）（提示见下页）r1+r2r3r2r12r3r25r3第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换如果要求如果要求X=BA-1, 则可对矩阵则可对矩阵作初等作初等列列变换变换.列变换列变换即可求得即可求得X=BA-1.通常更习惯作初等行变换，此时应对通常更习惯作初等行变换，此时应对(AT|BT)作初等作初等
41、行行变换变换.行变换行变换即可求得即可求得XT=(AT)-1BT=(A-1)TBT =(BA-1)T,从而求得从而求得X=BA-1.第二章第二章 矩阵矩阵5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换习题习题2-5：5（2）提示：）提示：第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念 定义定义: 在在m n矩阵矩阵A中任取中任取 k 行行 k 列列( k m, k n ), 位于这位于这 k 行行 k 列交叉处的列交叉处的 k2个元素个元素, 不改变它们在不改变它们在A中所处的位置中所处的位置次序而得到的次序而得到的 k 阶行列式阶行列式, 被称为
42、被称为矩阵矩阵A的的k阶子式阶子式.说明：说明：m n矩阵矩阵A的的k阶子式共有阶子式共有定义定义: :设在设在矩阵矩阵A中有一个不等于中有一个不等于0的的r阶子式阶子式D，且所有，且所有r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)全等于全等于0，那么，那么D称为矩阵称为矩阵A的一的一个最高阶非零子式，数个最高阶非零子式，数r称为称为矩阵矩阵A的秩的秩,记作记作 R(A) . 规定规定: 零矩阵的秩等于零矩阵的秩等于0. 说明说明: m n矩阵矩阵A的秩的秩R(A)是是A中不等于零的子式的最高阶数中不等于零的子式的最高阶数.第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵的秩矩阵的秩例例3: 求矩阵求矩阵A和
43、和B的秩，其中的秩，其中A的的3阶子式只有阶子式只有| A |, 且经计算可知且经计算可知 | A | = 0.所以所以, R(A)=2.B =解解: 在矩阵在矩阵A中，容易看出一个中，容易看出一个2阶子式阶子式 而矩阵而矩阵 B是一个行阶梯形矩阵是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有其非零行有3行行,所以所以B的所有的所有4阶子阶子式全为零式全为零.而以三个非零行的第一个非零元为对角元的而以三个非零行的第一个非零元为对角元的3阶行列阶行列式式所以所以, R(B)=3.第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵的秩矩阵的秩二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法定理定理2: 若若A B,
44、 则则 R(A) = R(B).证明不作要求证明不作要求 利用初等变换求矩阵秩的方法利用初等变换求矩阵秩的方法: 用初等用初等行行变换把矩阵变成为变换把矩阵变成为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4: 求矩阵求矩阵A=的秩的秩. 并求并求A的的一个一个最高阶非零子式最高阶非零子式.解解: 用初等行变换将用初等行变换将A化为行阶梯矩阵化为行阶梯矩阵:第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵的秩矩阵的秩r1r4r2 r4r3 2r1r4 3r1r3 3r2r4 4r2r4 r3由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知
45、: R(A)=3.以下求以下求A的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵的秩矩阵的秩将矩阵将矩阵A按列分块按列分块, A=(a1 a2 a3 a4 a5), 则矩阵则矩阵B=(a1 a3 a5)的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵为为由于由于R(A)=3，可知，可知A的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为3阶。矩阵阶。矩阵A的的3阶阶考察考察A的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵.子式子式共有共有 所以所以R(B)=3, 故故B中必有中必有3阶非零子式阶非零子式, B的的3阶子式共有阶子式共有4个个. 计算计算B的前三行构成的子式的前三行构成的子式 第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵
