《高考数学大一轮复习 8.1空间几何体及其表面积、体积课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习 8.1空间几何体及其表面积、体积课件 理 苏教版（112页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.1空间几何体及其表面积、体积第八章立体几何数学数学 苏苏（理）（理）基础知识基础知识自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都 ，上、下底面是 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是 多边形.平行且相等全等相似旋转体(1)圆柱可以由 绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕 所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由
2、平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕 所在直线旋转得到.矩形直角边直角腰直径2.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底V锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底 V 台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下球S VShSh4R2 R33.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用 画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy .(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于 .斜二测45(或135)x轴、y轴(3)已知图形中平行于x
3、轴的线段，在直观图中长度平行于y轴的线段，长度变为 .(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴也垂直于xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度 .保持不变，原来的一半不变u思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)圆柱的侧面展开图是矩形.()(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.()题
4、号答案解析12342 解析由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，例1给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是_.题型一空间几何体的结构特征题型一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延
5、长后交于一点.其中正确命题的序号是_.题型一空间几何体的结构特征题型一空间几何体的结构特征解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；例1给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是_.题型一空间几何体的结构特征题型一空间几
6、何体的结构特征正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知.答案思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.跟踪训练1给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面
7、可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是_.解析不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；图1 不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；图2错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.答案0个题型二几何体的直观图题型二几何体的直观图例2(1)关于斜二测画法所得直观 图 的 说 法 正 确 的 序 号 为_.直角三角形的直观图仍是直角三角形；梯形的直观图是
8、平行四边形；正方形的直观图是菱形；平行四边形的直观图仍是平行四边形.解析答案思维升华题型二几何体的直观图题型二几何体的直观图例2(1)关于斜二测画法所得直观 图 的 说 法 正 确 的 序 号 为_.直角三角形的直观图仍是直角三角形；梯形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是菱形；平行四边形的直观图仍是平行四边形.由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有正确.解析答案思维升华题型二几何体的直观图题型二几何体的直观图例2(1)关于斜二测画法所得直观 图 的 说 法 正 确 的 序 号 为_.直角三角形的直观图仍是直角三角形；梯形的直观
9、图是平行四边形；正方形的直观图是菱形；平行四边形的直观图仍是平行四边形.由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有正确.解析答案思维升华题型二几何体的直观图题型二几何体的直观图例2(1)关于斜二测画法所得直观 图 的 说 法 正 确 的 序 号 为_.直角三角形的直观图仍是直角三角形；梯形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是菱形；平行四边形的直观图仍是平行四边形.解决有关“斜二侧画法”问题时,一般在已知图形中建立直角坐标系,尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中关键线段长度的关系.解
10、析答案思维升华解析答案思维升华例2(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.画 出 坐 标 系 xOy， 作 出OAB的 直 观 图 OAB(如图).D为OA的中点.例2(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.解析答案思维升华易知DB DB(D为OA的中点)，例2(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.解析答案思维升华例2(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.易知DB DB(D为OA的中点)，解析答案思维
11、升华解决有关“斜二侧画法”问题时,一般在已知图形中建立直角坐标系,尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中关键线段长度的关系.例2(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_.解析答案思维升华跟踪训练2(1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，结果为如图所示的一个正方形，则原来的平面图形为_.解析平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为 ，所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴上的边长仍为1，位于y轴上的对角线长为2 .答案(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
12、OA6 cm，OC2 cm，则原图形的形状为_.解析如图，在原图形OABC中，CDCD2 cm.(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形的形状为_.OAOC，故四边形OABC是菱形.菱形题型三空间几何体的表面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解析思维升华题型三空间几何体的表面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.
