《02_大学数学(二)-矩阵论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《02_大学数学(二)-矩阵论（94页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、大学数学大学数学（二）脚本编写：曾金平 刘楚中课件制作：曾金平 刘楚中1 矩阵的概念矩阵的概念一、实际例子一、实际例子例例1 设设某某物物质质有有 m 个个产产地地，n 个个销销地地，如如果果以以 aij 表表示示由由第第 i 个个产产地地销销往往第第 j 个个销销地地的的数数量量，则则这这类类物物质质的的调调运方案，可用一个数表表示如下：运方案，可用一个数表表示如下：销地销量产地12j n记为记为例例2 解线性方程组解线性方程组1行行2行行3行行1行行2行行3行行代替：代替：r1r2r3r1r2r3由由mn 个个数数 aij ( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)有
2、次序地排成有次序地排成 m 行行(横排横排) n 列列(竖排竖排)的数表的数表称称为为一一个个 m 行行 n 列列的的矩矩阵阵，简简记记 (aij)mn，通通常常用用大大写写字字母母 A，B，C，表表示示，m 行行 n 列列的的矩矩阵阵 A 也也记记为为 Amn，构构成成矩矩阵阵 A 的的每每个个数数称称为为矩矩阵阵 A 的的元元素素，而而 aij 表表示示矩矩阵阵第第 i 行行、第第 j 列列的元素。的元素。定定义义1.1注意：注意：v 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 A1n = (a1 a2 an)v只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵；列矩阵；v两两个个矩矩阵阵 A、B，若若行行数数
3、、列列数数都都相等，则称相等，则称 A、B 是是同型同型的；的；称为称为行矩阵；行矩阵；v若若 A = (aij)mn, B = (bij)mn 是是同同型型的的，且且 aij = bij (i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n) ，则称则称 A 与与 B 相等，记作相等，记作 A B；v元素全为元素全为 0 的矩阵称为的矩阵称为零矩阵零矩阵，记作，记作O；v不同型的零矩阵是不相等的。不同型的零矩阵是不相等的。2 矩阵的运算矩阵的运算一、矩阵的加法一、矩阵的加法1. 定义定义2.1设设 A = ( aij )mn , B = ( bij )mn则矩阵则矩阵 C = ( c
4、ij ) mn= ( aij + bij ) mn称为矩阵称为矩阵 A 与与 B 的和，记作的和，记作 C = A+B。2. 性质性质设设 A，B，C，O 都是都是 mn 矩阵，则矩阵，则(1) A + B = B + A(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C )(3) A + O = O + A = A二、二、 矩阵的减法矩阵的减法(1) 负矩阵设 A = ( aij ) mn , 则称( aij ) mn 为A的负矩阵，简记A显然A+ (A)= O ,(A) = A(2) 减法：设 A = ( aij ) mn , B = ( bij ) mnAB = A + (B
5、 ) = ( aij bij ) mn三、数与矩阵的乘法三、数与矩阵的乘法 1. 定义定义2.2记为 A，即设 是常数， A = ( aij ) mn ，则矩阵 ( aij ) mn 称为 数 与矩阵 A 的乘积，2. 性质性质设设 A、B 为为 m n 矩阵，矩阵， 、 为常数为常数(1) ( ) A = ( A) = ( A );(2) ( A + B ) = A + B(3) ( + ) A = A + A(4) 1A = A(1)A = A例例2.1设求 A2B解：四、矩阵乘法四、矩阵乘法1. 定义定义2.3设 A = ( aij ) ms , B = ( bij ) sn , 是 m
6、n 矩阵，其中 cij 等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素的乘积之和:( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)CAB = ( cij ) mn则 A 与 B 的乘积例例2.2 设矩阵设矩阵求乘积求乘积 AB 和和 BA.解：注：注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律即矩阵乘法不满足交换律例例 2.3 设设试证： (1) AB = 0 ； (2) AC = AD证：证：故 AC AD比较：比较：在数的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0两个非零矩阵乘积可能为O。在矩阵乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O在矩阵乘法中, 若 A
7、C = AD, 且 A O C = D 在数的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立) (消去律不成立)2. 性质性质(1) ( A B ) C = A ( B C )(2) A (B + C ) = A B + A C(3) ( B + C ) A = B A + C A(4) ( A B ) = ( A ) B = A ( B ) (其中其中 为常数为常数)3. 线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示设方程组为可表示为简记为AXB其中称为由线性方程组所确定的系数矩阵，称为线性方程组的右端向量。四、矩阵的转置四、矩阵的转置将矩阵 A mn 的行换成同序数的列，列换
8、成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。例如：例如：则1. 定义定义2.42. 性质性质(1) ( AT ) T = A(2) ( A + B ) T = A T + B T(3) ( A ) T A T(4) ( A B ) T = BT A T例例2.4设求 ( A B ) T。解一：解一：解二解二( A B ) T = B T A T3 方阵与分块矩阵方阵与分块矩阵一、方阵一、方阵定义定义3.1则：(其中：k, l均为正整数)记AA A = Akk个个k个个行数与列数相同的 n n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An 。二、几类特殊方阵二、几类特