46、的秩矩阵的秩则这个子式便是则这个子式便是A的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式. 对于对于n阶可逆方阵阶可逆方阵A ，因为，因为| A | 0, 所以所以 A的最高阶的最高阶非零子式为非零子式为| A |, 则则R(A)=n. 即即可逆矩阵的秩等于阶数可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆故又称可逆(非奇异非奇异)矩阵为矩阵为满满秩矩阵秩矩阵, 奇异矩阵又称为奇异矩阵又称为降秩矩阵降秩矩阵.第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵的秩矩阵的秩例例5:设设求矩阵求矩阵A和矩阵和矩阵B=(A | b)的秩的秩.分析分析: 设矩阵设矩阵B的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为B =(A | b ),则则A 就是就是
47、A的行阶梯形矩阵的行阶梯形矩阵.因此可以从因此可以从B =(A | b )中同时考察出中同时考察出R(A)及及R(B).解解:r22r1r3+2r1r43r1第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵的秩矩阵的秩所以所以, R(A)=2, R(B)=3.r2 2r3r2r4+3r2r3 5r4r3=B1说明：说明：此例中的矩阵此例中的矩阵B为矩阵为矩阵A和向量和向量b所对应的线性方程组所对应的线性方程组Ax=b的增广矩阵的增广矩阵. B1为与为与Ax=b等价的线性方程组等价的线性方程组A1x=b1的增的增广矩阵广矩阵. A1x=b1的第三个方程为的第三个方程为0=1, 即矛盾方程即矛盾方程,由此可知由此可
48、知: 方程组方程组A1x=b1无解无解, 故方程组故方程组Ax=b也无解也无解. 第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵的秩矩阵的秩三、矩阵秩的性质三、矩阵秩的性质三、矩阵秩的性质三、矩阵秩的性质性质性质1: 0 R(Am n) minm, n;性质性质2: R(AT) = R(A);性质性质3: 若若A B, 则则R(A) = R(B);性质性质4: 若若P, Q可逆可逆, 则则R(PAQ) = R(A);性质性质5: maxR(A), R(B) R(A B) R(A) + R(B)；性质性质6: R(A + B) R(A) + R(B).性质性质7: R(AB) minR(A), R(B).性质性
49、质8: 若若Am nBn l =O, 则则R(A)+R(B) n .第二章第二章 矩阵矩阵6 矩阵的秩矩阵的秩例例6: 设设n阶方阵阶方阵A满足满足A2=A ,E为为n阶单位矩阵，阶单位矩阵， 证明：证明：R(A)+R(AE) = n .所以所以, 由由矩阵秩的性质矩阵秩的性质8可知可知: R(A)+R(AE) n.证明证明: 由条件由条件A2=A得得, A(AE)=O, 再由再由矩阵秩的性质矩阵秩的性质6结论得结论得:R(A)+R(AE) = R(A)+R(EA) R(A+(EA) = R(E) = n.因此因此, 有有R(A)+R(AE)=n.作业作业：P77习题习题2-6 6. (3)第
50、二章第二章 矩阵矩阵 本章小结本章小结1.内容提要内容提要 名名 称称 要要 点点矩阵的概念矩阵的概念(1)矩阵的定义以及七种特殊矩阵矩阵的定义以及七种特殊矩阵(2)同型矩阵及矩阵相等的概念同型矩阵及矩阵相等的概念矩阵的运算矩阵的运算(1)矩阵的各种运算及其运算规律矩阵的各种运算及其运算规律逆矩阵逆矩阵（重点）（重点）(1)可逆矩阵的定义及性质可逆矩阵的定义及性质(2)伴随矩阵的性质伴随矩阵的性质(3)矩阵可逆的判别定理及可逆矩阵的求法矩阵可逆的判别定理及可逆矩阵的求法分块矩阵分块矩阵(1)分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则(2)利用分块矩阵求逆矩阵利用分块矩阵求逆矩阵第二章第二章 矩阵矩阵
51、 本章小结本章小结名名 称称 要要 点点矩阵矩阵的初的初等等变换变换(1)三种初等变换三种初等变换(2)矩阵的行阶梯形、行最简形及标准形矩阵的行阶梯形、行最简形及标准形（牢记）（牢记）(3)矩阵初等变换的应用矩阵初等变换的应用(重点重点)矩阵的秩矩阵的秩(1)矩阵秩的定义及性质矩阵秩的定义及性质(2)矩阵秩的求法矩阵秩的求法(重点重点)第二章第二章 矩阵矩阵 本章小结本章小结(4)初等变换法初等变换法.2. 求逆矩阵的方法求逆矩阵的方法:牢记牢记(2)伴随矩阵法伴随矩阵法:(3)分块矩阵法；分块矩阵法；(1)待定系数法待定系数法; 第二章第二章 矩阵矩阵 本章小结本章小结3.求矩阵秩的方法求矩
