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1、3.1.33.1.3函数与方程的函数与方程的习题课函数的应用 1正确理解函数零点与方程根及函数图象与x轴交点横坐标的关系2正确应用函数零点判定定理判定函数零点所在区间3综合应用二分法与数形结合法与求根公式等方法研究与方程的根相关问题基础梳理基础梳理1设点(m,n)是两曲线C1：yf(x)，C2：yg(x)的一个公共点，则方程f(x)g(x)的一个解是：_；函数yf(x)g(x)的一个零点是：_.2函数f(x)ln(2x)的零点是唯一的，从函数图象的变化趋势来看，这是因为：_.3若方程2xa的解是唯一的，则实数a的取值范围是：_；若方程2xa无解，则实数a的取值范围是：_.4直线ymxn与抛物线
2、yax2bxc(a0)的公共点的个数至多有：_.xmm函数f(x)ln(2x)是区间上的减函数2个思考应用思考应用1设区间a，b是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，用二分法逐步将零点所在区间拆分，逼近得到方程的近似解这一方法中，体现了数学的哪些基本思想方法？解析：第一次用二分法将零点所在区间a，b拆分得到两个子区间 ， 这两个子区间中必有一个包含函数的零点，区间的长度是原区间长度的一半为 ，再用二分法时，包含函数的零点的区间长度是 ，第n次用二分法时，包含函数的零点的区间的长度为 ，当n时，包含函数的零点的区间的长度趋向于0.所以二分法体现了数学中无限逼近的极限思想，也融合了数形结合思想2
3、设区间a，b是连续函数f(x)的零点所在的一个区间，当f(x)在区间a，b上具有什么样的条件时， 连续函数f(x)的零点是唯一的？解析：当f(x)在区间a，b上是增函数或减函数时， 可以确保连续函数f(x)的零点是唯一的3对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，若存在x0R，使af(x0)0，则f(x0)0，结合图象可知， 二次函数f(x)有两个零点，分别在区间 和 上. a0时有相同的结论自测自评自测自评答案：A2已知a是实数，函数f(x)ax2(33a)x2a4.在下列所给区间中，函数f (x)必有零点的一个区间是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)3已知a是实数，
4、函数 f(x)ax2(33a)x2a4.如果函数f(x)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围是：_.2解析： f(1) 1, f(2)2, f(1)f(2)0， 函数f (x)在区间(1,2)上必有零点答案：B3解析：函数f(x)在区间(0,1)上有零点等价于f(0)f(1)0. f(1) 10，解得：a 2.答案：(2，)判断零点所在的区间判断零点所在的区间 设函数f(x) xln x(x0)，则函数yf(x)()A在区间 ，(1，e)内均有零点B在区间 ，(1，e)内均无零点C在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点跟踪训练跟踪训练1函数f
5、(x)ln x2x6的零点一定位于区间()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)解析：易知函数f(x)在定义域(0，)内是增函数， f(1)ln 12640，f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 30， f(2)f(3)0，即函数f(x)零点所在区间是(2,3)答案：B点评：求零点所在区间判断是否有f(2)f(3)0，需注意的是f(a)f(3)0并不能说明该函数没有零点根据零点个数求参数范围根据零点个数求参数范围 若函数ymx22x1只有1个零点，求实数m的值解析：当m0时，函数只有一个零点等价于2x10只有1个实数解，解方程得：x 满足题意，当m0时，函数只有1个零点等价
6、于方程mx22x10有两个相等实根，所以44m0解得m1.综合所述，m的值为0或-1.点评：解本题的关键是把函数零点转化为方程的根，针对函数的最高次项系数进行分类讨论跟踪训练跟踪训练2若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()Aa1Ca1 Da1B讨论曲线的公共点讨论曲线的公共点 求函数f(x)ln x与g(x)62x的公共点的个数解析：法一：利用信息技术直接画出函数F(x)f(x)g(x)ln x2x6的图象法二：利用函数零点存在性定理因为函数f(x)的图象在(0，)是连续的，f(2)1.30690则f(2)f(3)0，这说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点，由于函数f(
7、x)在定义域内是增函数，所以它仅有一个公共点法三：图象法f(x)ln x2x6的零点，就是方程ln x2x60的解，即是ln x2x6的解这个方程的解，我们可以看作是函数yln x与y2x6图象交点的横坐标画出这两个函数图象，可以得到交点个数为1，所以原函数只有一个交点，即仅有1个公共点跟踪训练跟踪训练3设曲线C1：f(x)x1(x2)，C2：g(x)ax2，若曲线C1，C2没有公共点，求实数a的值解析：令h(x)f(x)g(x)(1a)x1(x2)，若曲线C1，C2没有公共点，等价于1a0或h(2)0，解得：a1或a .一、选择填空题1下列函数中有两个零点的是()A ylg x By2xC yx2 Dy|x|12函数f(x)x23x2的零点是()A (1,0),(2,0) B 1,2C (1,0),(2,0) D 1,2解析： 函数的零点是使f(x)0的实数x.答案：BD1研究二次函数的零点时，要充分利用二次函数的图象，结合方程的判别式进行讨论2研究曲线的公共点，通常转化为相应函数的零点3讨论含参数的函数零点的个数时，常用分离变量，转化为研究直线与曲线的公共点，结合图形研究祝您