9、殊方阵称为n阶单位矩阵阶单位矩阵，简记 E显然1. 单位矩阵单位矩阵002. 对角矩阵对角矩阵其中 aij = 0, i j00特别：特别：称为数量矩阵00结论：结论：(1)000000(2) k为正整数时为正整数时00k003. 上三角矩阵上三角矩阵0其中 aij = 0, i j下三角矩阵下三角矩阵其中 aij = 0, i j04. 对称矩阵对称矩阵(1) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为对称矩阵对称矩阵。(2) 若方阵A满足 AT = A，即 aji = aij，则称A为反反对对称称矩矩阵阵。这时 aii = 0 ( i = 1, 2, n)例例3.1 设设
10、A为为任任一一方方阵阵，证证明明 : A+AT为为对对称称阵阵，AAT 为反对称阵为反对称阵证：由于故故A+AT为对称阵，为对称阵，AAT 为反对称阵为反对称阵三、方阵及其行列式三、方阵及其行列式1. 方阵方阵 A 对应的行列式记为对应的行列式记为 |A |或或 det (A) 若 |A| 0，则称方阵 A 是非非奇奇异异(非非退退化化)的，否则，称 A 是奇异奇异(退化退化)的。 2. 性质：性质：(1) | A | = n | A |(2) | A B | = | A | | B |例如：有而所以| A B | = | A | | B |(3) | A m | = | A | m| A 1
11、 A 2 A m | = | A 1| | A 2 | | A m | 推广：推广：四、分块矩阵四、分块矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子子块块或子子矩矩阵阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵分块矩阵。1. 定义定义3.2例如：例如：A11A12A21A22例例 3.2 设设 利用分块矩阵求利用分块矩阵求 A+B，AB。解：将A、B分块成 则而故而考察：考察： AT对于对于有有2. 分块矩阵的转置分块矩阵的转置注：注：设矩阵A = ( aij ) m n 分块为 则3. 准对角矩阵准对角矩阵 若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块
12、都为O，且主对角线的子块均为方阵，则称A为准对角矩阵准对角矩阵。定义定义3.3 00( Ai 为方阵，为方阵， i = 1,2,，m)即：即：即：即：A例如：例如：00为准对角矩阵。4 矩阵的初等变换与矩阵的秩矩阵的初等变换与矩阵的秩一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义定义 4.1对对矩矩阵阵施施行行下下列列三三种种变变换换称称为为矩矩阵阵的的初等行变换初等行变换(1) 互换两行互换两行 ( 记作记作 ri rj );(2) 以数以数 0 乘以某一行乘以某一行 ( 记作记作 ri );(3) 将将第第 j 行行各各元元素素乘乘以以数数 后后加加到到第第 i 行行的的对对应应元元素上去素上去
13、 (记作记作 ri + rj )相应地，矩阵的三种初初等等列列变变换换的记号只需将 r 换成换成 c。二、初等矩阵二、初等矩阵定义定义4.2由由单单位位矩矩阵阵 E 经经过过一一次次初初等等变变换换得得到到的矩阵称为的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。(1) ri rjci cj 也得到也得到 P (i, j)第第 i 行行第第 j行行(2) ri ci 也得到也得到 P ( i ( )00第第 i 行行(3) ri + rj cj + ci 也得到也得到 P ( i, j ( ) )第第 i 行行第第 j 行行定理定理4.1对对A施施行行一一次次初初等等行行变变换换，相相当当于于在在A的的左左侧侧乘
14、乘以以一一个相应的初等矩阵个相应的初等矩阵；对对A施施行行一一次次初初等等列列变变换换，相相当当于于在在A的的右右侧侧乘乘以以一一个相应的初等矩阵个相应的初等矩阵；例如：例如：设设A是一个是一个 m n 矩阵矩阵(1)Ar1 r2P(1, 2) A(2)Ac3 c4A P(3, 4) 二、矩阵的秩二、矩阵的秩1. k 阶子式阶子式定义定义4.3设设 A 为为 mn 矩矩阵阵，在在 A 中中任任取取 k 行行 k 列列 (1 k min (m, n)，由由这这 k 行行，k 列列的的交交叉叉处处的的 k2 个个元元素素(按按原原来来的的前前后后顺顺序序)所所构构成成的的 k 阶行列式，称为矩阵阶
15、行列式，称为矩阵A的一个的一个 k 阶子式。阶子式。例如：例如：一个2阶子式例如：例如：一个2阶子式一个3阶子式(1) A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式(2) 当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为 | A |注：注：2. 矩阵的秩矩阵的秩例如：例如：r(A) = 3定义定义4.4矩矩阵阵A的的不不为为0的的子子式式的的最最高高阶阶数数称称为为矩矩阵阵A的的秩秩，记为，记为r (A)。( 显然显然 r (A) min (m, n) )规定：规定：注：注：(1) 非奇异矩阵A，有 | A | 0，A的秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵满秩矩阵。(2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵
16、降秩矩阵。定理定理4.2 若若矩矩阵阵 A 中中至至少少有有一一个个 k 阶阶子子式式不不为为0，而所有而所有 k+1 阶子式全为阶子式全为0，则，则 r ( A ) = k。零矩阵的秩为0，即 r (O) = 03. 初等变换求矩阵的秩初等变换求矩阵的秩定理定理4.3 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变例：例：解：解：阶梯形阶梯形r ( A ) = 3进一步进一步AA的标准形标准形注：若注：若A 为为 n 阶满秩方阵，则阶满秩方阵，则其其标准形为标准形为 n 阶单位阵阶单位阵E。5 可可 逆逆 矩矩 阵阵一、逆矩阵的概念与性质一、逆矩阵的概念与性质1. 定义定义
17、5.1AB = BA = E则称 B 为 A 的逆矩阵逆矩阵，并称 A 可逆，记为可逆，记为A1=B。设设A是一个是一个n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵B使使例如：例如：有所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。例例5.1 设设 a11 a22 ann 0, 0000由于：0000所以例例5.2 若方阵若方阵 A1 A2 Am 均可逆均可逆，可证可证0000定理定理5.1 (唯一性唯一性)若方阵若方阵 A 的逆矩阵的逆矩阵 A1 存在，则唯一存在，则唯一.证：设B、C均是A的逆矩阵，则B所以A的逆矩阵唯一。= BE = B(AC) = (BA)C = EC = C2.