52、阵秩的方法 (1)利用定义利用定义(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法初等变换法(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).4.对对n阶方阵阶方阵A，下列说法等价，下列说法等价是可逆矩阵是可逆矩阵是非奇异矩阵是非奇异矩阵是满秩矩阵是满秩矩阵AE第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课例例1设方阵设方阵A满足方程满足方程(1)证：证：(2)第二章第二章 矩阵矩阵习题课习题课例例2 设三阶方阵设三阶方阵A, B满足关系式满足关系式: A-1B
53、A=6A+BA,且且求求B.解解: 由于由于|A|=1/56 0, 所以所以A可逆可逆, 且且由由 A-1BA=6A+BA, 得得 A-1BABA=6A, 则则 (A-1E)BA= 6A,第二章第二章 矩阵矩阵习题课习题课由由A和和(A-1E)均均可逆可可逆可得得:由于由于所以所以(A-1E)可逆可逆, 且且第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课例例3 设设n阶矩阵阶矩阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为A*, 证明证明:(1) 若若| A | = 0, 则则| A* | = 0; (2) |A*| = | A |n1.证明证明: (1) 当当A = O时时, | A |的所有代数余子式均为的所有代数余
54、子式均为0,从而从而A* = O, 故故| A* | = 0.当当 A O且且| A | = 0时时, 用反证法证明用反证法证明.假设假设| A* | 0, 则有则有A*(A*)1 = E,由此得由此得A = AE = AA*(A*)1 = AA*(A*)1 = | A |E(A*)1 = O,这与这与A O矛盾矛盾,故当故当| A | = 0时时, | A* | = 0.第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课(2) 当当| A | = 0时时, 则由则由(1)得得| A* | = 0, 从而从而| A* | = | A |n1成立成立.当当| A | 0时时, 由由 AA* = | A | E
55、 得得,| A | | A* | = | AA* | = | A | E | = | A |n,由由| A | 0得得, | A* | = | A |n1.第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课有元素的代数余子式之和有元素的代数余子式之和:例例4: 已知已知n阶方阵阶方阵A=求求A中所中所解解: 因为因为|A|=2 0, 所以所以A可逆可逆. 又又A*=|A|A-1.第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课r1 2riri+1i=1, ,n-1第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课因为因为A*=|A|A-1, 故故A*=2A-1. 即即所以所以第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课解解: 因为因为 AX
56、=A+2X,所以所以(A2E)X=A,而而又又例例5: 设设且且AX=A+2X, 求矩阵求矩阵X.第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课所以所以第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课证：证：由由得得从而从而例例6: 设设A*为为n（n2） 阶方阵阶方阵A的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明证明:(1) 当当R(A) = n 时时, R(A*) = n ;(2) 当当R(A) = n 1 时时, R(A*) = 1;(3) 当当R(A) n 1 时时, R(A*) = 0.(1) 当当R(A) = n 时时, 则则| A | 0,所以所以R(A*) = n . 第二章第二章 矩阵矩阵 习题课习题课(3) 当
57、当R(A) n 1 时时, A中所有一个中所有一个n 1阶子式都阶子式都为零为零,故故A*=O, 所以所以R(A*) = 0.(2) 当当R(A) = n 1时时, 则则| A |= 0,则由则由矩阵秩的性质矩阵秩的性质8得得, R(A) +R(A*) n , 因此因此, R(A*) n-R(A)=n-(n-1)=1.又由又由R(A) = n 1知知, A中至少有一个中至少有一个n 1阶子式不为零阶子式不为零,即即A*中至少有一个非零元素中至少有一个非零元素, 所以所以R(A*) 1, 从而从而R(A*) = 1 . 所以所以AA*=|A|E=O.Thanks !畅想网络Imagination Network感感谢观看！看！文章内容来源于网文章内容来源于网络，如有侵，如有侵权请联系我系我们删除。除。