13、解 设正方体的棱长为a，正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图所示，解析思维升华题型三空间几何体的表面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.有2r1a，解析思维升华题型三空间几何体的表面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，解析思维升华题型三空间几何体的表
14、面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解析思维升华题型三空间几何体的表面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.正方体的各顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，解析思维升华题型三空间几何体的表面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.综上可得，S1S2
15、S3123.解析思维升华题型三空间几何体的表面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；解析思维升华题型三空间几何体的表面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.解析思维升华题型三空间几何
16、体的表面积题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.解析思维升华解析思维升华例3(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.解 如图，过A作AD平面ABC于D，过 D作 DEAB于 E，DFAC于F，连结AE，AF，AD.例3(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三
17、角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.解析思维升华则由AAEAAF，AAAA，得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，例3(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.解析思维升华BCAD，BCAA，而AABB，BCBB，四边形BCCB是矩形，例3(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.斜三棱柱的侧面积为2absin 45ab
18、( 1)ab.解析思维升华例3(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.解析思维升华(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；例3(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.解析思维升华(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.例3(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧
19、棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.解析思维升华(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.例3(2)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.解析思维升华跟踪训练3一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；解设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；跟踪训练3一个正三棱台的上
20、、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；跟踪训练3一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；在RtD1DE中，(2)求三棱台的侧面积和表面积.解设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，(2)求三棱台的侧面积和表面积.题型题型四四空间几何体的体积空间几何体的体积例4如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.思维点拨解析思维升华题型题型四四空间几何体的体积空间几何体的体积例4如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的
21、棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.思路一，先求出四棱锥C1B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二，先将四棱锥C1B1EDF化 为 两 个 三 棱 锥B1C1EF与DC1EF，再求四棱锥C1B1EDF的体积.思维点拨解析思维升华题型题型四四空间几何体的体积空间几何体的体积例4如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.解方法一连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.思维点拨
22、解析思维升华题型题型四四空间几何体的体积空间几何体的体积例4如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.平 面 B1D1D平 面B1EDF，平面B1D1D平面B1EDFB1D，思维点拨解析思维升华题型题型四四空间几何体的体积空间几何体的体积例4如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高.B1O1HB1DD1，思维点拨解析思维升华题型题型四
23、四空间几何体的体积空间几何体的体积例4如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.方法二连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，思维点拨解析思维升华题型题型四四空间几何体的体积空间几何体的体积例4如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.由题意得，思维点拨解析思维升华题型题型四四空间几何体的体积空间几何体的体积例4如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1
24、的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积.在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.思维点拨解析思维升华跟踪训练4如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.解析设三棱锥FADE的高为h，124思想与方法系列思想与方法系列11 转化思想在立体几何计算中的应用转化思想在立体几何计算中的应用规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒典
25、例：如图，在直棱柱ABCABC中，底面是边长为3的等边三角形，AA4，M为AA的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为 ，设这条最短路线与CC的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；侧面展开图从哪里剪开展平；规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒解 该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中
26、某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图形向平面图形的转化意识.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(2)PC与NC的长；规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(2)PC与NC的长；MNNP最短在展开图上呈现怎样的形式；规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(2)PC与NC的长；将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如右图，设PCx，则MP2MA2(ACx)2.x2，即P
27、C2.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(2)PC与NC的长；规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.(2)PC与NC的长；规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(2)PC与NC的长；如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正
28、确地画出侧面展开图.缺乏空间图形向平面图形的转化意识.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(3)三棱锥CMNP的体积.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒三棱锥以谁做底好(3)三棱锥CMNP的体积.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(3)三棱锥CMNP的体积.在三棱锥MPCN中，M到面PCN的距离，规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题.(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展
29、开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上.(3)三棱锥CMNP的体积.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题.(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图形向平面图形的转化意识.(3)三棱锥CMNP的体积.规 范 解 答思 维 点 拨温 馨 提 醒方 法 与 技 巧1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通
30、过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决.失 误 与 防 范1.几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.234567891011.下列叙述中正确的个数是_.相等的角，在直观图中仍相等；长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；若两
31、条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直；全等的三角形的直观图仍全等.23456789101解析由斜二测画法知正确，其余均错误.答案1234567891012.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为_.解析如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2510(条).103.(2014陕西改编)已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_.
32、解析正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，23456789101234567891014.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_.解析.5.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_.解析因为扇形弧长为2，23456789101345678910126.已知三棱锥ABCD的所有棱长都为 ，则该三棱锥的外接球的表面积为_.解析如图，构造正方体ANDMFBEC.所以正方体ANDMFBEC的棱长为1.34567891012易知三棱锥ABCD的外接球就是正方体AND
33、MFBEC的外接球，答案3345678910127.如图所示，E、F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是_.(填序号)34567891012解析四边形在面DCC1D1上的投影为：B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应在边CC1与DD1上，而不在四边形的内部，故错误.答案345678910128.如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为_.解析折叠后的四
34、面体如图所示.34567891012345678910129.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高.解如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高.34567891012由题意知A1B120，AB30，由S侧S上S下，得34567891012在直角梯形O1ODD1中，10.如图所示，在边长为5 的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围
35、成一个圆锥，求圆锥的表面积与体积.解设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，34567891012345678910121.表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_.解析设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.r1，即圆锥的底面直径为2.2234512.在 四 棱 锥 EABCD中 ， 底 面 ABCD为 梯 形 ，ABCD,2AB3CD，M为AE的中点，设EABCD的体积为V0，那么三棱锥MEBC的体积为_.解析设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2.连结MD.因为M是AE的中点，23451而VEMBCVBEMC，VEMDCVDEMC，23451
36、因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而ABCD，234513.已知圆台的母线长为4 cm，母线与轴的夹角为30，上底面半径是下底面半径的 ，则这个圆台的侧面积是_cm2.解析如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC4 cm，ASO30，23451SC2r，SA4r，ACSASC2r4 cm，r2 cm.所以圆台的侧面积为S(r2r)424 cm2.答案24234514.已知正方形ABCD的边长为2 ，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如图所示的三棱锥BACD.若O为AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，且BNCM.设BNx，则
37、三棱锥NAMC的体积yf(x)的最大值为_.23451解析由平面ABC平面ACD，且O为AC的中点可知BO平面ACD，易知BO2，故三棱锥NAMC的高为ON2x，23451234515.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB2，EB .(1)求证：DE平面ACD；证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，23451DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，BC平面ADC.DEBC，DE平面ADC.23451(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.解DC平面ABC，BE平面ABC.2345123451