18、 逆矩阵的求法之一：逆矩阵的求法之一：矩阵称为 A 的伴随矩阵伴随矩阵定义定义5.2:设 A = (aij)nn , Aij 是 |A | 中元素 aij 的代数余子式 ( i, j = 1, 2, , n );可得：A A* = A* A= |A | E定理定理5.2且方阵 A 是满秩矩阵A 存在逆矩阵例例5.3 求矩阵求矩阵的逆矩阵解：故 A 可逆，又 A115， A122，A212，A221则所以例例5.4 设设 A 是可逆阵，证明：是可逆阵，证明：(1) 若若 A X = A Y X = Y(2) 若若 A B =O B = O证：A1 ( A X ) = A1 ( A Y )( A1
19、 A ) X = ( A1 A ) YEX = EYX = Y(1)A X = A Y由所以(2) 由 AB =O，有A1 (AB) = A1 O所以 B =O( A1 A ) B = O3. 逆矩阵的性质逆矩阵的性质(1) 若A，B均为n阶方阵，且 A B = E (或 B A =E )，则 BA1证： |A| |B| = |E| = 1 |A| 0A1存在，且A1 = A1E = A1(AB)= (A1A) B = EB = B设 A B = E 同理可证 B A =E 的情形 (2) ( A1 )1 = A(3) 若A可逆， 0 为常数，则(4) 若A，B 均为n阶可逆矩阵，则 (AB)
20、1 = B1A1。特别：特别：当 |A| 0，有 (A m )1 = (A1 ) m(m为正整数)若A1，A2，Am均为n阶可逆矩阵，则 ( A1 A2 Am)1 = Am1 A21 A11推广：推广：证明： 因为 (AB)(B1A1)= A E A1= E所以 (AB)1 = B1A1= A ( B B1 ) A1(5)这是因为 | A1 | | A | = | E | = 1二、初等行变换求逆矩阵二、初等行变换求逆矩阵 (方法二方法二)1.初等矩阵都是可逆矩阵，初等矩阵都是可逆矩阵，2.初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵定定理理5.3 若若方方阵阵A可可逆逆，则则
21、存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵 P1, P2,Pm, 使使 A = P1 P2 Pm证：因为A可逆，则 r(A) = n，标准形为 En，Q1 Q2 QsAQs+1 Qm = En即得证存在有限次初等变换使A化为En，Q1，Q2，Qm，使故存在有限个初等矩阵表示为：表示为：A = P1 P2 PmEAEA1( A E )( E A1 )初等行变换初等行变换例例5.4设求 A1.解：r22r1r33r1r1 2r3r2 5r3r1 + r2r3 r2故对对 A 也可通过初等列变换求也可通过初等列变换求 A1初等列变换初等列变换A = P1 P2 Pm注：注：表示为：表示为：EAEA1对于n
22、元线性方程组AX = B则则XA1B|A| 0，A1存在存在若若三、逆矩阵的应用三、逆矩阵的应用1. 解线性方程组解线性方程组例例5.5 解方程组x1 + 2 x2 + 3 x3 = 12 x1 + 2 x2 + x3 = 13 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3解：解：方程组简记为X = A 1 B由于 | A | = 2 0, A可逆，故A X = B其中而即 x1= 8, x2= 9, x3= 3.2 解矩阵方程解矩阵方程例例5.6 解矩阵方程解：解：矩阵方程简记为 A X = B 0 A1存在例例5.7 解矩阵方程 AX + E = A2 + X其中E 为三阶单位矩阵.解：解：由 AX + E = A2 + X,即 ( A E ) X = ( A E )( A + E ).得 AX X = A2 E,所以 A E 可逆可逆.故 X = A + E( A E ) X = ( A E )( A + E )所以 (AE)1( A E ) X = (AE)1( A E )( A + E ).谢谢观看！谢谢观看！
